鉆井系統黏滑效應的非線性穩定性研究

張康智，畢永強，曹鵬飛

(1. 西安航空學院 機械工程學院，陜西 西安 710077；2. 西安興航航空科技股份有限公司，陜西 西安 710077)

0 引言

鉆井系統主要是由鉆頭、鉆柱井架、驅動等部分組成。鉆井過程中，鉆柱推動鉆頭深入地下巖層切削巖石，鉆頭與巖石之間存在相互擠壓、摩擦、黏滯等接觸力引起鉆頭和鉆柱的振動，加速了鉆柱和鉆頭的疲勞及斷裂。

有許多學者致力于研究鉆井系統的穩定性。 RICHARD T等[1]將鉆柱系統簡化為兩自由度扭擺模型，建立了系統的二階滯后動力學方程，考慮鉆頭與巖石相互作用的切削力和摩擦力，獲得了系統的動態特性，并進行黏滑振動模擬。基于此模型，NANDAKUMAR K等[2]考慮鉆柱的黏性阻尼，重新建立了模型，分析了系統的線性穩定性，繪制了旋轉的穩定邊界速度和鉆孔速度。然而，在NANDAKUMAR K的模型中沒有考慮軸向振動。 RICHARD T[3-4]和KHULIEF Y A[5]考慮基于扭擺模型的軸向振動并研究了黏滑振動，但沒有對模型添加阻尼。 KAMEL J M等[6]分析了鉆柱軸向和扭轉振動的時域響應，并比較了每個鉆孔參數對扭轉振動的影響。有學者指出通過增加鉆削系統剛度、阻尼或者附加動力吸振器吸收振動來抑制顫的方法，主要是采用各類減振器[7]。BAKHTIARI-Nejad F[8]考慮鉆鋌的影響并將鉆柱系統分解為鉆桿、鉆鋌和鉆頭3個集中質量模型，分析了輸入參數和鉆桿長度等參數對其的影響。上述學者都將鉆柱系統視為軸向和圓周集中質量模型，以這種方式研究黏滑振動，不能解釋黏滑振動鉆頭以高頻旋轉時發生的振動不穩定性。

本文將鉆柱系統考慮為彈性體模型，考慮鉆柱軸向和扭轉阻尼，并考慮切削力和接觸力，建立其力學模型如圖1所示。

圖1 鉆柱系統的彈性體力學模型

1 鉆井系統動力學模型

1.1 動力學方程

在距離鉆柱頂部z處取長度為dz的微元體進行受力分析，微元體受力如圖2所示。

圖2 微元體受力分析

根據微元體受力分解圖，可以得到如下公式：

(1)

(2)

其中：ρ表示鉆柱的密度；A表示鉆柱的截面積；ca和cr分別表示鉆柱的體積軸向阻尼和體積旋轉阻尼；v表示截面軸向速度；ω表示截面扭轉角速度；F表示截面上的軸向力；T表示截面上的轉矩；p表示體積分布軸向力；m表示體積分布轉矩。

根據材料力學，力與變形的關系如下：

(3)

(4)

其中：E為彈性模量；G為切變模量；u表示截面軸向位移；φ表示截面扭轉角度。

位移與速度的關系如下：

(5)

(6)

將式(3)-式(6)代入式(1)和式(2)，可得無限維鉆井系統的動力學方程如下：

(7)

(8)

1.2 鉆頭受力分析

鉆頭與巖石的作用如圖3所示。其中，R表示鉆頭的半徑，N表示鉆頭的刀齒數，L表示進給量，D(t)表示單個刀齒的切削深度，tN表示鉆頭切削延遲時間，則鉆頭整體的切削深度d(t)=ND(t)。

圖3 鉆頭與巖石作用

根據PDC鉆頭的單刃切削實驗[9]，作用于鉆頭上的力可以分解為切削力Fc和摩擦力Ff，如圖4所示。

圖4 刀齒受力分析

切削力和摩擦力共同作用于鉆頭上，于是，鉆頭所受軸向力PL和轉矩TL可以寫作：

PL(t)=ζFc+Ff=ζεRd(t)+NσlR

(9)

(10)

單齒切深可以采用狀態依賴延遲(SDD)模型，寫作如下形式：

(11)

1.3 動力學方程的解

利用模態分解法求解式(7)和式(8)，定義：

(12)

(13)

其中i為模態階數，取整數。將式(12)和式(13)代入式(7)和式(8)，得:

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(9)和式(10)、式(14)和式(15)代入式(16)和式(17)，即可得到鉆井系統各階模態的振動微分方程：

(18)

(19)

其中：λ是與鉆速有關的量；μ是采用平滑處理的干摩擦模型，其表達式如下：

(20)

(21)

2 非線性穩定性仿真

定義狀態參數ψi、θ、V，定義切削參數向量Q(t)，其形式如下：

(22)

(23)

利用式(22)和式(23)可將鉆井系統的響應方程化為如下形式：

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

其中：

(32)

D=A+B

(33)

則t=ti+1時，式(31)可化為

(34)

Pi+1=EPi+F

(35)

其中：

(36)

(37)

稱為系統的轉移矩陣。應用Floquet穩定性理論可判定系統的穩定性。

鉆井系統的參數值如表1所示。

表1 鉆井系統參數表

圖5 系統前3階模態穩定性邊界(σ=0)

接觸應力σ的最大值為max(σ)=ε，故選取σ=ε繪制穩定性邊界。σ=0與σ=ε繪制的邊界將平面分為穩定區、顫振區和失穩區，如圖6所示。

圖6 鉆井系統穩定性邊界

分別從失穩區、顫振區、穩定區選取A、B、C三點，代入原方程，進行時域仿真，仿真結果如圖7-圖10所示。

圖7 A點轉速時域波形

圖8 B點轉速時域波形

圖9 B點轉動相圖

圖10 C點轉速時域波形

從時域仿真結果可以看出，系統在失穩區工作時，系統的振動幅值會越來越大，處于失穩狀態；系統在顫振區工作時，摩擦力能夠穩定振動幅值在一定區間內，使系統的振動呈現穩定的周期振動；系統在穩定區工作時，沒有摩擦力的作用，系統的振動會逐漸減小。

3 結語

1)鉆井系統的穩定性與切削力及接觸力有關，研究鉆井系統的穩定性時必須同時考慮。

2)鉆井系統由細長鉆柱構成，研究其穩定性時，應考慮為無限維彈性體，這樣，針對研究系統在中高轉速下的穩定性也能適用。

3)接觸應力作用于鉆頭產生的摩擦力是引起黏滑振動的主要因素。

4)在實際工程中，系統處于穩定區工作時，具有減振效果，處于顫振區工作時系統振動較為穩定，處于失穩區工作時系統振動會擴大。