基于灰色支持向量機殘差修正模型的地面沉降量預測

寧志杰，袁 穎，2

(1.河北地質大學城市地質與工程學院，河北石家莊 050031；2.河北省高校生態環境地質應用技術研發中心，河北石家莊 050031)

0 引言

隨著我國經濟的迅猛發展和城市化進程的加快，人們對空間資源和礦產資源的需求量越來越大，資源的過度開發對周圍環境造成了極大的影響和破壞。其中，以地下空間及礦產資源的開發和高層建筑的興建等工程活動引起的地面沉降現象尤為嚴重。地面沉降不僅會引起周邊建筑物和地下管線的變形，而且區域性的地面沉降往往伴隨著地裂縫的發生，嚴重危及人民的生命財產安全。因此，通過發現已有地面沉降數據內在的規律與本質，預測未來沉降量與沉降趨勢是一個值得探索的問題。

目前應用于地面沉降量預測的模型有很多種，如種亞輝等(2019)基于時序InSAR技術對常州市重點沉降區域的沉降量進行了預測；周愛紅等(2018)采用粒子群優化的支持向量機模型對盾構施工引起的地面沉降量進行了預測；戴文婷等(2019)通過緩沖算子優化原始序列，對地鐵施工過程中的地表沉降量進行了預測；彭立順等(2019)采用優化后的神經網絡對南城高速路基沉降量進行了預測。上述各類單一模型都能夠對沉降量進行預測，但是均存在預測精度較低的情況。為了提高預測結果的精度，結合不同模型的優點建立組合模型在地面沉降量的預測中應用越來越受到重視。李慧潔等(2016)以山西省太原市閻家峰路段地面沉降數據為基礎，建立了泊松和指數模型的組合模型，對黃土地區高填方路堤沉降量進行了預測；楊彪等(2016)將人工神經網絡與灰色GM(1,1)模型相結合，建立了GM(1,1)-ANN預測模型對某工程沉降監測點數據進行了預測；武光偉(2016)針對沉降量具有非平穩時序性和發展趨勢確定的特點，建立了GM(1,1)-AR組合模型，對某高層建筑物的沉降量進行了預測；王朋飛(2017)基于經驗模態分解(EMD)和支持向量回歸(SVR)相結合的預測方法，建立EMD-SVR模型對長春自由大道地鐵站地表沉降量進行了預測。上述組合模型有效地提高了沉降預測的精度，在一定程度上表明了組合模型在沉降量預測中的優勢。

鑒于此，本文基于GM(1,1)模型具有處理小樣本、貧信息，弱化原始序列隨機性的特征和SVM模型泛化能力強、處理小樣本、波動大、非線性樣本數據等方面的優勢，采用SVM模型對GM(1,1)模型沉降量預測值的殘差進行修正，建立GM(1,1)-SVM模型，并檢驗GM(1,1)-SVM模型在沉降量預測方面是否能夠取得更好的效果以及該模型能否滿足實際應用的需要。

1 模型理論

1.1 灰色GM(1,1)模型

中國控制論專家鄧聚龍教授于1981年提出灰色系統概念，并于1982年建立了灰色系統理論。該理論以部分信息已知、部分信息未知的灰色系統為研究對象，通過對部分已知信息的處理、開發和分析，實現對整個灰色系統的發展趨勢、變化規律進行準確的反映和描述。目前，應用最廣泛的是GM(1,1)模型，它通過對原始數據累加形成有規律的時間序列數據，進而建立微分方程形式的預測模型(Dejamkhooy et al.,2017;Manjunatheshwara and Vinod,2018;Shi et al.,2018;Gao et al.,2018)。具體的步驟為:

(1)設建模序列x(0)有n個對應的觀測值

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n)}

(1)

式中：n為數據個數。

(2)進行累加運算使其成為有規律的時間序列數據，弱化其隨機性

(2)

(3)構造變量x(1)關于時間t的一階微分方程GM(1,1)方程

(3)

式中：ax(1)項中的a為發展系數；u為灰色作用量；其中a和u均為未知。

(4)由上式的離散形式，可得如下矩陣，并簡化為線性模型：

Y=[x(0)(2),x(0)(3),...,x(0)(n)]T

α=(au)T

Y=Bα

(4)

式中：Y為數據向量；B為數據矩陣；α為參數向量。

(5)用最小二乘估計法求解上述簡化的線性模型得

(5)

(6)

(7)

(7)同時以平均相對誤差作為檢驗GM(1,1)模型精度和預測效果優劣的方法，其具體計算方法為

(8)

(9)

1.2 SVM模型

SVM方法是建立在統計學理論中的VC理論和結構風險最小原理基礎上的一種機器學習方法。當需要處理低維空間難以處理的數據集時，SVM通常會通過一個非線性映射將這些數據映射到高維空間，在此空間構造最優超平面使各類之間的距離達到最大來解決分類問題(圖1)。它的關鍵在于核函數，核函數能夠有效地解決空間內積的計算過程復雜繁瑣、計算量龐大的問題，這就意味著，當我們確定好核函數后就能在高維空間對這些數據進行有效的學習和識別(Huang et al.,2016;Qian et al.,2016;Wei et al.,2018;Abdolrazzaghi et al.,2018)。SVM具體的實現過程為：

圖1 超平面劃分示意圖

(1)將回歸問題轉化為求結構最小風險度問題

對于給定的樣本，[(xi,yi)],i=1,2,3...,n。n為樣本總數，xi為訓練樣本的各個參評指標，yi為相對應的評價結果。根據SVM理論建立一個目標函數并設置約束條件，將最優化問題轉化為結構風險度最小問題。

(10)

(11)

式中：αi和αj為拉格朗日乘值；ω為權值矢量；b為偏置值；C為懲罰因子；ξi,ξi*為松弛因子；ε為允許誤差；φ(x)為從輸入空間到高維特征空間的非線性映射。

(2)解決對偶問題并引入核函數

(12)

(13)

式中：xr和xs為一對支持向量；αi為與每個樣本對應的拉格朗日乘子；αi*為最優解；K(xi,x)為核函數。本文通過閱讀大量文獻選擇了在時間序列預測中應用較為廣泛的RBF核函數，其公式如下：

K(x-xi)=exp(-g|x-xi|2)

(14)

式中：g為參數。

1.3 GM(1,1)-SVM殘差修正模型

在GM(1,1)模型的精度不理想的情況下,應當考慮建立殘差修正模型。GM(1,1)-SVM殘差修正模型首先利用SVM模型對殘差序列進行修正，然后將GM(1,1)模型預測出來的沉降量與SVM模型修正后的殘差序列相加，最終得到GM(1,1)-SVM模型的預測結果。在SVM模型訓練過程中采用GA算法對參數C和g尋優(Vijayashree and Sultana,2018;要震等,2018;楊風開和程素霞,2018;Han et al.,2019)。GM(1,1)-SVM模型具體的實現過程如下：

(3)同時仍以平均相對誤差檢驗GM(1,1)-SVM殘差修正模型預測效果的優劣。

2 模型預測效果分析

由GM(1,1)-SVM殘差修正模型的建模過程可知，當GM(1,1)模型精度較差、預測結果難以滿足實際應用時，需要考慮建立GM(1,1)-SVM殘差修正模型。因此本節首先采用GM(1,1)模型對沉降量進行預測，并根據預測結果分析GM(1,1)模型存在的問題以及是否需要建立殘差修正模型。若GM(1,1)模型精度較差則按1.3節中的步驟建立GM(1,1)-SVM殘差修正模型，將預測結果與GM(1,1)模型的預測結果進行對比，分析GM(1,1)-SVM模型能否解決GM(1,1)模型存在的問題以該模型的預測結果能否滿足實際需要。

2.1 數據來源

某高層建筑地面18層，地下2層，基礎埋深8 m，采用天然地基，地基土類型為低壓縮性的粉土及粉質黏土。為研究高層建筑建成后對周圍建筑的影響，有關單位從2010年高層建筑完工到2012年的2年內對該高層建筑的沉降量進行了監測頻率為1次/月的長期監測。記錄了該高層建筑的沉降發展情況，監測點平面布置圖如圖 2所示，本文以2010年7月～2011年12月的時間段內角點A1、B1和B5的18次沉降數據為例進行了后續分析。

圖2 監測點平面布置圖

2.2 GM(1,1)模型預測效果分析

以角點A1、B1和B5的18次沉降數據的平均值(表1)作為沉降量樣本，為充分利用所收集的沉降數據，提高沉降量的預測次數(即預測更長時間段內的沉降發展趨勢)，通過不斷的調整擬合沉降數據與預測沉降數據的次數經過反復試算，最終確定采用前15次地面沉降值作為建模序列建立GM(1,1)模型，預測第16次～第18次的地面沉降值。首先，將前15次沉降值作為建模序列相對應的15次觀測值(形如式(1)所示)，采用式(2)～(5)對上述15次觀測值進行累加、建立微分方程、求解線性模型獲得灰參數α，通過式(6)建立離散形式的GM(1,1)模型時間響應函數。由式(7)可知，GM(1,1)模型的預測過程是一個累減還原的過程，當取式(7)中的t為18時，不僅能夠得到第16～18次沉降量的預測值，并且通過累減還原還會得到前15次沉降量的預測值，稱其為擬合值。將GM(1,1)模型的18次累減還原值劃分為對前15次沉降量的擬合結果和第16～18次沉降量的預測結果見圖3,并通過式(8)計算殘差值見表1。

表1 高層建筑監測點18次實際沉降量平均值

圖3 高層建筑沉降量擬合結果與預測結果對比圖

由圖 3從整體上對18次實際沉降值與GM(1,1)模型的18次沉降量累減還原值進行對比分析可知，實際沉降量以第7次觀測數據為分界點，可以近似的看為是斜率不同的兩段直線，分界點前沉降量增長較快，分界點后沉降量增長緩慢。表明該高層建筑竣工后的一段時間內地面沉降量增長迅速，隨著時間的推移沉降量增長緩慢乃至于停止，這符合我們對地面沉降現象的認知。而由圖 3中沉降量累減還原值不難看出，在不考慮第一次的沉降量累減還原值時，沉降量累減還原值的增長類似于一條增長率逐漸增大的曲線，這不符合沉降量后期緩慢增長的實際情況，將會導致第16次～第18次的沉降量預測值偏高。為排除建模序列長度對GM(1,1)模型預測效果的影響，采用1次～第5次的沉降量值作為建模序列建立GM(1,1)模型，預測第6次～第7次的沉降量時，發現沉降量的累減還原值仍近似于一條增長率逐漸增大的曲線。該結果表明模型累減還原值的這種曲線形式的增長規律并不是由建模序列過長引起的。因此，認為GM(1,1)模型沉降量累減還原值呈曲線形式增長是模型本身的問題。

在實際地面沉降量預測過程中，由于預測沉降量所對應的沉降實際值是未知的，不可能通過第16次～第18次地面沉降量的預測值與實際值進行對比分析預測效果的好壞，只能通過對比前15次沉降量擬合值與實際值判斷GM(1,1)模型第16次～第18次的預測值是否符合實際情況。由表1中殘差值計算得出GM(1,1)模型的前15次擬合值與實際值的平均相對誤差為27.6%可知，模型的精度并不理想；而由圖 3中擬合結果部分可知，擬合值與實際沉降值的第4次～第12次擬合程度較高，第1次～第4次和第12次～第15次的擬合效果較差，并且由圖 3中第12次～第15次殘差值逐漸增大的趨勢可知，沉降量預測值增長量要比實際沉降值增長快，綜上所述，推測GM(1,1)模型的第16次～第18次的預測值較實際值是偏高的，而由圖 3中預測結果部分可知沉降量預測值的確比實際值高。由于這種預測值偏高的情況是模型本身導致的，難以通過調整GM(1,1)模型的相關參數提高模型沉降預測的效果，只能通過預判第16次～第18次的殘差值，將其與GM(1,1)模型第16次～第18次的預測值相加來降低模型預測值的誤差，因此考慮利用泛化能力強、處理突變問題效果較好的SVM模型對殘差進行修正。

2.3 GM(1,1)-SVM模型預測效果分析

為了克服模型本身的缺陷，提高預測結果的準確性，以表1殘差序列中的18個殘差值作為原始數據建立SVM模型。SVM模型建模的具體步驟為：以殘差序列的第1次～第3次數據作為輸入xi，第4次作為輸出yi；再以第2次～第4次數據作為輸入xi，第5次作為輸出yi；以此類推，基于式(10)～(12)對上述12組數據處理得到式(13)中的回歸函數建立SVM模型，預測第16次～第18次殘差值，接著將殘差修正值與GM(1,1)模型的預測值對應相加作為GM(1,1)-SVM模型的預測值。最后將兩種模型的第16次～第18次地面沉降預測值同實際值進行對比，并根據式(9)計算出預測結果的平均相對誤差來檢驗預測結果的精度，如表2所示。

表2 GM(1,1)模型和GM(1,1)-SVM模型預測結果對比

由于SVM模型預測效果受參數C和g影響較大，為了獲得最優的參數值本文利用MATLAB語言編寫GA算法進行參數尋優，遺傳算法的初始參數為：種群的最大數量設置為20，進化終止代數為100，參數C的取值范圍為(0,100]，參數g的取值范圍為[0,1000]，SVM交叉驗證參數為默認值5，GA算法的尋優過程如圖 4所示。經過不斷地迭代計算最終確定SVM模型最優參數值為C=3.06，g=0.2。利用GA算法所確定的參數值作為SVM模型的最優參數值對上述殘差序列進行預測。

由圖 4可知，采用GA算法對SVM模型參數進行優化，在遺傳進化至54代后，SVM模型能夠對訓練樣本數據進行有效的識別，取得了很好的優化效果，GA算法有效地避免了依賴經驗數據進行參數優化，同時縮短了尋找SVM模型最優參數的時間，提高了預測結果的準確率。

圖4 GA算法尋優過程圖

由表2可知，GM(1,1)模型和GM(1,1)-SVM模型的平均相對誤差分別為24%和2.2%，表明GM(1,1)-SVM模型的沉降預測值更逼近真實值，預測精度更高，能夠在實際工程中取得更好的應用。并且通過表2可以計算出GM(1,1)模型和GM(1,1)-SVM模型的預測結果與實測沉降數據的相對誤差，GM(1,1)模型第16次～第18次地面沉降預測值的相對誤差為17.7%，24.4%，30%；GM(1,1)-SVM模型第16次～第18次地面沉降預測值的相對誤差為1.6%，2.8%，2.3%。由此可知，經過殘差修正后建立的GM(1,1)-SVM模型第16～18次地面沉降預測值的相對誤差相對于GM(1,1)模型均有顯著降低，表明采用SVM模型修正殘差對提高預測結果準確性是十分有效的。

此外，由表2不難看出，無論是GM(1,1)模型還是GM(1,1)-SVM模型，它們預測的沉降量值均高于實際沉降量的值。因此，利用SVM模型對殘差序列進行預測，并與GM(1,1)模型的預測結果相結合，并不能從根本上解決GM(1,1)模型對沉降數據預測時出現的問題，但是通過這種方法能夠減小預測結果的誤差，增強預測模型在解決實際問題中的實用性。

3 結論

地面沉降是在多種因素共同作用下產生的一種地質災害現象，難以用單一的預測模型準確有效地預測出未來一段時間內地面沉降量的發展趨勢。當沉降序列展現出增長率逐漸增大的曲線形式變化規律時，GM(1,1)模型的預測效果會更加精確，而大多數實際沉降是一個前期沉降量增長迅速、后期沉降量增長緩慢的過程，沉降發展趨勢并不符合曲線增長的變化規律。因此本文將GM(1,1)模型與SVM模型相結合建立GM(1,1)-SVM模型，充分發揮了GM(1,1)模型和SVM模型的優勢，雖然不能從根本上解決GM(1,1)模型預測值偏大的問題，但是該模型做出了更符合工程實際的預測，為地面沉降數據的處理提供了一種新方法。

采取GA算法優化的SVM模型具有良好的自適應性以及預測結果準確率高的特點，實現了對殘差的有效預測，但是在利用殘差序列建立SVM模型的過程中，訓練樣本輸入數據個數與輸出數據個數的確定，仍有待進一步的研究和分析。