巧用“轉化思想”解二次函數背景下三角形面積問題

葉燕華

【摘 要】轉化思想是數學解題中的一種重要思想方法，也是提高學生思維，應用意識的一個重要途徑。基于與二次函數圖象有關的面積問題，解決方法常常用到轉化思想，所以依托本節專題復習課，讓學生學會，將點坐標轉化為線段長，將不規則圖形轉化為規則圖形，將未知轉化為已知，將動態問題轉化為靜態問題等轉化的基本技巧，從而促進問題的解決。

【關鍵詞】點坐標;轉化思想;數形結合;三角形面積

1.復習目標

根據學情，結合課標要求制定了如下的復習目標：（1）能根據三角形在拋物線中的位置特點，選擇合適的方法求面積;（2）以三角形面積的最值問題為載體，感悟轉化、數形結合、函數建模、方程等數學思想，培養幾何直觀，提高應用意識。本節課的教學重點是通過數學轉化思想的滲透，培養幾何直觀、應用意識，難點是如何滲透轉化思想。

2.教學設計

2.1課前熱身

【問題1】已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A，B兩點（點A 在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D。

問1：請求出A，B，C，D四點的坐標;

問2：請求出AB的長，OC的長，點D到x軸的距離，點D 到y軸的距離;

問3：請求出△ ABD的面積，并與同桌交流你的解法;

問4：請求出△ ABC的面積，并與同桌交流你的解法;

問5：若點P的坐標為（4，5），則△ ABP的面積為多少呢？請說明理由。

功能分析：本題先設置了簡單的問題，再層層遞進，步步為營。第（1）題根據拋物線的解析式求出與坐標軸的交點坐標以及頂點坐標，明確抓住交點、頂點、對稱軸就是抓住了二次函數的“根”。第（2）題通過點坐標計算線段長，初步體會轉化思想。第（3）-（5）題利用線段長計算三角形的面積。本環節讓學生經歷由點到線線到面的過程，滲透轉化和數形結合思想，也為后續問題的解決奠定基礎。

教學示范：先讓學生獨立思考求出A、B、C、D四個點的坐標，然后步步引導由點坐標計算線段長，有了線段長就可以求三角形的面積，師生共析，教師在黑板上總結歸納并板書：求三角形面積的方法：①直接運用面積公式法。（具體說明：當三角形的一邊落在坐標軸上時，則以此邊為底，再作其邊上的高即可直接求出面積）。

2.2知識應用

【問題2】 在【問題1】的背景中，如圖1，請同學們求出△BCD的面積。

追問1：這題三角形的三邊均不在坐標軸上，看起來有點“歪”，該如何求△BCD的面積？若有想法了，可到黑板上展示交流。

學生活動：學生一一上臺展示，分享交流自己的解法。

【方法總結】當三角形三邊有點“歪”時，可用割補法間接求三角形的面積。

追問2：請思考，解答過程中添加的輔助線都有什么特點？

添加的輔助線對解決問題起到了什么幫助？

學生活動1：都是過一點作與x軸或者y軸平行的直線，從而把三角形分割成幾個可直接利用公式求面積的圖形。

學生活動2：添加輔助線目的在于把不規則的圖形分割成幾個規則的圖形。

功能分析：本題中三角形的三個頂點是定點，有了問題1的層層鋪墊，學生已經具有了求解的基本思路與方法，難點在于此時三角形的三邊有點“歪”， 無法直接利用三角形面積公式求出，如何改“斜”歸“正”？這正是本題的功能所在，再次引導學生形成轉化思路，從而歸納總結出求三角形面積的第2種方法：割補法。

教學示范：通過層層鋪墊，學生已經掌握了求定點三角形面積的基本思路和方法，但在計算△BCD面積時發現三邊關系不具有特殊性，此時不要直接給出答案，先讓學生自主探究，再小組討論一起去尋求解決問題的辦法。接著讓學生一一上臺講解，最后師生共同對同學們分享的做法進行歸納總結，重點指出方法4和方法5的巧妙性，得出求三角形面積的另一方法“割補法”，也就是當三角形的兩個頂點在坐標軸上時，就利用割補法進行轉化。最后教師總結出求“歪”三角形的面積公式：■×水平距離×豎直距離。

2.3拓展延伸

1.已知拋物線y=x2-2x-3，與x軸交于A，B兩點（點A 在點B的左側），與y軸交于點C。設點E（m，n）（其中0

【方法點撥1】

追問1：本題與上一題的區別在哪兒？

學生回答：定點D變成了動點E。

追問2： 你能求出△BCE的面積與m之間的關系嗎？此時上面的方法還適用嗎？

【方法點撥2】

追問1：如果能知道△BCE 面積最大時，點E的位置，問題就迎刃而解了。大家能否確定△BCE 面積最大時E點的坐標呢？

追問2：點E在運動時，△BCE 中有哪些量是保持不變的？哪些量會發生變化？

學生活動：線段BC始終不變，要使得△BCE面積最大，則高要最大。

功能分析：本題是對前一題的鞏固與延伸，將定點問題變式成動點問題。解決本題的難點在于點坐標不確定，圖形不確定，不過有了前面定點三角形面積問題的鋪墊，學生容易想到轉化思路。本題的主要目的是讓學生感悟面積最值問題的求解方法，通過點坐標建立函數模型，數形結合，培養學生幾何知識代數化的能力。

教學示范：本題教師通過設置問題串，啟發式點撥，打開學生思維，引發學生深度思考，解決相關問題。因為有了前面的層層鋪墊，學生基本上懂得利用割補法。設動點E的坐標，將動點E當成定點，然后用含有m的代數式表示面積，得到S關于m的二次函數關系式，從而得到最值。時間允許的話，可以引導學生利用平移平行線的方法將面積之間的關系可以轉化為高之間的關系，為今后高中解析幾何作鋪墊，再一次地滲透轉化思想。

2.已知拋物線y=x2-2x-3，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，點E（4，5）在該拋物線上，點F是該拋物線上位于D、E之間的一動點，求四邊形ADFE面積的最大值，此時點F的坐標。

功能分析：本題讓學生體驗將四邊形面積問題轉化為三角形面積問題來解決，對所學知識再次遷移。

教學示范：本題無需讓學生在課上完成，只需讓學生思考如何計算四邊形的面積，懂得連接ED將四邊形問題轉化為三角形的問題，而三角形問題就是本節課在求解的問題即可，具體的解答過程可在課后完成。

2.4反思感悟

在本節課中，你學習到了哪些解決面積問題的方法？解決問題的關鍵是什么？

通過本節課的學習，學生積累了解決二次函數背景下三角形面積問題的經驗。在利用割補法求解的過程中逐步領悟，解決問題的關鍵是找“點”，將點的坐標轉化為線段長。 通過“點”把面積構建成函數問題，即“形”的問題轉化為“數”的問題，學會轉化思想。

（設計意圖：通過學生的反思，教師的總結，幫助學生綜合地看待所運用的方法，形成知識體系。）

3.回味反思

3.1 層層遞進，一圖貫之

考慮到二次函數是一大難點，本節課的問題設置起點低，又有梯度，課前熱身的題目是根據構成圖形的點坐標直接求面積，慢慢過渡到三邊有點“歪”的三角形面積問題，將問題提升到了把不能直接求的面積問題轉化為易求的圖形面積的和或差上，最后突破動點問題。在整個教學過程始終用二次函數y=x2-2x-3的圖象為背景，由淺入深，層層鋪墊又層層遞進，一步一步地培養學生的轉化意識，一點一點地提高學生解決問題的能力。

3.2 總結方法，發展數學能力

中考復習課的重要目標在于梳理知識點的同時，感受數學思想方法，提煉解題方法，從而發展數學能力。本節課通過點坐標開啟了探索二次函數面積問題的大門，由點坐標計算線段長，再由線段長計算三角形面積，及時總結了求解三角形面積的常用方法，最后提升到通過點把面積問題構建成函數問題，以形助數，數形結合。當遇到不規則的圖形可以通過添加輔助線轉化成規則圖形，最終讓學生明白本專題復習課的核心就是學會轉化思想，懂得將不熟悉的問題轉化為熟悉，將未知轉化為已知，有效提高了數學解題能力。