彈性力學“金課”建設中解決“三難”問題實踐

何峰　任天嬌　楊松　趙娜　李春林

摘 ?要：文章按照國家建設“金課”要求，基于吳家龍教授編著的彈性力學教材內容和課程“三難”特點，以應力狀態理論部分常見題型求解任意微分斜面應力矢量、正應力、切應力、主應力和應力主方向及最大切應力為例，分別應用Maple編制程序，再現彈性力學求解思維，解決學生數理求解難題;應用Matlab-GUI模塊編制應力狀態理論求解器，把繁瑣抽象的力學公式和微分斜面結果進行圖形可視化，使學生的抽象思維和力學思維得到兼容;通過彈性力學“金課”建設實踐，可為學生力學學習及力學同行教學提供借鑒。

關鍵詞：彈性力學;“金課”建設;“三難”問題;應力狀態求解器;微分斜面

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）04-0077-04

Abstract： According to the requirements of construction of "golden course"， based on the contents of the Elasticity compiled by Wu Jialong， and the "trilemma" characteristics of the course， this research takes the common questions in the stress state theory as an example. The problems of the stress vector， normal stress， shear stress， principal stress， principal direction of applied force and maximum shear stress of any differential inclined plane are solved. The application of Maple programming to reproduce the elastic mechanics solution thinking is to solve the mathematical problems of students. Matlab-GUI module is used to compile the stress state theory solver， the complex abstract mechanical formula and differential slope results for graphic visualization， so that the students' abstract thinking and mechanical thinking is compatible. Through the construction practice of "golden course" of elasticity mechanics， it can provide reference for students' mechanics learning and mechanics teaching.

Keywords： Elasticity; construction of "golden course"; "Trilemma" problem; stress state solver; differential bevel

引言

金課建設是指教育部實施的一流課程建設。“六卓越一拔尖”計劃2.0實施一流課程建設“雙萬計劃”，即建設10000門左右國家級一流課程和10000門左右省級一流課程，包括具有高階性、創新性、挑戰度的線上、線下、線上線下混合式、虛擬仿真和社會實踐各類型課程[1]。彈性力學課程是普通高校力學類、土木類等理工科本科專業核心課，是從力學基本理論過渡到工程實際應用的橋梁;具有教師難教、學生難學、工程思維和力學思維難兼容的“三難”課程特點。基于課程重要性和特點，眾多學者進行了彈性力學教學改革，如張偉偉[2]等提出了彈性力學三段式教學方法，即圍繞每一知識點，按照工程背景、數理基礎、力學原理進行劃分，在教學實施中遵循先工程，后數理，再力學的講解順序。潘東輝等[3]將MATLAB/PDE工具箱引入彈性力學教學，實現彈性力學的可視化教學。劉楊[4]等提出了“互聯網+項目指派”式教學模式在《彈性力學及有限單元法》的教學中的實踐方式和考核辦法。陳小亮[5]等利用

Maple軟件探索了彈性力學應力函數逆解法的計算機求解規范流程。盧小雨[6]等利用Maple來求解彈性力學中的一些具體問題。邢靜忠[7]等將Maple引入力學教學，引導和培養學生利用數學工具的習慣和能力，強化算法設計和程序的通用性和靈活性，為處理復雜問題提供幫助。丁洲祥[8]詳細介紹了計算機代數系統Maple在土力學與基礎工程研究型教學中的具體應用。

論文按照國家建設“金課”要求，基于吳家龍教授編著的彈性力學教材內容和課程特點，以應力狀態理論部分的求解斜面應力分量及主應力和最大切應力為例，綜合應用Maple符號計算系統及Matlab-GUI模塊，通過編制程序把繁瑣抽象的力學公式結果進行了圖形可視化，力求突破“三難”瓶頸，提升學生學習彈性力學興趣。

一、應力狀態理論[9]

彈性力學的研究對象為三維彈性體，由于滿足連續性和均勻性假設，因此從微分單元體分析入手，確定一點不同截面的應力變化規律稱為應力狀態分析。研究思路是首先確定應力狀態描述方法，包括應力矢量定義及其分解為正應力、切應力和應力坐標軸分量，應力張量表示一點應力狀態;其次從靜力學觀點出發，建立平衡微分方程和應力邊界條件;任意截面的應力分量確定-轉軸公式;一點的特殊應力確定：主應力和主平面、最大切應力。該部分教學中學生和老師常見問題有，如何直觀體現已知方向余弦、如何確定應力主方向、最大切應力微分面方位或已知微分面方程求方向余弦，同時可視化微分斜面。

二、應力狀態理論常見題型

已知物體內一點的應力張量為：

求：通過該點平面為x+y+3z=1的微面上沿x、y與z軸的應力分量、總應力、正應力、剪應力和主應力、應力主方向和最大切應力。

（一）Maple符號計算系統求解程序

1. 據應力張量確定應力分量：

2. 顯示三元一次函數的微分面如圖1所示：

3. 求斜面沿著坐標軸的應力分量：

4. 求該微分斜面的應力矢量、正應力和切應力：

5. 主應力和最大切應力及應力主方向：

（a）算例微分斜面

（b）最大主應力微分斜面

（c）最大切應力微分斜面

圖1 Maple微分斜面圖

（二）Matlab-GUI模塊應力狀態理論求解器

編制基于Matlab-GUI模塊應力狀態理論求解器，程序流程如圖2所示;通過該求解器如圖3所示可顯示應力狀態圖和微分斜面;通常遇到題型有兩種：一種題型為給出方向余弦可求出三元一次方程系數進而顯示微分面方程和斜面圖;另一種題型若直接給出三元一次方程及系數也可求出方向余弦和顯示微分斜面;同時可求出三個主應力及主方向和最大切應力及方向余弦，可把主方向拷貝到方向余弦處，再重復第一種題型情況如圖4和圖5所示，分別顯示主平面和最大切應力平面，驗證主應力所處面切應力是為零，應力矢量和正應力相等;取得最大切應力微面，正應力不一定為零等結論。

三、結論

文章按照國家建設“金課”要求，結合彈性力學課程特點，力求突破“三難”瓶頸;以彈性力學應力狀態理論常見題型為例，分別應用Maple強大的符號計算系統，通過編制程序過程，體現彈性力學中數理求解思路，也同時簡化了繁雜的計算過程，提高了學生的編程和求解能力;同時利用于Matlab-GUI模塊編制應力狀態理論求解器，形象直觀再現計算結果，使得數學力學公式可視化，學生的抽象思維和具象思維達到兼容。

參考文獻：

[1]教育部發力本科建設打造“金專”“金課”.中華人民共和國教育部網[EB/OL].[2019-05-02].

[2]張偉偉，田錦邦.彈性力學的三段式教學方法[J].力學與實踐，2017（2）：191-195.

[3]潘東輝，馬崇武.MATLAB/PDE在彈性力學可視化教學中的應用[J].力學與實踐，2014，36（04）：500-504.

[4]劉楊，孟慶宇.“互聯網+項目指派”式教學模式在《彈性力學及有限單元法》教學中的應用[J].機械設計，2018，35（S2）：137-139.

[5]陳小亮，鄭恒偉，丁劍平.彈性力學應力場解答的數學美感探討[J].科學技術創新，2017（22）：103-104.

[6]盧小雨，董春亮，經來旺.Maple在彈性力學教學中的應用[J].大眾科技，2013，15（09）：104-105+88.

[7]邢靜忠.代數系統Maple在力學教學中的應用探討[J].力學與實踐，2010，32（04）：96-101.

[8]丁洲祥，李濤，白冰，等.MAPLE在土力學與基礎工程研究型教學中的應用[J].力學與實踐，2013，35（06）：87-89.

[9]吳家龍.彈性力學（第3版）[M].北京：高等教育出版社， 2016：7-25.

基金項目：國家自然科學基金“高應力狀態下煤柱松弛時效性研究”（編號：51774167）;校級金課建設項目“遼寧工程技術大學‘金課建設項目”（編號：2019030）

作者簡介：何峰（1978-），男，漢族，山西洪洞人，博士，副教授，工程力學系主任，研究方向：力學教學及巖土工程。

通訊作者：任天嬌（1997-），女，漢族，遼寧本溪人，碩士在讀，研究方向：近場動力學。