缺失數(shù)據(jù)環(huán)境下匯率序列的潛變量Metropolis-Hastings算法及觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)

董 艷

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，渭南 714000)

1 引言

在眾多行業(yè)里，不間斷地連續(xù)營(yíng)業(yè)是不現(xiàn)實(shí)的，金融業(yè)亦是如此，從而許多金融數(shù)據(jù)，常常出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象.圖1 給出了2018 年9 月20 日至9 月27 日的歐元兌美元匯率的開盤價(jià)，由于周末不開盤，出現(xiàn)了48 小時(shí)的數(shù)據(jù)缺失.符合此情形的案例還有很多，國(guó)內(nèi)上交所和深交所各種股票和指數(shù)均在周末和節(jié)假日閉盤.

圖1 2018 年9 月20 日至9 月27 日的歐元兌美元匯率

數(shù)據(jù)的缺失不但會(huì)影響投資者對(duì)市場(chǎng)的判斷，還給金融序列的預(yù)測(cè)增加了難度.雖然一級(jí)市場(chǎng)上的金融活動(dòng)在閉盤期間已經(jīng)停止，由于次級(jí)市場(chǎng)受監(jiān)管的程度較小，其金融活動(dòng)仍持續(xù)進(jìn)行，且此部分?jǐn)?shù)據(jù)并不能被有效搜集.文獻(xiàn)[1,2]已經(jīng)證實(shí)忽略缺失值、僅采用營(yíng)業(yè)時(shí)間獲取的金融數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)常常會(huì)低估波動(dòng)率.這提示我們必須采用某些缺失值的替補(bǔ)方案進(jìn)行插值.

當(dāng)前可用于缺失數(shù)據(jù)替補(bǔ)的方法有很多，總體來(lái)看，主要包括均值替代法[3-5]、聚類分析法[6,7]、關(guān)聯(lián)規(guī)則法[8,9]、閥值填補(bǔ)法[10]、回歸填補(bǔ)法[11]以及多重插補(bǔ)方法[12].但綜合分析這些方法，仍然存在以下幾個(gè)問(wèn)題：第一，大多數(shù)方法，沒(méi)能考量填補(bǔ)數(shù)據(jù)對(duì)總體分布的影響，如均值替代法和基于線性回歸的填補(bǔ)方法；第二，有些方法對(duì)基于特定的分布的樣本數(shù)據(jù)有效，將其推廣至?xí)r間序列是困難的，例如聚類分析法和關(guān)聯(lián)規(guī)則法.

目前，基于貝葉斯的馬爾科夫鏈蒙特卡羅(MCMC)抽樣方法的時(shí)間序列研究是統(tǒng)計(jì)學(xué)的熱點(diǎn)之一.文獻(xiàn)[13]利用二項(xiàng)算子并結(jié)合MCMC 模擬研究了一種推廣的ARMA 過(guò)程.文獻(xiàn)[14]采用數(shù)據(jù)擴(kuò)充法、切片抽樣法以及MCMC 方法，給出了具有穩(wěn)定分布噪聲的ARMA 模型更為簡(jiǎn)潔、有效的貝葉斯建模方法.文獻(xiàn)[15]則用MCMC 模型選擇考察了ARMA 模型的階數(shù)問(wèn)題.在工程實(shí)踐方面，文獻(xiàn)[16]通過(guò)收集1994 年第1 季度至2009 年2 月10 日的國(guó)際原油Brent 價(jià)格的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，并對(duì)其建立了ARIMA(p,d,q)模型.在ARMA 模型參數(shù)估計(jì)上，文獻(xiàn)[16]在Winbugs 軟件平臺(tái)上運(yùn)用MCMC 方法進(jìn)行了參數(shù)估值運(yùn)算，得到Brent 原油季度價(jià)格ARIMA(1,1,1)模型的模擬結(jié)果.

基于以上分析，本文提出一種潛變量Metropolis-Hastings(M-H)抽樣方法、在缺失數(shù)據(jù)情形下，研究ARMA 匯率模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，該方法綜合考量了填補(bǔ)數(shù)據(jù)對(duì)序列分布、自相關(guān)性的影響.模擬結(jié)果表明：相比于傳統(tǒng)Gibbs 方法，潛變量M-H 方法產(chǎn)生的抽樣序列不存在波動(dòng)聚集現(xiàn)象.

2 匯率模型及假設(shè)

本文考察掛鉤于匯率的觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題.假設(shè)匯率過(guò)程xt遵循

其中r0表示匯率長(zhǎng)期水平，匯率的對(duì)數(shù)序列yt具有均值為0，且有ARMA 模型形式

這里m0=m2-m1, m2＞m1.考慮時(shí)間序列模型的穩(wěn)定性，假設(shè)|φ|＜1，并且模型的先驗(yàn)分布設(shè)置如下：

1) 假設(shè)自回歸系數(shù)φi(i=1,2,··· ,p)和滑動(dòng)平均系數(shù)θi(i=1,2,··· ,q)服從(-1,1)上的均勻分布，那么它們的密度函數(shù)為

2) 假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差σ2～I(xiàn)GA(α,β)，即σ2服從參數(shù)為α和β的逆伽馬分布，其密度函數(shù)為

同時(shí)，為了方便論述定義隨機(jī)誤差項(xiàng)

其中

考慮到當(dāng)t=m1+1,m1+2,··· ,m2時(shí)，yt為缺失值，從而在公式(7)—(8)用et和εt區(qū)別對(duì)待隨機(jī)誤差項(xiàng).這也意味著中間m0個(gè)缺失值ym1+1,··· ,ym2可以采用下面的公式插補(bǔ)

3 數(shù)據(jù)插補(bǔ)和后驗(yàn)分布

本節(jié)在構(gòu)造一種潛變量數(shù)據(jù)插補(bǔ)方法之后，分析相應(yīng)的共軛后驗(yàn)分布，以便之后進(jìn)行M-H 抽樣.注意插補(bǔ)數(shù)據(jù)的目的并不是預(yù)測(cè)單個(gè)缺失值，而是預(yù)測(cè)缺失數(shù)據(jù)所服從的分布.通過(guò)數(shù)據(jù)的插補(bǔ)，既要克服數(shù)據(jù)缺失帶來(lái)的不便，同時(shí)又不能改變?cè)械臄?shù)據(jù)分布.據(jù)此，本文依據(jù)文獻(xiàn)[17]構(gòu)造潛變模型，采用潛變量方法彌補(bǔ)缺失部分對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)

則全數(shù)據(jù)似然函數(shù)為

它滿足

其中

接下來(lái)，構(gòu)造參數(shù)φ, θ, σ2的后驗(yàn)分布，并根據(jù)此后驗(yàn)分布獲取參數(shù)的Gibbs 抽樣序列.已知時(shí)間序列{y-p+1,··· ,y-1,y0,y1,y2,··· ,yn}和各個(gè)參數(shù)的先驗(yàn)分布后，由貝葉斯定理可得參數(shù)的后驗(yàn)分布為

其中ηk表示參數(shù)向量η={φ,θ,σ2}中的任一參數(shù).下面不加證明地給出潛變量情形下的幾個(gè)有關(guān)后驗(yàn)分布的結(jié)果，其證明過(guò)程可以類推不附加潛變量情形的證明[15,17]，這里不再贅述.

推論1 設(shè)φ-i表示自回歸系數(shù)向量φ除去φi以外的部分，i=1,2,··· ,p，則其后驗(yàn)條件分布滿足

其中

推論2 在假設(shè)(5)下，白噪聲的方差σ2的先驗(yàn)分布共軛，且

在接下來(lái)的章節(jié)中，將采用基于潛變量M-H 抽樣的MCMC 算法研究匯率序列的參數(shù)估計(jì).

4 潛變量M-H 抽樣

考察Markov 鏈抽樣序列的平穩(wěn)性，如果具有轉(zhuǎn)移矩陣P和分布π(φi)的Markov 鏈對(duì)所有的狀態(tài)θi, θj滿足下面的等式

上式稱為細(xì)致平衡方程，此時(shí)該馬氏鏈的分布π(x)是平穩(wěn)的.

那么

本節(jié)采用獨(dú)立Markov 鏈，其轉(zhuǎn)移概率與當(dāng)前狀態(tài)無(wú)關(guān)，則

從而自回歸系數(shù)的MCMC 采樣方法分為以下幾個(gè)步驟：

則公式(2)可以寫成

定義序列

從而，公式(15)可以寫成向量形式

獲取先驗(yàn)分布為IG(α,β)的參數(shù)的初始值

其中ei,-1= 1/e, i= 1,2,··· ,m1,m2,m2+ 1,··· ,n, εi,-1= 1/εi, i=m1,m1+1,··· ,m2.本節(jié)以零均值的ARMA(p,q)為例，給出基于M-H 抽樣的潛變量MCMC 模擬算法的步驟：

步驟1 采用OLS 估計(jì)獲取自回歸系數(shù)、滑動(dòng)平均系數(shù)以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的初值

同時(shí)，獲取一次隨機(jī)誤差項(xiàng)

5 觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)

在金融市場(chǎng)上存在許多理財(cái)產(chǎn)品，其中就包括觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品，例如見表1，其到期日的收益可以歸結(jié)為如下公式

表1 掛鉤于歐元兌美元匯率的觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品(起購(gòu)金額：50000 元)

其中隨機(jī)過(guò)程{xt,t ≥0}表示歐元兌美元的匯率，其隨機(jī)結(jié)構(gòu)見公式(1).

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)理財(cái)產(chǎn)品進(jìn)行價(jià)值分析，采用潛變量M-H 抽樣方法獲取匯率模型(1)的參數(shù)之后，對(duì)匯率的軌跡進(jìn)行模擬.假定當(dāng)前時(shí)刻為t時(shí)刻，理財(cái)產(chǎn)品在T時(shí)刻，將觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品剩余存續(xù)期(t,T]進(jìn)行劃分，即

其中dt表示1 天，與圖1 中的時(shí)間間隔相同，并假設(shè)匯率在理財(cái)產(chǎn)品存續(xù)期內(nèi)的預(yù)測(cè)軌跡為

其中下標(biāo)j表示{xj(ti), i= 1,2,··· ,n}對(duì)匯率的第j條軌跡模擬，從而觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品在到期日的第j次模擬結(jié)果表示為

依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度定價(jià)方法，收益為(18)的觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品在當(dāng)前時(shí)刻t的價(jià)值滿足

其中r表示銀行的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，E[·|Ft]表示關(guān)于當(dāng)前時(shí)刻σ-代數(shù)的條件期望.注意t0=t, tn=T，從而當(dāng)M足夠大時(shí)，采用矩估計(jì)方法可得觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品的一個(gè)估計(jì)

6 仿真分析

為了考察缺失序列MCMC 估計(jì)方法的有效性，本節(jié)考察ARMA 序列，將MCMC 方法和傳統(tǒng)的OLS 方法進(jìn)行比對(duì)分析.實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Windows XP 系統(tǒng)，Intel(R)Core(TM)i7-6700K @4.00GHZ，內(nèi)存16.0GB.本節(jié)的模擬計(jì)算采用編程軟件R3.4.2.

6.1 數(shù)值比對(duì)

設(shè)定p=q= 1, φ1= 0.8, θ1= 0.5, σ= 0.1, m1= 100, m2= 150, n= 500，在樣本數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中學(xué)者們常常采用Gibbs 抽樣完成MCMC 模擬.遺憾的是，金融市場(chǎng)中的序列(例如匯率、股票以及指數(shù)的歷史數(shù)據(jù))往往存在異方差效應(yīng)，Gibbs 抽樣依據(jù)這些歷史數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布進(jìn)行采樣，所獲取的模擬序列也通常具備波動(dòng)率聚集現(xiàn)象，這違背了Gibbs 抽樣算法關(guān)于抽樣序列的平穩(wěn)性假設(shè).為了說(shuō)明這一問(wèn)題，我們考察ARMA(1,1)序列，設(shè)置模型常數(shù)項(xiàng)c= 0，其R 語(yǔ)言模擬的AR(1)序列見圖2.將模擬結(jié)果的中間去除視為缺失數(shù)據(jù)，其模擬結(jié)果見圖3.

圖2 ARMA(1,1)序列

圖3 數(shù)據(jù)缺失情形下ARMA(1,1)序列

考察傳統(tǒng)的Gibbs 抽樣方法.自回歸系數(shù)φ1的Gibbs 抽樣序列見圖4，可以看出抽樣序列出現(xiàn)了波動(dòng)聚集現(xiàn)象.由于MCMC 法要求抽樣序列平穩(wěn)，這顯然與MCMC 方法的基本原理不符.

圖4 自回歸系數(shù)φ1 的Gibbs 抽樣序列

接下來(lái)，考察基于潛變量M-H 抽樣的MCMC 算法的模擬效果.注意由于傳統(tǒng)的Gibbs 抽樣在模擬ARMA 序列時(shí)產(chǎn)生了異方差效應(yīng)，這不符合MCMC 算法的模擬條件，這里主要模擬潛變量M-H 方法的抽樣參數(shù)序列是平穩(wěn)的，這意味著針對(duì)ARMA 序列潛變量M-H 方法有更好的適應(yīng)性.同時(shí)也比對(duì)模擬潛變量M-H 方法比傳統(tǒng)的OLS 方法精度有所提高.

采用傳統(tǒng)的OLS 方法、Gibbs 抽樣方法以及M-H 抽樣方法進(jìn)行AR MA(1,1)序列的參數(shù)估計(jì)，結(jié)果見表2.在M-H 抽樣運(yùn)算中，首先對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行2500 次的預(yù)迭代消除初值對(duì)模擬結(jié)果的影響.從圖5、圖6 及圖7 可以看出M-H 抽樣獲取的Markov 鏈趨于平穩(wěn)，說(shuō)明M-H 抽樣估計(jì)的結(jié)果收斂.

圖7 σ 的M-H 抽樣序列

圖6 滑動(dòng)平均系數(shù)θ1 的M-H 抽樣序列

表2 模擬參數(shù)設(shè)定及估計(jì)效果

圖5 自回歸系數(shù)φ1 的M-H 抽樣序列

之后再進(jìn)行2500 次迭代，結(jié)果見表2，可以看出基于潛變量M-H 抽樣的MCMC 方法有更好的模擬結(jié)果.連續(xù)模擬10000 個(gè)輪次，發(fā)現(xiàn)：

1) 就自回歸系數(shù)φ1而言，潛變量M-H 抽樣方法優(yōu)于OLS 方法的次數(shù)為9903；

2) 就滑動(dòng)平均系數(shù)θ1而言，潛變量M-H 抽樣方法優(yōu)于OLS 方法的次數(shù)為9647；

3) 就隨機(jī)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差σ而言，潛變量M-H 抽樣方法優(yōu)于OLS 方法的次數(shù)為9501.

在之后的部分，將利用MCMC 方法獲取的匯率序列模型，研究觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題.

6.2 實(shí)證分析

本節(jié)將嘗試分析表2 中觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品的價(jià)值，由于它們均掛鉤于歐元兌美元的匯率，從而在新浪網(wǎng)財(cái)經(jīng)板塊收集了該匯率2018 年9 月20 日至9 月27 日的數(shù)據(jù)，時(shí)間間隔為4 小時(shí)，受開盤制度的影響周末的匯率出現(xiàn)了數(shù)據(jù)缺失，見圖1.

根據(jù)Eacf 方法、AIC 準(zhǔn)則和BIC 準(zhǔn)則，確定匯率模型為AR(1)，再依據(jù)M-H 抽樣方法，模型的參數(shù)為

從而匯率模型(1)可以確定為

根據(jù)2018 年9 月20 日的銀行利率信息，選取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.0435, M=300000，并利用公式(19)，獲取三款來(lái)自農(nóng)業(yè)銀行的觸發(fā)式理財(cái)產(chǎn)品的估計(jì)價(jià)格，其模擬價(jià)格情況見表1 最后一列.