基于種間競爭的捕獲系統(tǒng)的定性分析

高旭

（吉林師范大學(xué) 吉林省長春市 130103）

1 研究背景及意義

生態(tài)系統(tǒng)是由生物群落與它的無機(jī)環(huán)境相互作用而形成的統(tǒng)一整體。生態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)動態(tài)的系統(tǒng)，生態(tài)系統(tǒng)是生態(tài)學(xué)研究的最高層次。生態(tài)系統(tǒng)是在自然界的一定的空間內(nèi)，生物與環(huán)境構(gòu)成的統(tǒng)一整體，生物與環(huán)境之間相互影響、相互制約，并在一定時(shí)期內(nèi)處于相對穩(wěn)定的動態(tài)平衡狀態(tài)。生態(tài)系統(tǒng)的范圍可大可小，大到整個(gè)生物圈，小到一個(gè)池塘或生物組織的局部空間。生態(tài)系統(tǒng)是開放系統(tǒng)，為了維系自身的穩(wěn)定，生態(tài)系統(tǒng)需要不斷輸入能量，進(jìn)行物質(zhì)交換同時(shí)進(jìn)行信息傳遞，許多基礎(chǔ)物質(zhì)在生態(tài)系統(tǒng)中不斷循環(huán)。生態(tài)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)能力主要是通過反饋來完成的，通過反饋調(diào)節(jié)，生態(tài)系統(tǒng)可以達(dá)到平衡狀態(tài)，并維持著穩(wěn)定狀態(tài)。不同生態(tài)系統(tǒng)的自我調(diào)節(jié)能力也不同，物種多樣性越高，生物群落結(jié)構(gòu)就相應(yīng)的更加穩(wěn)定，自我調(diào)節(jié)能力也就越高。生態(tài)系統(tǒng)的生物成分之間通過能量傳遞，能量傳遞是生態(tài)系統(tǒng)的重要功能之一，有著極其復(fù)雜的聯(lián)系，這種聯(lián)系將生物都包含在內(nèi)，使它們彼此之間都有著直接或間接的關(guān)系。

地球是最大的生態(tài)系統(tǒng)，我們?nèi)祟惿钤诘厍蛏希巧鷳B(tài)系統(tǒng)的組成部分，因此為了我們更好的發(fā)展，研究生態(tài)系統(tǒng)是非常必要的。生態(tài)系統(tǒng)給我們的生產(chǎn)生活提供著重要保障，為我們?nèi)祟惖陌l(fā)展奠定基礎(chǔ)。因此研究生態(tài)系統(tǒng)是當(dāng)今重要的課題之一，也是最受人們重視的研究領(lǐng)域之一。生態(tài)系統(tǒng)類型豐富，有人工生態(tài)系統(tǒng)、森林生態(tài)系統(tǒng)、海洋生態(tài)系統(tǒng)等種類眾多的生態(tài)系統(tǒng)。正是由于類型豐富，種類眾多，才能為生態(tài)系統(tǒng)的全面研究打下基礎(chǔ)。在全球變暖的當(dāng)下，研究生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，會給我們治理生態(tài)環(huán)境、合理開采自然資源、保護(hù)瀕危物種以及其他各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展提供合理的建議，因此生態(tài)系統(tǒng)的研究具有非常重要的價(jià)值。而所有這些問題的解決全部依賴于對生態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能、生態(tài)系統(tǒng)的演替、生態(tài)系統(tǒng)的多樣性和穩(wěn)定性以及生態(tài)系統(tǒng)受干擾后的恢復(fù)能力和自我調(diào)節(jié)能力等方面進(jìn)行深入的研究。

在復(fù)雜的生態(tài)系統(tǒng)中，捕食關(guān)系具有很重要的地位，捕食關(guān)系是長期進(jìn)化形成的，捕食關(guān)系影響著生態(tài)系統(tǒng)中的能量流動、物質(zhì)循環(huán)和信息傳遞。因此捕食關(guān)系得到許多學(xué)者的關(guān)注。捕獲系統(tǒng)模型逐步在改進(jìn)完善中，使其更加符合實(shí)際生態(tài)系統(tǒng)，更加貼合實(shí)際生活的應(yīng)用。但種間存在競爭常常被忽視，這也是影響捕獲系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要原因。因此本文在Turchin-Batzli 模型基礎(chǔ)上，考慮種間競爭建立新的捕食者-食餌模型，并對該模型進(jìn)行定性分析。

2 建立模型

考慮在生存在同一環(huán)境中的捕食者和食餌種群，Turchin-Batzli模型為：

其中r 為食餌內(nèi)稟增長率，K 為環(huán)境的最大容納量，c 表示一個(gè)捕食者與一個(gè)食餌相遇幾率。q 表示一個(gè)捕食者所需要的最小食餌量，x 為食物的轉(zhuǎn)化率，δ 為捕食者的死亡率。

本文要考慮的因素是當(dāng)種間存在競爭關(guān)系時(shí)，對于捕獲系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響。在考慮種間競爭情況之下，系統(tǒng)分析捕獲系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文將以Turchin-Batzli 模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行改進(jìn)建立新的數(shù)學(xué)模型：

其中m 表示種間競爭系數(shù)，本文將對系統(tǒng)（2）進(jìn)行定性分析。

3 系統(tǒng)分析

通過實(shí)際生物學(xué)含義，可知系統(tǒng)（2）存在三個(gè)平衡點(diǎn)，分別為：

將系統(tǒng)（2）改寫成：

通過定義并計(jì)算得：

所以有：

證明：首先證明系統(tǒng)（2）中正平衡點(diǎn)的存在性；H1(x,y)=0， H2(x,y)=0，由第一個(gè)方程可得，將其代入第二個(gè)方程得下列方程

證明：系統(tǒng)在M(x*,y*)處的Jacobi 為其中時(shí)，有α＞0, β＞0，此時(shí)系統(tǒng)正平衡點(diǎn)M(x*,y*)局部漸進(jìn)穩(wěn)定[1]。

4 系統(tǒng)生物學(xué)含義

通過對系統(tǒng)（2）的定性分析，可以看出在種間競爭發(fā)生時(shí)，最適合捕食者和食餌種群數(shù)量為M(x*,y*)，即此時(shí)生態(tài)系統(tǒng)達(dá)到生態(tài)平衡，因此當(dāng)食餌種間競爭激烈時(shí)，我們可以通過減少捕食者種群數(shù)量，來控制其減少量，同時(shí)也不擔(dān)心捕食者數(shù)量增加而影響生態(tài)平衡，使得兩種群數(shù)量達(dá)到M(x*,y*)，即達(dá)到生態(tài)平衡，從而實(shí)現(xiàn)保護(hù)瀕危物種等目的。