淺談閉區間連續函數性質及其推廣

王良晨 童雷雷

(重慶郵電大學理學院 重慶 400065)

連續函數是數學分析的主要研究內容，其相關性質已經相當完善，特別是連續函數在閉區間上的眾多性質也已經有了較好的研究成果，再由此推廣出的連續函數在開區間和無窮區間上的性質也被廣泛地應用。但是連續函數涉及內容多，定義形式和性質多樣化，定理證明學生難以理解，對相關性質難以全面掌握。由于證明部分構造性強，對學生的考核目前基本上采用了期中+期末兩次考試，但是無論是《數學分析》還是《高等數學》，均存在知識點多、需要考核的內容多等問題，且目前大多數考核局限于對知識點和計算能力的簡單考核，而忽視了對數學概念和數學推理能力的考核，考核過程中大多只重視計算能力、簡單的解題技巧。由于考試時間一般只有兩小時而考核內容較多，主要目的考核學生對簡單基本知識點是否掌握，難以深層次考核學生。實際上，該課程要求學生在理解基本概念的基礎上，還要靈活地加以應用，特別要求學生能夠利用定義去證明相關定理，要求學生具有較強的邏輯推理能力和分析能力，只有這樣，學生在今后考研和實際解決問題中，才能夠游刃有余，才能夠進一步將現有的結果進行推廣，才能進一步推動微積分的發展。因此，教師在教學過程中可以分章節進行考核，降低期末考試的分值，加強平時過程考核。教師在平時章節考核過程中必須將基本概念、基本理論和定理的證明思路作為重點考核對象。這樣可以做到教考的有機結合，相互促進。考核不僅是為了檢驗學生的學習效果，也是引導教師進行教學改革和學生改進學習方法的指揮棒。因此，本文系統歸納常用連續函數結論，有利于學生全面掌握連續函數的性質，學生通過系統地積累相關結論，可以為今后實際解決問題做好鋪墊。

一、連續函數的概念

sinx在x0上連續。又由于x0的任意性，故sinx在(-∞,+∞)上連續。

這是對開區間連續的定義，那如何研究閉區間上的連續呢？為此，需要給出單側連續的概念：

定義1.4[1][2]：若函數f(x)在(a,b)連續，在左端點a右連續，在右端點b左連續，則該函數f(x)在閉區間[a,b]上連續。

此外，還可以根據左右連續給出一點連續的充要條件：

定理1.2[1][2]：函數f(x)在點x0處連續的充要條件是函數f(x)在點x0左右均連續。

除了連續，一致連續也是討論函數性質的重要方法，反應了區間上更強的連續性。

定義1.5[1][2]：設函數f(x)在區間I上有定義，對任意給定的ε>0，存在δ=δ(ε)>0，當x',x''∈I滿足｜x'-x''｜<δ，有｜f(x')-f(x'')｜<ε，則稱函數f(x)在區間I上一致連續。

從定義可以看出，函數在一點連續和一致連續這兩個概念有著重要區別，函數在一點連續反應了函數的局部性質，而一致連續反應了函數整體性質，是一個更強的概念。一般一致連續可以推出連續，反之不成立。但在閉區間上兩者卻是一致的，可以互相推出。

二、閉區間連續函數的基本性質

定理2.1[1][2]：（有界性定理）若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則f(x)在該區間上有界。

定理2.2[1][2]：（最值定理）若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則f(x)在該區間上有最大值和最小值。

定理2.3[1][2]：（根的存在定理）若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

例2.1：證明方程x=cosx+2在[0,π]至少有一個正根。

證明：取f(x)=x-cosx-2，則f(0)=-1<0和f(π）=π-1>0，因此根據定理2.3可得，至少存在一點x0∈(0,π）使得f(x0)=0，因此上述結論成立。

例2.2：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且對任何x∈[a,b]都有f(x)≠0，則函數f(x)在閉區間[a,b]上定號。

證明：假設結論不成立，即存在x1,x2∈[a,b]使得f(x1)·f(x2)<0，根據定理2.3可得，至少存在一點x0介于x1和x2之間使得f(x0)=0，這與題設矛盾，故假設錯誤，即函數f(x)在閉區間[a,b]上定號。

定理2.4[1][2]：（介值定理）若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續且f(a)≠f(b)，若有(μ-f(a))(μ-f(b))<0，則至少存在一點x0，使得f(x0)=μ。

定理2.5[1][2]：（一致連續定理）若函數在閉區間上連續，則數在閉區間上一致連續。

三、閉區間上連續函數性質的推廣

下面給出幾個常用的連續函數在閉區間上性質。根據函數的奇偶性和變量代換容易得到如下幾個推論：

根據介值定理2.4，容易推得如下結論：

推論3.4：函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，設f(x)在[a,b]的最大值和最小值分別為M和m，則f([a,b])=[m,M]。

增加一定條件，該推論反過來容易得到如下結論：

定理3.1[3]：若f(x)在[a,b]上為單調函數，且值域為[f(a),f(b)]或者[f(b,f(a)]，則f(x)在閉區間[a,b]上連續。

對于閉區間上的連續函數，基本性質已經有了保證，但是對于開區間上述結論一般不成立，除非增加一定條件，下面幾個結論給出了推廣的形式。

定理3.2[3]：若f(x)在開區間(a,b)上連續，且f(x)在點a的右極限和點b的左極限存在且有限，則f(x)在開區間(a,b)上有界。

雖然在閉區間上連續和一致連續具有等價關系，但在開區間上連續不能保證有界，而一致連續卻可以保證有界：

定理3.3：設f(x)在開區間(a,b)上一致連續，則f(x)就在(a,b)上有界。

對于一致連續，除了定義和一致連續定理以外，下述三個定理也是常用判斷一致連續的方法。

定理3.4[1]：設f(x)在區間I上連續，滿足Lipschitz條件，即是對任意x',x''∈I，存在常數L>0，使

｜f(x')-f(x'')｜≤L｜x'-x''｜

則稱f(x)是區間I上的一致連續函數。

結合定理3.4和拉格朗日中值定理容易得到如下推論：

推論3.6：若f(x)在區間I上連續可導，且導函數f'(x)在區間I上有界，則f(x)在區間I上一致連續。

注：定理3.5除了判斷函數是否一致連續以為，對于判斷函數非一致連續也是非常好的方法。比如證明例1.2中的非一致連續。

四、結束語

該論文主要針對閉區間上連續函數的幾個性質進行了總結，通過對多個版本的數學分析教材的相關章節進行學習并整理出了閉區間上連續函數的基本性質。在此基礎上通過閱讀相關文獻對閉區間上的性質進行了推廣，探討了連續函數在無窮區間或者一般開區間上的性質，包括一致連續性在開區間上成立的條件等。目的是希望學生盡快掌握連續函數的概念、判斷方法、基本性質以及常用推廣的性質，這樣更有利于學生對該章節知識的掌握。