設計數(shù)學實驗，發(fā)展理性思維
——以“三角形中邊與角之間的不等關系”為例

浙江省臨海市外國語學校 陳靈寶

新課標提出了指向學生終身發(fā)展的數(shù)學核心素養(yǎng)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，強調學生數(shù)學理性思維的養(yǎng)成。初中是學生構建抽象數(shù)學知識體系的關鍵時期，對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成至關重要。本文即以人教版八年級上冊《軸對稱》一章中的“三角形中邊與角的不等關系”實驗教學為例，探討分析如何通過數(shù)學實驗，一步步引導學生進行理性的數(shù)學知識推理和應用。

一、教材和學情分析

1.教學目標

通過動手操作、實驗、推理等數(shù)學活動，對三角形邊與角之間的不等關系進行探索分析；巧妙利用三角形知識進行猜想和推理，形成整體意識；總結規(guī)律，建立數(shù)學幾何空間模型；學用結合，發(fā)展嚴謹?shù)臄?shù)學理性思維。

2.教學重難點

重點：三角形邊與角的不等關系的探索、歸納與應用。

難點：引導學生利用三角形知識進行邊、角的大小比較，用實驗法培養(yǎng)學生的數(shù)學轉化思維。

3.學情分析

本節(jié)課包含在《等腰三角形》實驗探究環(huán)節(jié)中，承接軸對稱和等腰三角形知識。學生通過《三角形》《等腰三角形》兩章，對三角形的數(shù)學關系已有理解。本次的實驗探究與軸對稱全等、角關系、線段等基礎知識一脈相通。本節(jié)課采用趣味性的實驗探究法，激發(fā)學生動手操作能力，手腦并用，開發(fā)初中生個性化的數(shù)學思維。

二、實驗設計具體方法

數(shù)學理性意識與核心素養(yǎng)息息相關，是指用數(shù)學眼光觀察、分析、推理、抽象的思維方法。幫助學生開發(fā)數(shù)學理性思維智力，可以使學生進行綜合思考，靈活運用數(shù)學方法，形成數(shù)學創(chuàng)新意識。

1.探索型實驗策略——指向抽象邏輯思維

抽象邏輯思維是理性的集中體現(xiàn)，初中生需要在具體的實驗中化具體為抽象，不斷訓練自己的數(shù)學思維，將觀察所得用理性的數(shù)學方式進行推理和表達，掌握數(shù)學學習的方法。

【片段1】初步實驗，探索新知

師：上節(jié)課所學的“等邊對等角”適用于哪類三角形？

眾生：等邊三角形和等腰三角形。

師：那么在邊長各不相等的三角形中，邊和角又具有怎樣奇妙的規(guī)律呢？請同學們剪一剪這類三角形并標注字母。

師：請同學們挑出AB＞AC的三角形，如圖1，可以看出∠B與∠C的關系嗎？

圖1

生1：看起來∠C>∠B。

生2：有些模糊，感覺兩角差別不大。

師：既然我們用肉眼觀察產生了分歧，那現(xiàn)在請同學們親自動手做一做，看看能否找到比較兩角大小的方法。

生3：我 通 過 對 折 使AC與AB重 合，更 明 顯 地 觀 察 到∠C>∠B。

師：大家差不多都觀察到∠C>∠B，那么我們不妨將其作為數(shù)學設想，你能用邊角相等和內角關系證明它嗎？

生3：用軸對稱推理。通過對折，我發(fā)現(xiàn)原三角形出現(xiàn)了全等三角形。

師：直接推理嗎？三角形中如何出現(xiàn)其他三角形？

生3：不，作輔助線，如圖2，在AB上截取AE=AC，從A點出發(fā)作角平分線交BC于D，連接ED就可得出全等三角形。

師：很好，你作了兩條輔助線，還有同學有新的想法嗎？

生4：也可以繞過作角平分線這一步，如圖3，直接將點E與點C相連作輔助線，形成等腰三角形，用補角關系仍然可以推理出∠ACB>∠B。

圖3

生5：如圖4，還可以在BC上找一點F，使得AF=AC，然后推理。

圖4

設計分析：片段1的教學注重在實驗中引導學生利用之前所學進行新知識的探索，教師處在引導地位，激發(fā)學生的數(shù)學體系觀念，將動手操作所得轉化為抽象的輔助線、內角補角關系等知識，從而形成理性思維。

2.遷移型實驗策略——指向數(shù)學建模意識

數(shù)學建模立足于現(xiàn)代建構主義學習理論，強調學生對數(shù)學知識的主動認知與構建，將數(shù)學解題方法上升為普遍性的規(guī)律，采用“公式、遷移、變式”等形式，將已經(jīng)構建起的數(shù)學方法進行模型式的創(chuàng)新運用。

【片段2】再次實驗，遷移知識

師：我們再從已經(jīng)剪好的三角形中挑出另外一個∠B＞∠C的三角形，如圖5。經(jīng)過之前的推理，我們已經(jīng)得出了“大邊對大角”的定理，那么我們能肯定大角一定對大邊嗎？

圖5

眾生：不能!這是主觀猜測，沒有經(jīng)過上述推理證明。

師：我們之前的證明用了何種方法？

眾生：用輔助線分割三角形。

師：請同學們進行小組交流，探討如何通過作輔助線的方式來分析大角是否對大邊。

設計分析：讓學生在體會“變與不變”之間關系的基礎上，形成科學理性的建模思維，讓學生明確數(shù)學模型不是死記硬背、生搬硬套，而是根據(jù)具體的問題具體分析，進行模型的細節(jié)變式，從而有效地進行數(shù)學探索。

3.歸納型實驗策略——指向推理創(chuàng)新意識

推理和創(chuàng)新是基于數(shù)學理性的個性化發(fā)展，即學生能夠運用所學知識進行拓展性推理、靈活思考，在細致的觀察和實驗中獨立地進行知識的創(chuàng)新運用，以實現(xiàn)自身數(shù)學理性思維的提高。

【片段3】觀察推理，學會創(chuàng)新

師：同學們，我們已經(jīng)通過推理知道了“大邊對大角”“大角對大邊”的定理，現(xiàn)在你們也是一名小小的教師了!大家手中有許多已經(jīng)制作好的三角形，請你運用這兩個定理去描述你手中的三角形吧！

生1：根據(jù)“大邊對大角”原理，在△ABC中，如果BC>AB>AC，那么∠A>∠C>∠B。

生2：我還發(fā)現(xiàn)了如果三角形最長的邊所對的角是銳角，那么這個三角形一定是銳角三角形，也是應用“大邊對大角”的原理。

設計分析：在實驗中肯定學生的價值，幫助其樹立自信心，這種實驗探索方式可以讓學生大膽地進行個性化的觀察和知識延伸，對數(shù)學知識產生自己的科學理解，并且促進學生基于數(shù)學理論進行深層的數(shù)學創(chuàng)新。

4.應用型實驗策略——指向理性應用能力

數(shù)學應用能力是數(shù)學學科工具性價值的體現(xiàn)，學習的最終目的在于合理運用。要想培養(yǎng)學生的數(shù)學理性思維，不能只依靠實驗進行知識傳授、抽象記憶，而是要適當擴展，引導學生利用所學進行實際應用。

【片段4】實例應用，理性思考

師：請同學們剪一個如圖6所示的直角三角形，這是一個特殊三角形，它的哪條邊最長呢？

圖6

師：通過觀察實驗、結合知識，同學們發(fā)現(xiàn)哪條邊最長了嗎？

眾生：斜邊。

師：為何是斜邊呢？你的理由是？

生1：因為三角形內角和是180°，直角是90°，所以直角三角形內直角最大，它所對的邊，也就是斜邊，肯定也最大。

生3補充：這是大角對大邊原理。

師：還有別的方法嗎？斜邊和直角邊還有什么關系？

生2：兩點之間，線段最短。

師：很好，這是我們學習線段時用到的知識點，在直角三角形中也適用。同學們拿起自己手中的直角三角形，以頂點為中心，仔細觀察三邊關系，你可以推理出“斜邊最長”的定理嗎？

設計分析：片段4仍然采用實驗法策略，讓學生結合所學進行知識的推理和應用探索，更加注重學生知識的構建和獨立的數(shù)學應用，引導學生在知識應用過程中進行數(shù)學思維的鍛煉和提升，掌握理性的數(shù)學推理方法。

三、設計反思

數(shù)學實驗教學應該具有連續(xù)性、趣味性和開放性，以興趣激發(fā)學生的好奇心為基礎，實現(xiàn)學生的個性化數(shù)學思考。教師結合實驗過程進行有目的的開放性引導，促進學生的有效參與，把更多的主動權交給學生，使學生在逐層深入的實驗探索中進行數(shù)學推理、建模和空間符號抽象，內化數(shù)學知識，通過有意義的實驗真正提高初中生的數(shù)學理性思維。