非線性聲場中的參量激發*

陳海霞 林書玉

(陜西師范大學物理學與信息技術學院， 陜西省超聲學重點實驗室， 西安 710062)

本文基于求解單頻聲波方程近似解的方法， 得到了非線性聲場中諧波的聲壓與介質性質、初始聲壓幅值及頻率之間的定量關系.并對兩列相對聲壓幅值和相對頻率不同情況下的聲場分布進行了研究.通過分析單、雙頻聲源輻射場中的諧波分布和傳播規律發現: 在非線性聲場中會不斷地出現新的諧波， 激發的各階諧波隨著聲波傳播距離的增大逐漸增強而后減弱.在聲源的附近， 諧波的聲壓隨基波聲壓振幅的增大而增大;但在基波的頻率增大時反而會減小.在輸入總聲能相同的情況下， 與單頻聲場相比雙頻聲源輻射場的聲能量分布較均勻， 聲的傳播距離較大， 遠場中的諧波含量較大.結果表明， 基波的頻率越高， 衰減得越快， 諧波的積累越緩慢; 聲壓的極值越大， 基波聲能量轉移得越多， 產生的諧波越多， 基波的衰減越快， 聲壓對遠場聲能的負效應增大; 如果改用多頻聲源， 并適當地控制輸入聲波的組成成分， 可以達到改善聲場分布均勻性、增大聲輻射距離的效果.

1 引 言

超聲波的自作用以及不同頻率聲波在空間的調制問題， 近年來引起了國內外學者的廣泛關注并取得了不少的成果.鑒于超聲波和介質的非線性效應， 傳播中的聲波波形會不斷地發生變化， 同時在聲的傳播路徑上持續地發生諧波、分頻波以及和差頻波; 而且實際聲源輻射的往往是多頻波， 不同頻率聲波間的非線性相互作用， 又會產生新的各階差頻與和頻聲波， 這些新波的出現將會改變初始聲波的傳播特性[1-7].如Westervelt[8]提出的非線性聲學參量陣理論， 以及錢祖文[9，10]的聲散射聲理論都為聲吶小型化、高性能化提供了理論依據.強聲場中大幅聲波的超吸收、聲壓對聲源遠場能量的負效應[11-13]， 說明影響非線性聲的傳播的不僅是驅動聲源， 還有介質的非線性和黏滯性、熱傳導及空化等諸多因素[14-20].本文根據求解聲波方程得出的近似解， 分別對單、雙頻聲源聲場中的聲參量的產生和傳播規律進行了探討.通過比較發現， 聲波間的非線性相互作用不僅改變了基波與諧波的含量比， 而且使聲場中的聲能分布也發生了變化.即當輸入聲波的聲壓比和頻率比不同時， 聲場的分布就會不同， 因此可以通過改變輸入聲波的組成成分來調控聲場的分布.這個研究結果為建立高聲強低畸變， 聲能分布均勻的聲場提供了理論上的依據.

2 聲的非線性傳播模型

2.1 單頻聲波的非線性傳播

描述聲的非線性傳播規律的基本方程為[21]

式中，μ，μ′表示介質的第一和第二黏滯系數;κ為介質的熱傳導系數;CV，CP分別為介質的等容和等壓比熱容;β為介質的非線性系數;p=P-P0和ρ′=ρ-ρ0分別表示由于聲擾動引起的介質壓強和密度的變化，P0和ρ0分別表示液體靜態的壓強與密度，c0為絕熱聲速.假設速度是無旋的并將(3)式代入(2)式， 消去p可得

分別將?/?t，?·作用于(4)式， 結合(1)式消去?ρ′/?t，?ρ′項， 并引入勢函數φ， 即υ=-?φ.利用線性關系得到的非線性波動方程為

設上述聲波方程的解可以表示為

其中φ1為一級近似解;φ2為二級近似解;φ3為三級近似解.

令φ1=φaeiω(t-x/c)， 依據文獻[22]可知， (7)式中的二級近似解為[22]

在A?1 的條件下， 波的衰減系數可以表示為

用同樣的方法， 求得的三級近似解為

式中

從(8)式和(10)式可以看出， 頻率為ω的單頻聲波在介質中傳播時， 聲速發生了改變且滋生了頻率為 2ω和 3ω的諧波.如果在展開式(3)式中保留更高次項， 就可以得到更高次的諧波解.而且各高次諧波的強度都與驅動聲壓、介質的性質有關，并隨傳播距離x的增大而增大.

2.2 聲波間的非線性作用及傳播

考慮到實際的聲源輻射的聲波一般都含有多個頻率成分， 不同頻率聲波間的非線性作用又會產生新的各階差頻與和頻聲波， 致使初始聲波的傳播特性發生了改變.為使問題簡化， 以下僅討論兩列聲波間的相互作用.

基于文獻[22]中單頻聲波方程的求解方法，設初始聲波為兩個頻率為ω1和ω2的簡諧擾動之和， 令

將(15)式代入(5)式的右端， 得到的二級近似方程為

求解(16)式得到對應的二級近似解為

其中

可知， (17)式右端的第三項是由兩列簡諧波組成的， 它們分別為兩列初始聲波的和頻波與差頻波.

其中

比較單、雙頻聲波傳播方程的二級近似解即(8)式和(17)式可以看出， 雙頻聲場中不僅含有兩列聲波單獨傳播時滋生的二次諧波項

還增加了修正項.第三項的出現說明: 兩列聲波在非線性傳播過程中發生了相互作用， 并在介質中激發了頻率分別為|ω1+ω2|和|ω1-ω2|的新簡諧波.我們把由于聲波間的非線性相互作用在介質中產生和頻波與差頻波的現象稱為聲參量效應[23].

3 計算結果與分析

3.1 單頻聲場中的諧波分量

采用文中的非線性傳播模型， 對單頻聲波聲軸線上的聲場分布進行了數值分析.圖1中的橫坐標為X=x/xk， 縱坐標為P=pN/p1a，N為諧波的階數.其中x為觀察點與聲源之間的距離、xk為臨界距離、pN為N次諧波的聲壓幅值、p1a為驅動聲壓幅值.當驅動聲壓幅值p1a=2×105Pa，f=1MHz時(在水中β=3.6 )產生的諧波的傳播規律， 如圖1所示.

圖1 各階諧波的聲壓分布曲線Fig.1.The harmonic curve of acoustics.

從圖1可以看到， 在聲源附近的聲場中以基波為主， 諧波的含量較少; 隨著傳播距離的增大， 基波的聲壓逐漸減小， 諧波的聲壓逐漸增大.這表明聲場的能量由基波向高次諧波發生了轉移且在臨界距離處達到了最大; 階數越高的諧波聲壓越小轉移的能量也越少.圖1中諧波聲能約占基頻能量的13%， 其中有9%的聲能轉換成了二次諧波.為了簡化問題， 以下僅討論二次諧波的產生與傳播規律.

在不同驅動聲壓、不同頻率下產生的二次諧波曲線如圖2所示.從圖2(a)中可以看出， 當聲波頻率為1.5 MHz時， 驅動聲壓越大， 產生的二次諧波的聲壓越大; 隨著距離的增大， 二次諧波的聲壓值先增大后減小; 二次諧波的幅值越大， 衰減的也越快.從圖2(b)中可以看出， 驅動聲壓幅值為4.8 ×105Pa時， 驅動頻率越大， 二次諧波的聲壓幅值越小; 隨著距離的增大， 二次諧波的聲壓幅值先增大后減小; 聲壓幅值越小的二次諧波衰減得越快.圖1和圖2表明， 諧波的強度與聲源的驅動聲壓、頻率以及和聲源的間距有關， 驅動聲壓較高、頻率較低的聲場中更容易滋生諧波.

驅動聲壓不同時， 產生的諧波的聲能與聲場總能量之比的分布曲線如圖3所示.當頻率為1.5 MHz時， 隨著驅動聲壓的增大， 聲場中諧波能量的含量比也隨之增大， 這說明在聲的非線性傳播過程中， 驅動聲壓越大基波向諧波轉移的聲能量越多;隨著距離的增大， 諧波的含量逐漸積累增大而后減小， 驅動聲壓越強諧波含量比的變化越快.

圖2 二次諧波曲線 (a)不同聲壓下的二次諧波; (b)不同頻率下的二次諧波Fig.2.The distribution of second harmonic: (a) Different acoustic pressure; (b) different acoustic frequency.

圖3 諧波聲能與總能量比分布Fig.3.Distributions of the ratio of the hamonic and total energies.

3.2 聲波間的非線性作用與各諧波分量的分布

設兩列波的聲壓幅值為p1a，p2a， 頻率為f1，f2(f2＞f1) ， 其中f1=1MHz ， 選取的參數為:m=p2a/p1a，n=f2/f1.設聲場中總輸入聲能為 4 0J/m3，在聲軸線上產生的和差諧波分量的分布， 如圖4和圖5所示.

從圖4和圖5可以看出， 在頻率比n一定時，和差頻波的聲壓幅值都隨著m的增大而增大; 聲壓比m一定時， 隨著n的增大而減小; 差頻波的聲壓比和頻波的大且衰減得慢; 驅動聲壓極值和頻率值較小時激發的諧頻波較強， 如n= 2，m= 1/1時， 激發的和差頻波最強， 且差頻波聲壓約為和頻波的3倍.

圖4 和頻波聲壓分布曲線Fig.4.The acoustic pressure curves of sum frequency.

圖5 差頻波聲壓分布曲線Fig.5.The acoustic pressure curves of difference frequency.

由圖6可以看到， 在頻率比n一定時， 諧波的聲能含量隨著m的增大而增大; 聲壓比m一定時，隨著n的增大而減小; 隨著傳播距離的增大， 諧波的含量先增大后減小.當n= 2，m= 1∶1時， 諧波含量達到最大約占聲場總聲能的50%， 說明聲場中的能量轉移不僅與輸入的聲功率有關， 還與入射聲的組成成分有關.

圖6 諧波聲能與總能量比分布Fig.6.The ratio of the hamonic and total energies.

3.3 聲參量效應對聲場分布的影響

聲波在非線性傳播中產生的諧波與聲場的驅動聲壓幅值、頻率及介質的性質密切相關， 同時原聲場也會因諧波的存在而發生改變.在輸入總聲能相同的情況下， 單、雙列聲波傳播中的聲能變化及場中聲能的分布如圖7和圖8所示.

圖7 基頻聲能量的分布Fig.7.The distribution of fundamental energy.

圖8 基頻聲能量與總聲能量比分布Fig.8.The ratio of the fundamental and total energies.

從圖7可以看出， 在m= 1的情況下， 單頻聲場中的聲能衰減量最大而且衰減的速度也最快， 聲源遠場1 m處的聲能只剩下了5%; 多頻聲場中頻率比n較大的聲能衰減得較快.圖8給出了不同聲場中的基波聲能占比分布， 當諧波的含量增大時，基波聲能與總聲能的比值就會減小.圖8中顯示基波聲能比先減小后增大， 說明在傳播過程中產生的高次諧波率先被介質吸收; 在x=0.35m 處， 單頻的聲能比下降的值最大說明滋生的諧波最顯著.結合圖7和圖8可知， 單頻聲場中的驅動聲壓較大、產生的諧波較多且衰減得快、遠場的聲能以基波能為主; 相比之下多頻聲場中的聲能分布較均勻、聲波傳播的距離較大、遠場中的諧波含量也較大.

4 結 論

本文對聲波的非線性傳播過程中出現的聲參量效應進行了探討.人們發現了強聲場中的眾多現象， 例如水中大幅聲波的超吸收、聲場中能量的負效應等都與參量的激發有關.聲場中諧波的產生和積累過程與驅動聲壓、頻率和介質的性質密切相關.例如， 圖1所示的聲壓幅值為2 × 105Pa的聲波在水中的傳播規律， 表明聲波在介質中傳播時不但出現了諧波成分， 而且諧波的含量還隨著傳播距離的增大不斷增強.圖2(a)中， 頻率一定時驅動聲壓越大產生的二次諧波越強; 圖2(b)中， 聲壓一定時頻率較大產生的二次諧波較弱.由圖3給出的聲場中的諧波聲能比分布可知， 頻率一定的聲場中，諧波含量比隨著輸入聲壓幅值的增大而增大.這表明聲波與介質的非線性作用產生的諧波積累遠遠超過了聲的吸收作用.從圖4—圖6中的和頻波與差頻波的聲壓以及諧波的聲能分布， 可以看到和頻波含量較小且大多集中在聲源的附近， 差頻波較強而且傳播距離較遠.圖7和圖8給出的單、雙頻場中的基波聲能的分布及基波聲能與場中總聲能比的分布， 說明多頻場中的非線性作用過程要比單頻場更加復雜， 諧波成分也更豐富.綜合以上分析，說明聲波沿著傳播路徑不斷地激勵介質并產生新的諧波， 由于高次諧波更容易被介質吸收從而導致了聲能量的加速衰減; 在增大輸入聲功率的同時，聲場中的諧波含量也在增大， 聲能的衰減也在加快.最終的結果是高驅動產生了比低驅動更低的聲能分布， 因而參量效應也是引發強聲場中聲的超吸收、聲能反常衰減的因素之一.文中的研究還表明，當多頻聲源輸出的聲波的聲壓比和頻率比不同時，聲場的分布就會發生變化.例如兩列頻率相近的等幅聲波的耦合聲場， 與同聲功率的單頻聲場相比，聲場的傳播距離明顯增大而且場中聲能分布的均勻性也得到了顯著提高.這為通過改變輸入聲波的組成， 調控聲場的分布提供了理論上的依據， 也使得在高聲強情況下建立一個畸變低、聲能分布均勻的聲場成為可能.