橢圓形量子圍欄的表面電子態(tài)

楊愛云

（西安交通工程學(xué)院 陜西省西安市 710300）

1 引言

世界上第一臺掃描隧道顯微鏡（Scanning Tunneling Mciroscope簡稱STM）是Binning 和Rohrer 成功研制的。借助STM 人們可以直觀地觀察到物體表面的原子結(jié)構(gòu)，使人們從對微觀原子的想象中跳出來，它比同類原子力顯微鏡具有更加高的分辨率。并且因STM 觀測不需要制樣，所以觀察和測量過程中不會對樣品表面造成任何損傷，被廣泛地用于測定材料的物理、化學(xué)和生物性質(zhì)，并成為納米加工的關(guān)鍵技術(shù)，同時STM 還可以通過其針尖與表面原子的相互作用，操縱單個原子和分子的排列[1-2]，成為近年來發(fā)展起來的一種掃描探針顯微技術(shù)。

IBM 研究中心的研究小組利用掃描隧道顯微鏡(STM)將用電子束蒸發(fā)到Cu(111)表面上的48 個Fe 排列成一個圓圈，這個圓圈的平均半徑為7.13nm，相鄰鐵原子之間的平均半徑為0.95nm，雖然這個圓圈是由分離的鐵原子組成的并不連續(xù)，但卻能夠像柵欄一樣，圍住Cu 表面的電子，因而人們形象地將這個鐵原子圈稱為量子圍欄[3-4]，如圖1 所示。

科學(xué)家還用STM 在Cu(111)表面上將Fe 原子圍成了其它形狀的量子圍欄[5]，如矩形（圖2）、橢圓形（如圖3）、三角形（如圖4）、六邊形（如圖5）等。通過對圓形量子圍欄電子態(tài)的理論分析表明其概率密度僅與徑向函數(shù)有關(guān)，而與橫向函數(shù)無關(guān)，概率的二維分布為各向同性，等概率線是以坐標(biāo)原點為中心的同心圓，這與圖1中所反映的實驗結(jié)果一致[6]。

研究者在Cu(111)表面上用STM 將36 個鈷原子擺成橢圓形，將一個磁性鈷原子放置于該橢圓形量子圍欄的一個焦點上，將會在橢圓形量子圍欄的另一焦點上檢測到具有自旋同向的電子訊號，而該焦點實際上并沒有放置任何原子，但將此磁性鈷原子放置于其他地方，則完全檢測不到任何電子訊號。這表示原子上電子密度經(jīng)由周圍表面電子波，傳訊訊息至另一個焦點[7]。該發(fā)現(xiàn)可作設(shè)計未來納米IC 元件中的傳導(dǎo)線。

但目前國內(nèi)外大多數(shù)人都是借助于數(shù)學(xué)軟件(Matlab，Mathematica 等)計算機模擬量子圍欄的電子態(tài)，并且與實驗結(jié)果對比說明低維物理體系的電子態(tài)分布[7]。通過理論分析量子圍欄的電子態(tài)的研究，僅現(xiàn)于簡單的矩形、圓形等。橢圓形量子圍欄的理論分析還沒有發(fā)現(xiàn)。

本文通過理論分析橢圓形量子圍欄的電子態(tài)，為進(jìn)一步研究量子圍欄提供一定的數(shù)據(jù)參考和理論基礎(chǔ)，對借助于計算機模擬電子的分布圖有一定的指導(dǎo)作用。其研究結(jié)果有一定的科研價值，也有助于人們對微觀世界的認(rèn)識。

2 橢圓形量子圍欄的建模與分析

用Fe 原子在Cu 的表面排列成一個橢圓形即一個橢圓形量子圍欄，Cu 表面的電子被束縛在這個橢圓形圍欄內(nèi)，由于Fe 原子對Cu 表面電子的強烈散射作用，在這個橢圓形圍欄內(nèi)就會形成同心橢圓形駐波，此時，可以把這個橢圓形量子圍欄看作是一個二維無限深勢阱，也就是一個二維無限深橢圓形勢阱。在這個模型中，被束縛在橢圓形勢阱中Cu 表面的電子，滿足二維定態(tài)薛定諤方程[8]：

圖1：圓形量子圍欄

圖2：矩形量子圍欄

圖3：橢圓形量子圍欄

圖4：三角形量子圍欄

圖5：六邊形量子圍欄

設(shè)Cu 表面電子的能量為E， Cu 表面電子的質(zhì)量為m，橢圓形量子圍欄的半徑為M，在二維橢圓柱坐標(biāo)下，被束縛在橢圓形勢阱中的電子所具有的勢能為：

將（7）式代入（6）式得：

將（11）、（12）、（13）代入（10）式，并用R(μ)Θ(θ)除以方程的兩邊得：

這個方程的左邊僅是與θ 有關(guān)，右邊僅是與μ 有關(guān)，且θ 與μ都是獨立變量，因此，只有等式的兩邊等于同一個常數(shù)時（15）式才成立。用-b 表示這個常數(shù)，同時令

將（19）、（20）代入式（17）式得：

（22）式為馬丟方程[9]，其解為馬丟函數(shù)[9]。

（22）式的通解[10]為：

其中T 表示周期。

也將（18）式化為馬丟方程[9]。

則（18）式的通解[10]為：

綜上所述，該橢圓形量子圍欄電子的波函數(shù)表達(dá)式為：徑向解與橫向解的組合，即偶函數(shù)和奇函數(shù)

3 結(jié)論

將橢圓形量子圍欄作為二維無限深勢阱來處理，找到了能恰當(dāng)描述電子勢能的勢能函數(shù)，并得出了通解。但是在求解過程中得到的是馬丟方程，其解為馬丟函數(shù)，由于其求解過程以及求解其本征值比較復(fù)雜，我還將繼續(xù)研究，其結(jié)果將會在后續(xù)研究中給出。