基于應變測量的結構載荷分布反演方法

兌紅娜,劉棟梁,張志賢,潘紹振,楊龍

中國航空工業集團公司成都飛機設計研究所 強度部,成都 610091

結構健康監控是新一代航空航天器一項重要且具有挑戰性的技術[1],其中需解決的關鍵問題是準確地測量與監控結構在飛行中所承受的載荷分布、應力場等信息[2]。在結構表面布置載荷傳感器來直接測量載荷分布是不現實的,常用的方法是采用應變測量對載荷進行反演[3-8](也稱反推),這顯然是一個根據結構響應推測結構載荷輸入的反問題。

反問題很有挑戰性,因為它往往是病態(也稱不適定)的,即應變測量的小誤差會導致載荷反演的較大偏差。此外,不同的載荷輸入可能導致相似的應變響應,因此反問題的解可能不是唯一的。

相比傳統的基于應變電橋的部件載荷標定(如機翼根部彎矩/剪力/扭矩),本文研究的載荷分布反演需在結構全局更多的位置測量應變,以獲取整個結構足夠廣泛且穩定可靠的應變分布。相比電阻式應變片,光纖傳感器具有重量輕、測量范圍廣、壽命長、抗電磁干擾及抗惡劣環境的優勢,可為載荷分布反演提供有利的條件。

國內外學者已經提出多種基于應變測量反演靜態載荷的方法,其中,應用最廣泛的是影響系數法[4-8]。文獻[4-8]中大部分算例是基于有限元分析進行理論驗證,少量的試驗驗證也僅是簡單懸臂梁,目前未見有大型復雜傳載結構(如真實飛機機翼)的應用實例。

影響系數法基于線彈性假設,認為由不同載荷工況下結構響應分布(如位移場、應力場、應變場等)的線性組合可以映射到結構載荷分布的線性組合。

1 影響系數法

影響系數法構建如下線性矩陣方程：

εg×1=Αg×mβm×1

(1)

fn×1=Pn×mβm×1

(2)

式中：εg×1表示未知載荷工況下的應變分布;fn×1表示未知載荷工況下的載荷分布;Ag×m表示影響系數矩陣;Pn×m表示單位載荷矩陣;βm×1表示線性系數;g表示應變測點數量;m表示單位載荷工況數量;n表示載荷加載點數量。

影響系數矩陣A通過施加單位載荷工況P來確定,影響系數可以是物理試驗的實際測量值,或者有限元分析值。其中,單位載荷可以是單點載荷或載荷基函數,詳見下文介紹。

注意,式(1)和式(2)并非文獻[4]中的原式,本文作者進行了重組和歸并,以便更清晰地表達影響系數法的內涵。

根據單位載荷的類型,影響系數法又分為單點載荷法和載荷基函數法。

1.1 單點載荷法

在單點載荷法中,單位載荷工況是僅對某個載荷加載點施加單位載荷,此時,m=n,P為單位矩陣,P=diag(1,1,…,1)。

式(1)和式(2)可以合并為

εg×1=Αg×mfm×1

(3)

式中：影響系數aij表示由于在加載點j處施加單位載荷引起的位置i處的應變,i=1,2,…,g,j=1,2,…,m。

在復雜結構的地面試驗中,考慮到集中載荷對局部加載區域的影響,每個加載點的載荷最大值是有限制的,因此在單位點載荷下大部分區域的應變響應并不大,這會對載荷反演精度造成不利的影響。因此,對于復雜結構,單點載荷法不適用于地面試驗驗證。

1.2 載荷基函數法

在載荷基函數法中,假設載荷分布滿足某種函數形式,單位載荷工況是施加某種載荷基函數形式的單位載荷分布,用fj表示。通常,m≠n,P=[f1,f2,…,fm]。

影響系數aij表示由于施加第j個載荷基函數{fj}的載荷分布引起的位置i處的應變,i=1,2,…,g,j=1,2,…,m。

文獻[5]將基函數fj取為沿翼面展向和弦向的多項式分布函數,如常數、線性、二次、指數及正弦函數等。

文獻[6]將基函數fj取為沿翼面展向和弦向的傅立葉級數項,如常數、單傅立葉項、雙傅立葉項等。

載荷基函數法的難點在于如何選取合適形式和數量的載荷基函數。在實際試驗中,作動筒加載點是有限的,且同一個作動筒和杠桿系統的載荷分配比例是固定的,很難模擬出復雜的載荷基函數。因此,對于復雜結構,載荷基函數法同樣不適用于地面試驗驗證。

1.3 討 論

經分析,載荷分布反演精度主要取決于以下幾方面：

1)單位載荷工況的選取(決定P)

對于單點載荷法,直接對各加載點施加單位載荷工況即可。對于載荷基函數法,載荷基函數的類型和數量直接影響載荷空間的完備性,如果選取的不合適,將很難準確預測任意載荷工況下的載荷分布。

2)應變測點數量和位置的選取(決定A)

應變測點應盡量分散,且對加載點載荷的敏感度較高,若某些加載點的載荷變化不能體現在應變測量值上,則該加載點是很難被準確預測的。

3)反向矩陣病態化的減弱(決定β)

在實際應用中,應變分布不可避免地存在測量誤差,需引入有效正則化方法來求解線性矩陣方程(式(1)),以降低病態化對載荷反演魯棒性的不利影響。

本文重點針對以上1)和3)展開研究。

2 基工況篩選法

為解決單位載荷工況選取的難題,本文提出一種基于施密特正交化的最大垂直距離逐步篩選基工況法(下文簡稱為基工況篩選法),總體思路是依次挑選出與當前歐式空間垂直距離最大的工況(或向量)組成新的歐式空間,直至所有工況(或向量)均位于該歐式空間,挑選出的工況即為基工況,詳細步驟見2.1節。

相比單點載荷法和載荷基函數法,基工況篩選法從設計載荷工況庫中篩選基工況,單位載荷工況是更為真實的載荷分布,便于在結構地面試驗中施加。

基于基工況篩選法的載荷分布反演流程見圖1,重點在于首先從載荷空間篩選出載荷基工況,然后在應變基工況包含載荷基工況的前提下,進一步從應變空間篩選出應變基工況,詳細步驟見2.2節。圖1中候選應變集指的是結構上根據實際情況可允許布置的應變測點集。

圖1 基于基工況篩選法的載荷分布反演流程

2.1 載荷基工況

將設計載荷工況的載荷分布矩陣表示為Pn×M=[f1,f2,…,fM],每個列向量fi表示一個載荷工況,M為設計載荷工況數量,n為載荷分布的加載點數量。

載荷列空間屬于n維歐式空間的子空間,只要確定一組線性無關的基向量,即基工況,則任意載荷工況均可用這組基工況來線性表示,此空間記為En×mf,mf為基工況數量。

基于施密特正交化法,從設計載荷工況庫逐步篩選出載荷基工況,具體步驟[9]為

步驟2選取某個載荷工況作為初始基工況,記為f1,將其單位矢量記為e1,得到一維載荷列空間En×mf,mf=1。

(4)

從以上步驟可知,載荷列空間的基工況組合不是唯一的,初始基工況f1和誤差閾值α決定了最終的基工況組合。在實際應用中,可將重要考核工況(如載荷最大工況)選為初始基工況。經研究分析,誤差閾值α取為所有設計載荷工況單位化后最小標準偏差的1/10～1/15較為合理。

通常,載荷向量的維數n越大,構建完備載荷列空間所需的基工況m就越多。在結構有限元分析中,氣動載荷和慣性載荷節點通常很密,但在實際地面試驗時,可用獨立的作動筒載荷表示載荷分布。

2.2 應變基工況

將設計載荷工況的應變分布矩陣表示為Ag×M=[ε1,ε2,…,εM],每個列向量εi表示一個載荷工況,M為設計載荷工況數量,g為應變測點數量。

在載荷基工況的基礎上,進一步從設計載荷工況庫篩選出應變基工況。將第2.1節的載荷分布矩陣Pn×M替換為應變分布矩陣Ag×M,并對篩選步驟2作如下修改：

步驟2選取已篩選出的mf個載荷基工況作為初始應變基工況組合,根據施密特正交化公式,將其轉換為標準正交矢量,得到mf維應變列空間Eg×mf。

其他步驟保持不變,可依次篩選出mε個應變基工況,mε≥mf,mε≤M,mε≤g。此時,確定了影響系數矩陣Ag×mε和基載荷矩陣Pn×mε。

在以上步驟中,步驟2是關鍵,應變基工況包含載荷基工況的準則確保了載荷分布反演精度。

3 正則化方法

常規最小二乘法無法解決反向矩陣病態化的問題,需引入合適的正則化方法來求解線性矩陣方程,從而提高載荷分布反演的魯棒性。

在眾多正則化方法中,應用最廣泛的是Tikhonov正則化法[10]。與常規最小二乘法不同,正則化法的關鍵是增加特定的正則項來加權誤差平方和極小的條件,以克服不適定性,使解唯一且穩定。

對于式(1)的線性矩陣方程,Tikhonov正則化的準則為

(5)

式中：H為正則化矩陣；λ為正則化參數。在眾多正則化參數優選方法[10]中,最常用的是L-曲線法和廣義交叉驗證法,哪種方法更優需根據具體情況而定。

由于篇幅有限,關于Tikhonov正則化的具體算法,本文將不再贅述,詳見文獻[10-11]。

4 算 例

基于某型飛機機翼疲勞試驗的作動筒載荷和光纖傳感器數據,對本文提出的基于基工況篩選法的載荷分布反演方法(見圖1)進行試驗驗證。本節所有圖例中的載荷均經過無量綱化處理。

機翼疲勞試驗共749種獨立載荷工況(M=749),左機翼下翼面共布置24個加載作動筒(n=24),4根主梁沿翼展方向均粘貼光纖傳感器,有效應變測點共116個(剔除損壞/異常測點),在本算例中將其作為候選應變集(g=116)。為消除應變測量誤差的影響,對每個候選應變測點取同工況多次測量值的均值,組成候選應變矩陣A116×749。

首先,根據作動筒載荷矩陣P24×749,采用2.1節所述方法,以最大機翼彎矩工況作為初始工況,閾值取為所有載荷向量單位化后最小標準偏差的1/10,逐步篩選出23個載荷基工況,mf=23?；r下的載荷分布情況見圖2。

圖2 基工況載荷分布

然后,根據候選應變矩陣A116×749,采用2.2節所述方法,基于已篩選出的23個載荷基工況,逐步篩選出82個應變基工況,mε=82,此時確定了影響系數矩陣A116×82和基載荷矩陣P24×82。

假設749種試驗工況下的載荷是未知的,僅已知各工況下的應變分布εi,應變測量誤差按以下3種情況：無誤差、5%隨機誤差和10%隨機誤差,根據式(1)和式(2),分別采用常規最小二乘法和Tikhonov正則化法預測749種工況的作動筒載荷,并根據作動筒位置進一步計算子部件總體載荷(機翼根部剪力/彎矩/扭矩、舵面剪力/鉸鏈力矩),將載荷預測值與實際值進行對比,以驗證以上載荷分布反演方法的預測精度和魯棒性。

4.1 無測量誤差

假設未知工況下的應變測量值無誤差,采用以上步驟進行載荷分布反演,見圖3,繪制了采用常規最小二乘法的24個作動筒載荷對比圖,橫坐標為載荷實際值,縱坐標為載荷預測值,圖中每個數據點代表一個載荷工況。可見：除4#、5#、15#、16#、20#作動筒稍差外,大部分作動筒的載荷預測精度很高。其中,4#、5#靠近機翼根部,15#、16#位于副翼,20#位于前襟。

圖3 作動筒載荷預測值與實際值對比(最小二乘法)

舵面作動筒(15#、16#、20#)預測精度稍差是符合預期的,因為光纖傳感器僅布置在幾根主梁的緣條上,這些應變測點對舵面載荷的響應并不大。若重點關注舵面載荷,則應增加舵面區域的應變測點,舵面載荷的預測精度自然會提高。

4#、5#作動筒預測精度差是由于存在多種載荷分布導致相似應變響應的情況,見圖4,第2個和第7個基工況的載荷分布明顯不同,但應變分布卻很接近。這種情況是不可避免的,雖然不能保證單獨加載點的預測精度,但部件總體載荷(如機翼根部剪力/彎矩/扭矩)以及總體應變分布是能準確反映的。

圖4 不同載荷分布下的相似應變響應

子部件總體載荷對比圖見圖5,橫坐標是載荷實際值,縱坐標是載荷預測值,圖中每個數據點代表一個載荷工況?？梢姡弘m然部分作動筒的載荷預測精度有限,但部件總體載荷的預測精度很高。

圖5 子部件載荷預測值與實際值對比(最小二乘法)

由于本算例的應變空間(g=116)是充分的,正則化方法的精度提升效果并不明顯,這里僅列出最小二乘法的結果。

4.2 隨機測量誤差

對未知工況下的應變測量值分別引入5%和10%的隨機誤差,采用以上步驟預測749工況的作動筒載荷和子部件載荷,并采用廣義交叉驗證法來確定Tikhonov正則化參數。

由于篇幅有限,此處僅繪制部件總體載荷對比圖,如圖6和圖7,橫坐標為載荷實際值,縱坐標為載荷預測值,圖中每個數據點代表一個載荷工況?？芍?/p>

圖6 引入5%隨機測量誤差的子部件載荷預測值與實際值對比

圖7 引入10%隨機測量誤差的子部件載荷預測值與實際值對比

1)對于常規最小二乘法，隨著應變測量誤差的增大，載荷反演精度迅速變差，當隨機誤差為10%時，精度已差到無法接受。

2)對于Tikhonov正則化法，隨著應變測量誤差的增大，載荷反演精度的降低是緩慢的，說明正則化方法可有效減弱病態化對載荷反演精度和魯棒性的不利影響。

5 結 論

本文針對基于應變測量的載荷分布反演,提出了一種基于施密特正交化的最大垂直距離逐步篩選基工況法,從設計載荷工況庫中篩選載荷基工況和應變基工況,建立了一套完整的工程可行的載荷分布反演流程,具體總結如下：

1)相比單點載荷法和載荷基函數法,本文提出的基工況篩選法從設計載荷工況庫中挑選出線性無關的基工況,單位載荷工況是更為真實的載荷分布,便于在結構地面試驗中施加。

2)本文提出應變基工況應包含載荷基工況的準則,以確保載荷分布反演精度。

3)經驗證,Tikhonov正則化法可有效減弱反向矩陣的病態化,大大提高載荷反演精度和魯棒性。

4)經驗證,本文提出的載荷分布反演方法是工程可行的,且具有很高的預測精度和魯棒性,可為新一代航空航天器的結構健康監控提供一條可靠的載荷識別途徑。