求解非線性方程組的信賴域算法

唐江花

(安徽新華學院 通識教育部，安徽 合肥 230088)

非線性方程組的求解在金融、貿易、航空航天、工業、計算機等領域中有廣泛的應用，在這些領域中所遇到的非線性規劃問題都可以轉化為非線性方程組的求解問題.非線性方程組的求解實際上就是從眾多解中尋找最優解，例如研究問題解的最優條件、解是否存在以及復雜性等，這種最優化理論也叫作“數學規劃”，在實際生活中是一門應用性較強的學科[1-2].非線性方程組中的最優化解法在工作和生產實踐中應用到的頻率很高，實際的工作中算法結構復雜，變量眾多，具有規模大、結構復雜的特點，如果將其完全轉換為線性問題，得到的結果會遠遠脫離實際情況.因此非線性方程組的求解問題也成為人們重視與研究的問題，將具有上述特點的問題描述成非線性方程函數，并在一定的非線性約束條件下尋找其最大或最小解，成為了解決該類問題的最優方法.

但是傳統求解非線性方程組的算法中，雖然最終得到的非線性方程組的解比較準確，但是求解過程中迭代次數過多，導致運算的時間較長，因此本文提出一種求解非線性方程組的信賴域算法.信賴域算法是一種重要的優化算法，它起源于線性規劃，最早應用在無約束的優化問題中，其最大的特點是確定步長的方法，傳統步長確定方法一般為線性搜索，但是信賴域算法是通過求解信賴域的子問題，初步得到試探步長，并根據實際的計算函數的下降量情況對試探步長進行判斷[3-4].本文將這種算法應用到非線性方程組的求解過程中，以期能夠簡化傳統算法求解過程，提高非線性方程組的求解效率.

1 求解非線性方程組的信賴域算法

1.1 建立信賴域算法模型

對于非線性方程組：

F(x)=0，

(1)

(2)

信賴域不要求Hessian矩陣在每個迭代點處均正定，因此，試探步不成功時，可以加入二階校正步，沿著試探步的方向，利用固定步長公式產生步長，因此，當試探步長為lk且在信賴域內時，可設置當前迭代初始點為xk，且在以該點為中心，半徑為λk的閉球鄰域內，在步長迭代過程中需要有一自然數ζk且存在‖lk‖<ζk，用評價函數決定lk是否被接受，當試探失敗，信賴域的半徑會縮小，試探成功半徑將視具體情況增大或保持不變，這就是改進之后信賴域算法子問題中的非單調技術[5-6].信賴域算法的模型問題為：

(3)

(4)

在求解非線性方程組的過程中，利用目標函數及其相應的導數函數信息在Hessian矩陣中構造近似序列[7-8]，并對由該公式生成的目標函數的曲率近似進行修正.在保持矩陣序列正性的同時，也考慮了邊值問題的正解存在性，有助于克服詳細數值的奇異性.至此，完成了信任域算法模型的建立.

1.2 收斂性分析

在收斂性的討論與分析中，首先進行假設，待研究的函數F(x)是二階連續可微，并且和矩陣JacobianJ(x)是連續的[9-10]，那么存在：

‖J(y)-J(x)‖≤L1‖y-x‖ ‖F(y)-F(x)‖≤L2‖y-x‖，?x,y∈Rn,

(5)

式中，L1與L2為正常數.根據式(5)可知：

‖F(yk)‖=‖F(xk+dk)‖≤‖Fn+dk‖+L1‖dk‖2≤‖Fk‖+L2‖dk‖+L1‖dk‖2,

(6)

式中，dk為連續收斂系數.在上述的情況下，產生的迭代序列存在：

(7)

根據以上條件，可以得到收斂函數：

(8)

(9)

(10)

為了證明假設正確，需要證明：

(11)

(12)

2 仿真實驗

2.1 實驗設計

為了驗證本文提出的求解非線性方程組的信賴域算法的有效性，需要設計實驗，對算法的性能進行測試.選取以下金融案例作為研究對象：

某金融投資者想要進行長期投資，因此選擇5支目前業績較好的股票型基金A、B、C、D、E進行組合投資.在進行投資之前，對選擇的5種股票型基金進行市場分析，并得到統計預測的相關數據如表1所示.

表1 5種股票型基金的數據統計預測

在實驗過程中，假設5種股票型基金的購買金額占所有投資中的占比分別為xA、xB、xC、xD、xE，那么交易成本可以表示為：

ci(xi)=0.002xi+0.002(1-e-xi),

(13)

(14)

式中，rp表示投資組合中的預期收益；Q表示協方差矩陣；V表示投資風險.在計算機中，使用軟件Matlab分別對本文算法和傳統算法進行編寫，并設定算法中相關參數的值，令η1的值為0.000 1，η2為0.56，β1為0.27，β2為0.7.在軟件中，可以將上述的相關問題模型帶入具體數值：

(15)

根據分析可知，該模型為凸規劃，因此可以將上式轉化為非線性方程組問題.并分別使用本文設計的信賴域算法和傳統算法進行求解.按照上述的實驗方法，選擇相似的非線性案例進行求解，并將兩種方法的求解結果進行統計與分析.

2.2 實驗結果對比與分析

分別得到兩種求解算法的計算結果，如表2所示.

表2 計算結果對比分析

從表2中可以看出，利用本文設計的算法和傳統算法得到的3個案例的求解結果基本相似，驗證了本文算法的準確性和可靠性.

為了證明本文算法在求解的過程中能夠表現出優異的性能，對兩種算法在實驗過程中得到的相關參數進行統計，如表3所示.

表3 計算過程參數對比分析

從表3可以看出，在相同的測試環境下，3個不同的案例中，本文算法的迭代次數都是相對傳統算法更少的，CPU時間方面也更加省時，得到的函數值也更為精準.

3 結 論

在非線性方程組現有解法的基礎上，對求解非線性組的信賴域算法進行了進一步探討.以非線性方程為基礎建立信賴域模型，在其中融入改進了的非單調技術，在每一次的計算過程迭代中，完成信賴域子問題的分析與求解，分析了設計算法的全局收斂性.并在仿真實驗的3個案例中，驗證了本文算法的可靠性和性能優越性.

本文雖然取得了一定的成績，但是由于水平和時間的限制，還有很多不足之處，例如，算法的收斂性分析方面，只能在理論上證明算法具有收斂性，且應用的是反證法，但是對于收斂速度無法進行量化計算，這一問題在今后的研究中具有重要的理論意義和應用價值，也是今后對于非線性方程組求解方法研究的重要方向.