基于雙種群鯊魚優(yōu)化算法的自抗擾機(jī)械臂軌跡跟蹤

吳 敏 徐興雷 尚 猛

1(浙江東方職業(yè)技術(shù)學(xué)院 浙江 溫州 325000)2(溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 浙江 溫州 325011)3(嶺南大學(xué)經(jīng)營學(xué)院 慶尚北 慶山 385141)

0 引 言

隨著自動化技術(shù)和航天技術(shù)的迅速發(fā)展，機(jī)械臂的應(yīng)用范圍也越來越廣。近年來，機(jī)械臂已逐漸應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域之中，如搬運機(jī)械臂[1]、康復(fù)機(jī)械臂[2]、農(nóng)業(yè)采摘[3]、3D打印[4]、空間抓捕[5]和微創(chuàng)手術(shù)[6]等。由于機(jī)械臂一般用于一些高精度工程作業(yè)，對于機(jī)械臂運動軌跡精度有極為嚴(yán)格的要求，因此，國內(nèi)外學(xué)者提出許多不同的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制策略。例如：王偉等[7]提出一種快速非奇異終端滑模控制的機(jī)械臂軌跡跟蹤方法；王勇等[8]提出一種模糊自適應(yīng)的機(jī)械臂軌跡跟蹤方法；劉福才等[9]提出一種間隙補(bǔ)償控制器，對機(jī)械臂進(jìn)行軌跡跟蹤控制；Sun等[10]提出一種自適應(yīng)運動力跟蹤控制方法；Zhao等[11]提出一種非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制策略；Bauakrif等[12]提出一種迭代學(xué)習(xí)的軌跡跟蹤策略。以上控制方法有效提高了機(jī)械臂的軌跡跟蹤精度，但在實際控制過程中，機(jī)械臂受到外負(fù)載擾動時，控制精度均受到很大程度的影響。因此，本文選取具有強(qiáng)抗擾動能力的非線性自抗擾控制器對機(jī)械臂進(jìn)行軌跡跟蹤控制。

自抗擾控制器(Active Disturbance Rejection Control，ADRC)[13]區(qū)別于其他控制器的優(yōu)點在于，ADRC不依賴精確的數(shù)學(xué)模型，具有較強(qiáng)的抗擾動特性，且ADRC具有較高的控制精度和響應(yīng)速度。但其缺點在于ADRC存在多個耦合參數(shù)，傳統(tǒng)的經(jīng)驗整定法難以整定出合理有效的控制參數(shù)，一定程度降低了ADRC的控制精度和抗擾動能力。針對上述問題，Du等[14]提出一種動態(tài)慣性權(quán)重的自適應(yīng)粒子群算法對ADRC參數(shù)進(jìn)行在線整定；Zhou等[15]提出一種改進(jìn)遺傳算法的參數(shù)整定策略；海星朔等[16]提出一種改進(jìn)鴿群算法的參數(shù)整定策略；劉福才等[17]提出一種混沌粒子群的參數(shù)整定方法。此外，還有入侵雜草算法[18]以及基于萊維飛行的鯨魚優(yōu)化算法[19]等參數(shù)整定策略。但上述整定方法均采用單一機(jī)制的優(yōu)化算法對參數(shù)進(jìn)行在線整定，當(dāng)被控對象具有較高耦合性和非線性時，難以整定出有效的控制參數(shù)。因此，本文提出一種雙種群鯊魚優(yōu)化算法的參數(shù)整定策略。

鯊魚優(yōu)化算法(Shark Smell Optimization,SSO)[20]是Abedinia等提出的一類新的種群智能優(yōu)化算法。其優(yōu)點在于算法所需調(diào)整參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)，且具有較強(qiáng)的局部搜索能力。算法的缺陷在于易陷入局部最優(yōu)、早熟收斂，且算法的開發(fā)能力和勘探能力極為不平衡。因此，本文提出一種雙種群鯊魚優(yōu)化算法(Double Population Shark Smell Optimization,DPSSO)。該算法中兩個種群的尋優(yōu)機(jī)制各不相同，其中：種群1的尋優(yōu)機(jī)制用來平衡算法的開發(fā)能力和勘探能力；種群2的尋優(yōu)機(jī)制用來有效增加算法跳出局部最優(yōu)的機(jī)率，提高了算法的收斂精度和收斂速度，加強(qiáng)了算法的全局搜索能力。實驗結(jié)果表明，DPSSO可以有效整定ADRC參數(shù)，提高了控制精度和抗擾動能力，降低了機(jī)械臂軌跡跟蹤誤差。

1 自抗擾控制數(shù)學(xué)模型

自抗擾控制器由微分跟蹤器(Tracking Differentiator，TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observe，ESO)、非線性反饋控制率(Nonlinear State Error Feedback Control Law，NLSEF)組成。ADRC的控制流程如圖1所示。

圖1 自抗擾控制流程示意圖

圖1中，ω為系統(tǒng)所受外部擾動，TD通過安排過渡過程給出系統(tǒng)輸入的跟蹤量v1以及跟蹤量的微分信號v2，目的是平衡系統(tǒng)響應(yīng)速度和系統(tǒng)超調(diào)的矛盾。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(1)

(2)

式中：T為積分步長；y(k)為系統(tǒng)輸出；b0為控制器增益；δ1和δ2為平滑因子；α1和α2為非線性因子；β1、β2和β3為修正系數(shù)，三個參數(shù)具有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，并且很大程度影響ESO的觀測效果。因此修正系數(shù)整定是否合理，決定了ADRC抗擾動能力的強(qiáng)弱。NLSEF對誤差e1和e2進(jìn)行非線性組合，并輸出控制信號u0，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(3)

式中：β1、β2為控制系數(shù)，很大程度影響ADRC的控制精度；e1、e2為誤差，e1為指令信號與被控對象位置輸出誤差，e2為指令信號微分與被控對象速度輸出誤差；α1、α2為[0,1]之間的常數(shù)；fal(·)函數(shù)是一類非線性函數(shù)，代表輸出誤差校正率，其表達(dá)式為：

(4)

由式(1)-式(4)可得，控制系數(shù)和修正系數(shù)等5個耦合參數(shù)是ADRC的待整定參數(shù)。5個參數(shù)很大程度上會影響ADRC的控制精度和抗擾動能力。

2 鯊魚優(yōu)化算法

鯊魚優(yōu)化算法來源于鯊魚在海中的獵食行為。算法的搜索方式由直線運動和螺旋運動構(gòu)成。如算法的種群規(guī)模為NP，則鯊魚優(yōu)化算法種群初始化的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

X=(X1,X2,…,Xi,…，XNP)

(5)

式中：第i個初始位置向量為Xi。如優(yōu)化問題的決策變量個數(shù)為ND，則Xi可表示為：

Xi=(Xi,1,Xi,2,…,Xi,j,…,Xi,ND)

(6)

式中：Xi,j為第i個鯊魚個體的第j個決策變量。

此外，由于鯊魚在捕獵時，會朝具有強(qiáng)烈血腥味的獵物游動，且鯊魚距離獵物的距離越近，游動速度越快。因此，鯊魚在捕獵過程中，每個階段的速度都取決于上一階段速度的大小，且游動速度具有一個限定范圍。因此鯊魚優(yōu)化算法的速度更新公式為：

(7)

鯊魚在游動過程中會先以直線運動的方式尋找獵物，這種捕獵行為的位置更新公式可表示為：

(8)

(9)

式中：R3為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；m表示在位置搜索中每個階段的獵物的數(shù)量。鯊魚會向具有更強(qiáng)氣味的獵物進(jìn)行移動，并繼續(xù)搜索路徑，這一特點在SSO算法中實現(xiàn)如下：

(10)

3 改進(jìn)鯊魚優(yōu)化算法

3.1 雙種群尋優(yōu)

雙種群尋優(yōu)在算法迭代過程中，不僅可以避免算法更新機(jī)制單一而引起的早熟收斂現(xiàn)象，還可以避免算法在迭代后期，進(jìn)化緩慢甚至停滯進(jìn)化的情況。針對機(jī)械臂具有較強(qiáng)的非線性和耦合性的特點，單一機(jī)制的鯊魚優(yōu)化算法難以整定出合理的自抗擾控制器參數(shù)的問題。本文將種群規(guī)模為N的鯊魚種群平均分為兩個子種群S1和S2，其中種群S1中的個體，在迭代過程中，引入位置廢棄策略和自適應(yīng)控制因子。種群S2中的個體，在迭代過程中，引入擴(kuò)張算子以及非線性遞增慣性權(quán)重。計算S1和S2種群中每次迭代所得最優(yōu)粒子的適應(yīng)度值，并進(jìn)行比較。適應(yīng)度值較大的粒子放入種群S2中，適應(yīng)度值較小的粒子，放入種群S1中。雙種群策略極大程度地保持了算法的種群多樣性，避免了單一機(jī)制尋優(yōu)所引起的進(jìn)化緩慢以及早熟收斂的現(xiàn)象。

3.2 自適應(yīng)控制因子

在基本SSO算法中，控制因子αk是調(diào)整算法全局搜索能力和局部搜索能力的重要參數(shù)。αk的加入是為了防止SSO算法局搜能力過強(qiáng)導(dǎo)致算法早熟收斂。但根據(jù)研究表明，具有隨機(jī)性的控制因子雖然一定程度上增強(qiáng)了算法的全局搜索能力，但也一定程度上忽略了SSO進(jìn)化的階段性。通常，在SSO進(jìn)化搜索初期，算法應(yīng)具有較強(qiáng)的全局搜索能力，獲得較大的搜索范圍，提高算法的種群多樣性。在算法迭代后期，算法應(yīng)具有較強(qiáng)的局部搜索能力，可以在最優(yōu)解附近進(jìn)行精確搜索，提高算法的收斂精度和收斂速度。因此，本文通過粒子取得的適應(yīng)度值來自適應(yīng)調(diào)整控制因子αk，以此平衡算法的開發(fā)能力和勘探能力，防止算法進(jìn)化方向的盲目性。改進(jìn)后的αk的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(11)

(12)

3.3 位置廢棄

位置廢棄策略是一種有別于傳統(tǒng)依賴變異跳出局部最優(yōu)的位置更新方式。位置廢棄策略的思想是，假設(shè)被廢棄位置的上限值為L。在該位置上，粒子第L次陷入局部最優(yōu)、早熟收斂，且在該位置被重復(fù)搜索L次的過程中，收斂精度均沒有得到改善，因此當(dāng)此位置被搜索到第L次時，該位置被廢棄，算法在之后的迭代過程中不再對該位置進(jìn)行搜索，并生成新的搜索位置，所生成的新位置數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(13)

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；rand表示隨機(jī)數(shù)；η為[-r,r]之間的隨機(jī)數(shù)，隨著算法的迭代，r值從1非線性降低到0。該策略可以保證算法在迭代后期，粒子將圍繞在全局最優(yōu)解附近進(jìn)行局部搜索，有效避免了算法陷入局部最優(yōu)、早熟收斂，提高了算法的全局搜索能力。

3.4 非線性慣性權(quán)重

根據(jù)實驗表明，較大的慣性權(quán)重可以提高算法的開發(fā)能力，較小的慣性權(quán)重可以提高算法的勘探能力。線性優(yōu)化的慣性權(quán)重可以一定程度提高算法的整體性能，但并不能對算法的開發(fā)能力和勘探能力起到有效的平衡作用。因此，為了平衡算法的開發(fā)能力和勘探能力，本文引入余弦控制方式，對慣性權(quán)重進(jìn)行非線性優(yōu)化，使得算法在迭代初期，擁有較大的慣性權(quán)重，提高算法的勘探范圍，在迭代后期擁有較小的慣性權(quán)重，提高算法的開發(fā)能力。非線性慣性權(quán)重的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

ω=(ωmax-ωmin)×exp(-0.5×t/Tmax)-ωmax

(14)

式中：ωmax=0.8為慣性權(quán)重最大值；ωmin=0.4為慣性權(quán)重最小值；t為當(dāng)前粒子迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。因此，基于非線性慣性權(quán)重的位置更新公式為：

(15)

3.5 擴(kuò)張算子

通過非線性慣性權(quán)重改進(jìn)后的鯊魚優(yōu)化算法有效地提高了算法的搜索范圍和搜索精度，但受鯊魚優(yōu)化算法自身位置更新公式的限制，當(dāng)算法在迭代后期，擁有較強(qiáng)的局部搜索能力時，一旦粒子陷入局部最優(yōu)，粒子很難有能力跳出局部最優(yōu)，向新的搜索區(qū)域進(jìn)行開發(fā)。因此本文引入擴(kuò)張算子策略，賦予最優(yōu)粒子開發(fā)新區(qū)域的能力，幫助粒子跳出局部最優(yōu)。其擴(kuò)張算子EO的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(16)

(17)

式中：λ為探索系數(shù)，λ=0.45×(1-ω)，用來調(diào)整算法的搜索范圍；R為解空間的隨機(jī)位置；β為系數(shù)，并隨迭代次數(shù)的增加而減小；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；Tmax為算法設(shè)定最大迭代次數(shù)。因此SSO算法的速度更新公式可修改為：

(18)

改進(jìn)鯊魚優(yōu)化算法DPSSO的流程如圖2所示，算法迭代結(jié)束的判定條件為是否達(dá)到最大迭代次數(shù)或控制誤差是否小于等于設(shè)定的最小誤差值。

圖2 DFSSO算法流程

3.6 數(shù)值實驗

為了驗證本文算法DPSSO的有效性，選取了10個基準(zhǔn)測試函數(shù)，如表1所示。其中：f1-f4為單峰函數(shù)，用于驗證DPSSO的收斂精度和收斂速度；f5-f10為多峰函數(shù)，用于驗證DPSSO的全局搜索能力。

表1 10個基準(zhǔn)測試函數(shù)

將本文算法對表1的10個測試函數(shù)進(jìn)行數(shù)值實驗，并與基本SSO算法和其他3種用于ADRC參數(shù)整定的算法——動態(tài)慣性權(quán)重自適應(yīng)粒子群算法[14](APSO)、混沌粒子群算法[17](CPSO)、基于Lévy飛行軌跡增強(qiáng)的鯨魚優(yōu)化算法[19](LWOA)進(jìn)行結(jié)果對比，其中測試函數(shù)f1-f8的維數(shù)為50。為了保證對比實驗的公平性，5種算法對10個測試函數(shù)獨立運行50次，并取結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，具體結(jié)果如表2所示，最優(yōu)解用加粗字體表示。

表2 數(shù)值實驗對比結(jié)果

續(xù)表2

可以看出，對于單峰測試函數(shù)f1而言，SSO算法、APSO算法、CPSO算法均早熟收斂陷入局部最優(yōu)，只有DPSSO算法和LWOA可收斂到全局最優(yōu)解，但DPSSO算法相較LWOA取得解的質(zhì)量更優(yōu)。對于單峰測試函數(shù)f3而言，當(dāng)其他4種算法均早熟收斂時，DPSSO算法仍可以求解到全局最優(yōu)解，說明DPSSO算法的收斂能力更強(qiáng)。因此對于單峰測試函數(shù)的測試結(jié)果而言，DPSSO算法相較其他4種算法可以取得更小的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，具有更高的收斂精度和穩(wěn)定性。

隨著高速公路路網(wǎng)規(guī)模不斷擴(kuò)大，高速公路稽查管理工作日益復(fù)雜化，其中假綠通車輛稽查治理工作逐漸成為整個高速公路稽查管理工作的重點。按照國家有關(guān)規(guī)定，運輸鮮活農(nóng)產(chǎn)品的車輛在高速公路上行駛可免繳通行費。由此，各種冒充綠通車輛的手段層出不窮，屢禁不止，給高速公路稽查管理工作和收費站日常收費管理工作帶來巨大壓力。

對于多峰測試函數(shù)f6-f8而言，DPSSO算法同樣可以取得更小的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，只有在測試函數(shù)f5上取得的結(jié)果較差，但仍優(yōu)于其他4種算法。說明DPSSO算法相較其他4種算法而言，具有更高的全局搜索能力，搜索成功率也更高，算法穩(wěn)定性更強(qiáng)。

對于測試函數(shù)f9-f10而言，5種算法的求解能力均有很大提高，甚至可以收斂到理論最優(yōu)值，這是由于測試函數(shù)維數(shù)較低所致。但DPSSO的標(biāo)準(zhǔn)差更小，說明DPSSO算法的穩(wěn)定性更強(qiáng)[22]。整體而言，DPSSO算法具有更高的全局搜索能力，搜索精度更高，并且跳出局部最優(yōu)的能力較強(qiáng)，可以有效地避免算法早熟收斂，有效地平衡了算法的全局搜索能力和局部搜索能力，可以用于自抗擾參數(shù)整定。

4 實驗仿真

4.1 基于評價指標(biāo)的對比實驗

為了驗證DPSSO可以有效地在線整定自抗擾控制參數(shù)，本文選取ITAE指標(biāo)[21]作為評價函數(shù)，兩自由度機(jī)械臂為被控對象，對自抗擾控制器參數(shù)進(jìn)行在線整定。其中算法判定條件的誤差最小值設(shè)定為0.001。參數(shù)整定流程如圖3所示。

圖3 基于DPSSO的參數(shù)整定流程

本文將基于DPSSO-ADRC的參數(shù)整定結(jié)果與其他3種算法(LWOA-ADRC、APSO-ADRC、CPSO-ADRC)的整定結(jié)果進(jìn)行對比驗證。ITAE指標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(19)

為了保證實驗公平性，4種參數(shù)整定方法獨立運行30次，并分別保存4種整定方法的最優(yōu)結(jié)果。具體結(jié)果如圖4所示。

圖4 評價函數(shù)值對比圖

可以看出，首先，在迭代初期，DPSSO-ADRC的評價函數(shù)值迅速下降，下降速度遠(yuǎn)大于其他3種算法，說明DPSSO-ADRC算法的尋優(yōu)速度更快，初值尋優(yōu)能力更強(qiáng)，且DPSSO-ADRC的尋優(yōu)范圍更廣，全局搜索能力更強(qiáng)。其次，DPSSO-ADRC相較其他3種算法可以取得更小的評價函數(shù)值，說明DPSSO-ADRC的搜索精度更高，整定出的ADRC參數(shù)更為合理有效。因此，相較于其他3種算法優(yōu)化后的ADRC，DPSSO-ADRC的控制精度更高，抗擾動能力更強(qiáng)。

4.2 基于機(jī)械臂的軌跡跟蹤實驗

本文選取具有非線性和強(qiáng)耦合特性的兩自由度機(jī)械臂作為被控對象，提出一種DPSSO-ADRC的控制策略對機(jī)械臂進(jìn)行軌跡跟蹤實驗。實驗中以機(jī)械臂軌跡跟蹤誤差大小作為評價標(biāo)準(zhǔn)，分別對APSO-ADRC、CPSO-ADRC、LWOA-ADRC，以及DPSSO-ADRC 4種控制策略進(jìn)行對比驗證。具體實驗結(jié)果如圖5-圖8所示。機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型表示為：

圖5 q1軌跡跟蹤誤差對比圖

(20)

式中：q為關(guān)節(jié)位置；D為正規(guī)慣性矩陣；C為離心力和科氏力；G為重力向量；d為未知擾動向量；τ為控制率，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(21)

以機(jī)械臂為被控對象，通過DPSSO算法在線優(yōu)化后的ADRC控制器參數(shù)如表3所示。

表3 ADRC參數(shù)優(yōu)化值

從圖5和圖6中可得，相比其他3種控制策略，DPSSO-ADRC控制策略的控制誤差最小，響應(yīng)速度更快。對于機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度q1而言，DPSSO-ADRC控制策略可以更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)，軌跡跟蹤誤差小于0.001。并且在DPSSO-ADRC控制機(jī)械臂啟動時，控制器產(chǎn)生的瞬時誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他3種控制策略，說明DPSSO-ADRC控制策略的魯棒性更強(qiáng)。對于機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度q2而言，4種控制策略的控制誤差均有所增大，這是由于機(jī)械臂各關(guān)節(jié)之間具有強(qiáng)耦合性。但DPSSO-ADRC控制策略相較其他3種控制策略的跟蹤誤差更小，對比q1的控制誤差并無明顯增大，說明DPSSO-ADRC控制策略具有較強(qiáng)的解耦特性，對于被控對象自身的內(nèi)部擾動，具有很高的抗擾動能力。

圖6 q2軌跡跟蹤誤差對比圖

為了驗證DPSSO-ADRC控制策略具有較強(qiáng)的抗外部擾動能力，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，在t=12 s時加入一個幅值為1的階躍信號，模擬外部擾動。從圖7和圖8可知，相較其他三種控制策略，DPSSO-ADRC控制策略受外部擾動干擾最小，對外部擾動進(jìn)行觀測和補(bǔ)償?shù)臅r間最短，說明DPSSO-ADRC控制策略的抗擾動能力更優(yōu)。因此，通過DPSSO算法優(yōu)化后的ADRC控制器，不僅有效地提高了控制器的控制精度和控制速度，而且加強(qiáng)了ADRC的抗擾動能力。

圖7 q1加入擾動后軌跡跟蹤誤差對比圖

圖8 q2加入擾動后軌跡跟蹤誤差對比圖

5 結(jié) 語

本文針對傳統(tǒng)非線性ADRC控制器耦合參數(shù)過多、難以整定的缺陷，提出一種基于雙種群鯊魚優(yōu)化算法的參數(shù)整定方式，同時針對傳統(tǒng)鯊魚優(yōu)化算法易早熟收斂、收斂精度低的問題，通過位置廢棄以及非線性慣性權(quán)重等策略提出DPSSO算法。首先本文通過數(shù)值對比實驗和ITAE評價指標(biāo)對比實驗，驗證了DPSSO算法具有較強(qiáng)的尋優(yōu)精度，可以用于ADRC的參數(shù)整定上。其次，本文以機(jī)械臂作為被控對象，通過機(jī)械臂軌跡跟蹤仿真實驗，驗證了DPSSO算法整定后的ADRC控制器，具有較強(qiáng)的控制精度和抗擾動能力。因此，本文算法可以用于ADRC控制器參數(shù)整定。