開啟抽象，思辨推理，構建模型
——以“一元二次方程的根與系數的關系”為例

江蘇省太倉市實驗中學 朱 鳴

一、生長數學下的價值判斷

1.授課對象

本節課的授課對象為某實驗初中九年級平行班學生。

2.教材分析

所用教材為蘇科版《義務教育教科書·數學 》（九年級上冊）。教學內容為經歷了“從問題到方程”和“解方程”的七課時教學后，教材安排了一節“一元二次方程的根與系數的關系”。對照《數學課程標準（2011年版）》，發現這一節為選學內容。雖為打星號內容，但是數學科任老師都不會忽略它，因為“學習這一內容可以進一步加深學生對一元二次方程及其根的認識，也為今后的學習做準備”。

3.學情分析

學生已具備有關一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程等知識，也應該有能力通過自主探索和合作交流列出一元二次方程，然后通過“未知”轉化為“已知”，“降次”等方式，注重幾種解法之間的相互聯系和差別，領會不同方法的特點和本質，快速求解一元二次方程。而本節內容形式比較抽象，書本的推理過程中涉及了含參的根號運算，學生倍感吃力。基于上述教材觀、學生觀、教學觀，可以確定以下教學目標及教學重難點。

4.教學目標

（1）了解一元二次方程的根與系數的關系；

（2）經歷一元二次方程的根與系數的關系的探究過程，加深學生對一元二次方程及其根的認識；

（3）培養學生分析解決問題的能力，更好地體會數學的應用價值。

5.教學重點

掌握一元二次方程的根與系數的關系。

6.教學難點

歸納抽象出一元二次方程的根與系數的關系。

二、價值判斷下的活動設計

基于這樣的價值判斷，教學中可以建構下列教學活動，實現教學價值：

1.建構知識網絡

教師：到目前為止，同學們學過哪些方程？

學生1：有一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組、分式方程和一元二次方程。

教師：你們會解這樣的方程嗎？（板書：x+1=0）

學生2：簡單的一元一次方程，小學就會解了。

教師：那這樣的方程你們會解嗎？（板書：（x+1）（x-2）=0）學生3：x=-1或x=2 。

教師：我想問一下這個方程的“式結構”是什么？

學生3：應該是“A×B型”吧，你介紹過的。

教師：對！事實上，所有的一元二次方程都可以經歷從“A=0型”到“A×B=0型”的生長過程，解方程都利用這樣的式結構來進行，也不必去細分到底是哪種具體的方法。

教師：今天我們的主要任務不是解方程，而是反其道而行。

問題1：請你們分別以x=1，x=2 為方程的兩根構造一個關于x的一元二次方程。

學生很快就寫完了，展示兩種不同的書寫形式：（x-1）（x-2）=0，x2-3x+2=0。

問題2：請你們分別以x=-1，x=-2 為方程的兩根構造一個關于x的一元二次方程。

問題3：請你們分別以x=-1，x=2 為方程的兩根構造一個關于x的一元二次方程。

教師：這樣的例子永遠都舉不完。請你通過類比，分別以x1、x2為方程的兩根構造一個關于x的一元二次方程。

學生順著慣性思維，很容易將含參的一元二次方程的雙根式寫出來，但是在書寫成一般式的時候，部分同學遇到困難而停滯。此時小組的幫助可以彰顯力量，絕大部分學生能正確書寫出兩種不同的形式。

教師：以問題3的結果為例：（x+1）（x-2）=0，x2-x-2=0，每個等式的左側能乘個“2”嗎？

學生4：可以。

教師：乘“-3”呢？

學生4：可以。

教師：乘“a”呢？

學生4：可以。

學生5：好像不可以吧，“a”若等于0，這就不是一元二次方程了。

教師：這位同學很細致，他對一元二次方程的概念的認識蠻深刻。那我們能否將剛才對照的式子也添上“a”呢？

學生6：我寫成了ax2-a（x1+x2）x+ax1x2=0（a≠0）的形式。

教師：如果我將更一般的ax2+bx+c=0（a≠0）上下對照著寫，你有什么發現？

純字母的對照比較還是有難度的，學生分別討論。有的學生陷入沉默，實則沒有將上半節課的內容展開對比和聯想；有的基礎較好的學生觀察力比較敏銳，目光中暗示已經找到答案了。

教師：誰給大家提示一下？

學生7上黑板，在 -a(x1+x2)和b，ax1x2和c的下方劃了曲線。

眾生：喔（恍然大悟）！

教師：誰來求一下方程的兩根的和與兩根的積呢？

教師：通過這兩個等式，你們有什么想法？

學生9：原來兩根和與兩根積就可以用系數來表示，深藏功與名啊！

教師：你們很牛氣，竟然和法國數學家韋達在16世紀時的發現是一致的。

……

2.典型問題拓展

……

三、活動設計下的教學思考

上述的活動流程彰顯了教學設計的意圖，在學生遞進式思考問題的過程中，不斷把握問題的本質和數學的本質。學生經歷了數學抽象，發展了數學推理，構建了數學模型，他們的思維不斷升華，這或許正是建構主義者的一種理想吧！

1.前后一致談抽象

建構主義學生觀認為：學習者并不是空著腦袋進入學習情境中的。在解決一元二次方程的根與系數的關系之前，學生是從最基本的一元一次方程起步的，逐漸生長到一元二次方程的階段。其實對于方程而言，它的本質是一種假設的思想，是一種嘗試的想法。學生在解決問題時往往秉承著一種試錯的態度。既然無法一眼洞穿，那就用不同的假設去驗證它，在種種備選方案中選優選簡，進而決策。那么如何將一元一次方程“x+1=0 ”生長成一元二次方程“a（x-x1）（x-x2）=0 (a≠0) ”的 “雙根式”呢？這中間就蘊含著數學的抽象思維，按照四個數學抽象之一的弱抽象定義來看：從原型中選取某一特征（側面）加以抽象，使原型內涵減小，結構變弱，外延擴張，獲得比原結構更廣的結構，使原結構成為后者的特例。對照這樣的定義，我們不難發現，原結構是一個一元一次方程，借用它的概念，可以抽象出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當然，也可以用“雙根式”a(x-x1)(x-x2)=0 (a≠0)來表示。如果從一元二次方程回看一元一次方程，無非是“A×B=0”中包含了“A=0”這樣的形式，它的“式結構”中涉及了一個“升次”或是“降次”的問題。

2.邏輯一致話推理

皮亞杰給出了“同化”和“順應”的概念。同化是指認知結構的量變，順應是指認知結構的質變。對于a(x-x1)(x-x2)=0 (a≠0)這樣的方程，建立在學生可以有效避開“雷區”—a≠0的基礎上。

3.一以貫之建模型

建構主義學者認為，同化和順應過程的交替，實際上對應著學生認知結構的“平衡——不平衡——平衡”的過程，用鮑建生教授的觀點來看，可以對照成“模型——模式”“模式——模式”“模式——模型”的過程。在“模型——模式”階段，這是涵蓋數學的概念、關系和結構的階段。學生理解一次方程的概念和一般式的結構，進而可以生長到二次方程的概念和幾種結構形式。在調節參數的過程中，學生其樂融融，認知沒有突破，仍處于“平衡”的狀態。當課堂進行到“模式—模式”的拐點時，數字和字母的特殊化和一般化互相印證時，一旦“-a(x1+x2)=b，ax1x2=c”直擊靈魂，學生固有的認知“平衡”被打破，大巧如拙的數學推理的“不平衡”就展現得淋漓盡致。至于“模式——模型”的過程，可以認為是具體的應用，在一般的方程和函數中較為多見。本課中，通過例1、例2、例3三個簡單例題來穿針引線，將學生的認知水平在經歷剛剛的突破后維持在一個較高的平臺，使學生認知進入更高一個層次的“平衡”中。

本課例中，學生暢所欲言，不斷地把這節課的探索活動、思維過程，提升內化為理性經驗。這樣的經驗是基于學生已有的知識經驗，并把原有的知識經驗作為新知識的生長點，借助數學課堂中的抽象、推理和模型實現知識的處理和轉化，從而形成知識結構。知識結構化了，往往就能同中析異、異中求同了。