基于超收斂點配點法求解圓周上超奇異積分方程

李金，桑瑜，張曉蕾，蘇曉寧，屈金錚

(華北理工大學理學院，河北唐山063210)

0 引言

奇異積分在邊界元方法特別是自然邊界元方法[1]中尤為重要，超奇異積分方程算法的研究同樣應用廣泛[2－3]。 圓周上的超奇異積方程通常出現在圓域或橢圓域的邊值問題中，求解超奇異積分方程首先要計算超奇異積分，對超奇異積分進行有效的計算是求解超奇異積分方程面臨的一個重要問題[4]。

近年來，超奇異積分的近似計算得到了廣泛的研究[5－7]。 LINZ[8]研究了計算區間上超奇異積分的牛頓科特斯公式，并給出了奇異點在子區間中點時區間上二階超奇異積分的復化梯形公式及相應的誤差估計。 鄔吉明等[9]將超奇異積分作為以奇異點為變量的函數，并提出相應的計算方法。 余德浩[10]研究了圓周上超奇異積分的近似計算公式，并得到誤差估計。 對于區間上和圓周上超奇異積分的超收斂現象也得到了快速的發展[11－12]。 對于超奇異積分方程，研究成果相對較少，FENG 等[13]研究了基于矩形公式的圓周上超奇異積分方程的數值方法。對于配點法求解三階超奇異積分方程的文獻還較少。 LI 等[14]研究了圓周上三階超奇異積分的超收斂性，并基于超收斂點構造配置格式。

文章基于梯形公式近似計算圓周上三階超奇異積分，在誤差泛函特殊函數為0(零點即為超收斂點)的基礎上，選取超收斂點為配點構造線性方程組求解超奇異積分方程；通過引入正則化因子將奇異線性方程組變為正定線性方程組，完成圓周上三階超奇異積分方程的數值求解；通過對系數矩陣性質的研究得到其逆矩陣元素的顯示表達式，進而證明了該方法的收斂性，并通過數值算例驗證了理論分析的正確性。

1 圓周上超奇異積分方程概述

1.1 圓周上超奇異積分方程

考慮定義在圓周上的超奇異積分方程，由式(1)表示為

1.2 圓周上三階超奇異積分相關結論

首先說明以下記號，C表示與h和s無關的常數，在不同的位置代表的值不同。

基于梯形公式近似計算圓周上的三階超奇異積分，在文獻[14]中已有如下結論:

2 基于超收斂點配點法求解圓周上超奇異積分方程

2.1 引理及證明

2.2 定理及證明

3 數值算例驗證

考慮圓周上的三階超奇異積分，其中u(s)＝－4π(4sin 2s －9cos 3s) ，其準確解為v(x) ＝ cos 2x＋sin 3x。

配點法求解三階超奇異積分的誤差估計見表1，其誤差階為O(h2) ，數值算例驗證了理論分析的正確性。

表1 配點法求解超奇異積分方程的誤差階表

4 結論

基于梯形公式，以超收斂為配點的配點法求解圓周上的三階超奇異積分方程的收斂階為數值算例驗證了理論分析的正確性。