“數與代數”領域教學路徑剖析

牟永存

“數與代數”領域知識是數學的基礎內容，在數學教學中占有重要地位。小學階段，“數與代數”領域知識主要包括數的認識、數的運算、估算、常見的量等，其內容貫穿于小學數學教學的始終，承載著培養學生運算能力、符號意識、推理能力、模型思想、應用意識等數學核心素養的重要任務。掌握“數與代數”領域的基礎知識與基本技能，能使學生形成良好的運算能力，建立良好的數感，形成初步的代數思想，為進一步學習其他領域的數學知識打下重要基礎。因此，在教學“數與代數”領域知識時，教師要讓學生經歷“抽象問題—理解算理—歸納算法—應用鞏固—反思提高”的過程，使學生在深度理解算理的過程中掌握算法，進而提高運算能力，發展數學核心素養。下面以“兩位數乘兩位數的豎式筆算”教學為例對“數與代數”領域教學路徑進行剖析。

一、經歷抽象問題的過程

數學情境是從事數學活動的環境以及產生數學行為的條件，是以激發學生問題意識為價值取向的刺激性數據材料和背景信息。學生要解決的問題往往就蘊涵在數學情境中，好的數學情境有利于解決數學知識的抽象性與學生思維的具體性之間的矛盾。因此，教學中創設的數學情境，既要有豐富的實際背景和數學信息，又要緊扣教學目標，適合學生的認知水平，靠近學生思維的最近發展區，易于激發學生的問題意識，使學生自主提出數學問題，經歷抽象出數學問題的過程，為進一步探究問題的解決打下基礎。

例如，在教學“兩位數乘兩位數筆算乘法”這節課時，教師創設了學生生活中熟悉的問題情境。

師：王老師到新華書店買書，下圖是王老師與售貨員的對話，你從中得到了哪些數學信息呢？

課件出示：

生：我發現王老師買了12套書，而且每套書14本。

師：針對這些數學信息，你能提出什么數學問題？

生：王老師一共買了多少本書？

師：怎么列式呢？

生：14×12。

師：這是兩位數乘兩位，如何計算呢？

上述教學中，教師創設了書店購書的生活情境，學生在收集情境中信息的過程中自主提出數學問題，親身經歷了抽象出數學問題的過程，并列出兩位數乘兩位數的算式，為進一步探索兩位數乘兩位數的筆算乘法打下基礎。

二、經歷理解算理的過程

算理是客觀存在的規律，是計算過程中的基本原理和思維方式，是解決為什么這樣算的根本依據，保證了計算的合理性和正確性。學生只有理解了計算的道理，才能為理解和掌握計算的方法，進而正確迅速地計算打下基礎。小學階段學生的思維正處于從具體形象思維向理性思維過度，而算理隱藏在計算的過程中，對學生來說比較抽象且不易理解。因此，教學中要借助直觀引導學生對計算的道理進行深入探究，幫助學生借助已有知識和經驗領悟計算的道理，使學生親身經歷算理的理解過程，為進一步歸納算法作好鋪墊。

例如，在教學“兩位數乘兩位數的豎式筆算”這節課時，教師利用點子圖引導學生理解算理。

師：如果將一本書看成一個點，一套書14本就能排成一行14個點。有這樣的12套，也就有這樣的12行點。

（出示課件。）

師：同學們可以小組合作，利用學習單上的點子圖圈一圈、算一算，并將14×12的計算過程寫下來。

學生小組內動手操作并記錄計算過程。

師：哪個小組來介紹一下，你們小組是怎樣圈的？又是怎樣計算的？

組1：我們小組是把點子圖分成兩部分，一部分是4行，即4個14，算式是14×4=56;另一部分是8行，即8個14，算式是14×8=112。將兩部分計算結果合起來，即56+112=168。

組2：我們小組是把點子圖平均分成兩部分，一部分是6行，即6個14，算式是14×6=84。將兩部分計算結果合起來，即84+84=168。

組3：我們小組也是把點子圖分成兩部分，一部分是10行，即10個14，算式是14×10=140;另一部分是2行，即2個14，算式是14×2=28。將兩部分計算結果合起來，即140+28=168。

師：我們計算14×12，可為什么在你們的算式中沒有12呢？

生：我們都是把12分成了兩部分來計算。

師：為什么要分成兩部分？

生：把兩位數乘兩位數變成已經學過的兩位數乘一位數或者兩位數乘整十數，也就是將新知識轉化為已經學過的知識來解決問題。

師：那同學們比較一下這幾種方法，你認為哪種方法比較簡便？

生：我覺得第三種方法比較簡便，因為任何一個兩位數都能分成整十數和一位數。

師：下面同學們試著利用豎式筆算14×12的積，同時思考豎式筆算時先算什么、再算什么，然后小組內討論交流。

學生列豎式計算，并小組討論交流。

師：誰能展示一下你列的算式？

生：（邊指邊說）我用2乘4得8，對應寫在個位上;再用2乘十位上的1得2，對應寫在十位上。又用十位上的1乘4得4，對應寫在十位上;再用十位上的1乘十位上的1得1，對應寫在百位上。

師：能結合點子圖說一說這樣計算的道理嗎？

生：其實豎式計算就和剛才第三種分法計算的過程是一樣的，都是先把12分成10和2來計算，28是14×2的積，140是14×10的積，最后把兩部分積合起來28+140=168，就是12套書的本數。

課件出示：

師：4為什么寫在十位上？0為什么沒寫？

生：1個十乘4是4個十，所以寫在十位上，就表示4個十，所以后面的0就不用再寫了。

上述教學中，教師引導學生利用直觀的點子圖理解抽象的算理，明晰乘法豎式計算中每一步計算表示的含義，學生通過直觀圖形與乘法豎式的溝通，經歷了充分理解算理的過程，有效促進了學生對兩位數乘兩位算理的掌握，為進一步歸納算法作好鋪墊。

三、經歷歸納算法的過程

算法是人為規定的操作方法，是計算過程中的外在表達形式，是復雜思維過程的程式化操作步驟，算法為計算提供了快捷的操作方法，能有效提高計算的速度。學生在掌握算理之后，為了使計算更方便快捷，提高計算的速度和準確率，就要尋找到計算的普遍規律，抽象、概括出計算的方法。因此，教學中要引導學生在理解算理的基礎上，經歷總結歸納算法的過程，為計算提供可操作性的方法，進而提高計算的速度和準確率，也進一步提升運算能力。

例如，在教學“兩位數乘兩位數的豎式筆算”這節課時，教師引導學生在理解算理的基礎上進一步歸納算法。

師：我們剛剛通過觀察點子圖理解了乘法豎式每一步計算的道理，回顧一下這三步計算的過程，你能說一說每一步都計算的什么嗎？

生1：第一步計算14×2=28，第二步計算14×10=140，第三步把兩部分積合起來28+140=168。

生2：先用12個位上的2乘14，再用12十位上的1乘14，最后將兩次計算的結果相加。

師：不結合具體數，你能說一說兩位數乘兩位數的豎式筆算方法嗎？

生：兩位數乘兩位數的豎式筆算，先用第二個乘數的個位分別去乘第一個乘數的每一位，所得的積放在第一排，末尾與兩個乘數的個位對齊;再用第二個乘數的十位分別去乘第一個乘數的每一位，所得的積放在第二排，末尾與兩個乘數的十位對齊;最后將兩部分積相加。

師：同學們已經能結合14×12的豎式筆算方法總結出所有兩位數乘兩位數的豎式筆算方法，真棒！

上述教學中，教師引導學生結合14×12的豎式筆算方法，總結概括出兩位數乘兩位數的豎式筆算方法，使學生充分經歷了歸納算法的過程，為應用豎式筆算解決兩位數乘兩位數提供了可操作性的方法，進一步提升了學生的運算能力。學生在這一過程中不僅積累了數學活動經驗，而且提升了歸納概括能力。

四、經歷鞏固應用的過程

實際應用是鞏固知識、內化知識的過程，也是進一步理解知識、發展思維的過程。算理的理解和算法的掌握要經過實際應用才能得到檢驗和鞏固，組織學生進行相應的實際應用是鞏固理解算理和掌握算法的重要手段，學生只有在實際應用中才能把算理內化為自己的理解，才能進一步掌握算法。因此，教學中要在學生理解算理和掌握算法之后，及時組織學生進行實際應用，讓學生在實際應用中加深對算理的理解，在實際應用中牢固掌握算法，為后續應用算理和算法解決更復雜的計算問題打下堅實的基礎。

例如，在教學“兩位數乘兩位數的豎式筆算”這節課時，教師設計了以下一組練習。

1.列豎式計算。

23×22? ? ?35×46

2.解決問題。

學校食堂買大蝦45公斤，每公斤27元，買大蝦一共花了多少元？用列豎式計算。

3.開放闖關。

上述教學中，教師設計了不同梯度的練習，使學生能熟練運用兩位數乘兩位數豎式筆算方法解決問題，經歷鞏固應用的過程。特別是開放闖關練習的設計，讓學生進一步理解了兩位數乘兩位數的算理，掌握了兩位數乘兩位數的計算方法，提高了靈活應用算理和算法解決問題的能力，進而提升了運算能力。

五、經歷反思提高的過程

反思是對思維過程、思維結果再認知的學習過程，是內化知識、提升經驗、形成思想的重要學習手段。通過反思學生能自主總結探索知識的過程，鞏固探索思路、方法、策略等，感悟在探索知識過程中應用的數學思想。因此，教學中要引導學生進行反思，讓學生在反思中內化技能方法、積累活動經驗、感悟數學思想，進一步深化對所學知識的理解，優化思維過程和知識結構，為后續學習新知識打下知識基礎、經驗基礎、方法基礎和思想基礎。

例如，在教學“兩位數乘兩位數的豎式筆算”這節課時，教師引領學生進行反思總結。

師：通過今天這節課的學習你有什么收獲？

生1：我通過點子圖知道了兩位數乘兩位數豎式筆算背后的道理，是將其中的一個兩位數分成一位數和整十數，即將兩位數乘兩位數變成兩位數乘一位數和兩位數乘整十數，最后將兩部分積合起來。如14×12，第一步計算14×2=28，第二步計算14×10=140，第三步把兩部分積合起來28+140=168。

生2：我掌握了兩位數乘兩位數豎式筆算的計算方法，先用第二個乘數的個位分別去乘第一個乘數的每一位，所得的積放在第一排，末尾與兩個乘數的個位對齊;再用第二個乘數的十位分別去乘第一個乘數的每一位，所得的積放在第二排，末尾與兩個乘數的十位對齊;最后將兩部分積相加。

師：你覺得今天的學習對于后面三位數乘兩位的學習有哪些借鑒意義？

生：我覺得三位數乘兩位數，首先也是用兩位數的個位分別去乘三位數的每一位，再用兩位數的十位分別去乘三位數的每一位，最后將兩部分的積合起來。

師：同學們都能利用已經學習的知識來遷移理解新知識，真棒！我們后面學習“三位數乘兩位數”時繼續探索。

上述教學中，教師引領學生回顧兩位數乘兩位數的豎式筆算，經歷了反思提高的過程，使學生不僅進一步梳理總結兩位數乘兩位數的算理和算法，也讓學生嘗試將兩位數乘兩位數的計算遷移到三位數乘兩位數的計算，從學生的回答可以看出，學生不僅已經充分地理解了兩位數乘兩位數的算理，掌握了兩位數乘兩位數的豎式筆算方法，而且能將探索的經驗遷移到三位數乘兩位數，為三位數乘兩位數的學習作好鋪墊。

總之，“數與代數”領域知識的教學，要讓學生經歷“抽象問題—理解算理—歸納算法—應用鞏固—反思提高”的過程，使學生在理解算理的基礎上掌握算法，實現算理與算法的深度融合，進而提高運算能力，發展數學核心素養。

編輯/魏繼軍