巧用數(shù)形結合 撬動思維支點

潘新花

數(shù)學是一門研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的學科，是研究數(shù)與形及其相互關系的一門科學。數(shù)形結合思想在數(shù)學教學中是一種重要的數(shù)學思想，小學生的思維以直觀形象思維為主，比較容易理解直觀模型，但是又要向抽象思維過渡，數(shù)形結合便是溝通學生形象思維和抽象思維的橋梁，它能促進學生形象思維和抽象思維的協(xié)調發(fā)展，通過形象思維和抽象思維的巧妙結合，可以優(yōu)化課堂教學，使復雜問題簡單化，使抽象問題具體化。

一、數(shù)形結合，理解概念

數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反應形式。在小學階段，學生無論是學習整數(shù)還是分數(shù)，小數(shù)，負數(shù)，都離不開幾何直觀的支持，利用幾何直觀可以將抽象的概念具體化，直觀化，讓學生更好地理解數(shù)學的概念。

例如，在教學“分數(shù)的初步認識”時，分數(shù)是比較抽象的數(shù)學概念，為了激起學生學習興趣，可以利用學生已有的生活經驗，合理地借助直觀圖形，將抽象的數(shù)學概念轉化為直觀、易懂的圖形概念。教學時，先喚起學生的生活經驗，讓學生借助實物，蘋果，月餅認識“一半”可以用分數(shù)1/2來表示，緊接著再利用各種幾何圖形，如正方形，長方形，圓形，數(shù)軸等圖形，理解分數(shù)1/2的意義，并啟發(fā)學生思考，為什么正方形、長方形、圓形、數(shù)軸這些圖形一直在變化，卻都還能找到同一個分數(shù)1/2？這樣借助圖形的演變，進一步使學生對分數(shù)概念的理解和把握越來越清晰，充實了學生對分數(shù)概念本質特征在思維中的建構。

二、數(shù)形結合，明晰算理

計算教學是小學數(shù)學教學中重要的組成部分，《義務教育數(shù)學課程標準（2011）》指出，學生不僅會用筆算、口算等進行正確的計算，還要結合具體的情境理解算理。學生學習數(shù)學需要有較多的動手操作和直觀表象作為支撐，借助幾何圖形，能夠幫助學生更加直觀地理解算理，讓學生自主發(fā)現(xiàn)、描述所要研究的問題，親歷知識產生、模型建構的過程，有效幫助學生理解算理，掌握算法。

例如，教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，先出示例題“王老師，買了12套圖書，每套圖書有14本，一共買了多少本？”列式14×12=？這時引導學生用自己喜歡的方法算一算，并在點子圖（12行，14列）上把自己的想法表示出來。學生呈現(xiàn)了不同的口算方法，有的把點子圖12行平均分成二份，先算14×6=84，再算84×2=168;有的把點子圖上的12行平均分成三份，先算14×4=56再算56×3=168;也有的同學把點子圖上的12行拆成兩部分，第一部分10行，第二部分2行，先計算14×10=140，再算14×2=28，最后140+28=168。學生借助點子圖這一直觀的工具，在操作、交流、分析、比較中，明白了這些方法都是先分后合，把新的知識轉化為舊的知識來解決問題，同時為第二課時研究豎式計算方法做了鋪墊，在列豎式時，讓學生把每次相乘的結果都在點子圖上圈出來，這樣通過直觀的點子圖溝通了算法和算理的關系，幫助學生理解算理，掌握算法。

三、數(shù)形結合，拓寬思維

1.以形解數(shù)，解題策略多樣化

通過數(shù)形結合，以形解數(shù)，能夠幫助學生從多角度，多層次地思考問題，養(yǎng)成多向性思維的好習慣，引導學生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維。

教學五年級上冊”圖形中的規(guī)律”一課時，教師首先引導學生獨立思考，由形思數(shù)，嘗試體驗圖形與數(shù)、圖形與算式之間的關聯(lián)，再讓學生從不同角度觀察劃分，發(fā)現(xiàn)同一個點陣存在著不同的規(guī)律。橫向縱向觀察時，算式6×6=62;斜向觀察時，算式1+2+3+4+5+4+3+2+1;折角觀察時，算式1+3+5+7+9。最后比較這些規(guī)律，讓學生在分析、比較、歸納中發(fā)現(xiàn)，從1開始幾個連續(xù)奇數(shù)相加，等于他們個數(shù)的平方;從1開始連續(xù)自然數(shù)相加，加到最大的數(shù)，再依次遞減，加到自然數(shù)1，所得的結果就是最大數(shù)的平方。

整個學習過程，學生自主交流，結合圖形與算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初次體驗“形”能夠直觀解釋“數(shù)”的計算，學會利用這一發(fā)現(xiàn)進行巧算，從而體驗成功的樂趣。

再如，教學五年級上冊“平面圖形的面積”進行相關知識點鞏固，如圖

2.借數(shù)思形，抽象推理具體化

教學中如果能夠找到數(shù)量背后的幾何圖形，借數(shù)思形，能夠幫助學生更形象直觀地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，化繁為簡，化抽象為具體。

例如，在計算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=？，教師先引導學生借助圖形，從簡單的1/2+1/4入手，引導學生觀察發(fā)現(xiàn)，1/2+1/4可可以看成從正方形“1”中減去空白部分的1/4，1/2+1/4=1-1/4;同樣繼續(xù)借助圖形計算1/2+1/4+1/8，學生發(fā)現(xiàn)可以把剩下的1/4再平均分成兩份，每份是1/8，因此，1/2+1/4+1/8，可以看成從正方形“1”中減去1/8;那么同理1/2+1/4+1/8+1/16可以看成從正方形“1”中減去1/16。.以此類推，1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=1--1/128=127/128。

3.數(shù)形邂逅，解題思路直觀化

學生在數(shù)學學習過程中，經常會遇到一些數(shù)量關系比較復雜的問題，利用圖形進行數(shù)學問題的思考，可以把“無形”的解題思路化為“有形”的圖形方法，從而拓寬解圖思路，找到解決問題的方向。

例如，把一個長方體木條分割成大小相等的5個小正方體后，表面積之和增加了80平方厘米，原來這個長方體的表面積是多少平方厘米？這道練習題對兩個班級的學生進行了測試，其中一個班級的試題中附加了一個條件，要求畫出草圖，結果發(fā)現(xiàn)有畫草圖的這個班級作答正確率遠高于沒要求畫草圖的班級。孩子根據(jù)題目中提供的數(shù)學信息畫出草圖后，會發(fā)現(xiàn)長方體分割成5個大小一樣的小正方體后，表面積增加了8個面，正好是40平方厘米，所以每一個面的面積是5平方厘米，而長方體的表面積未分割前有22個面，因此原來長方體的表面積就是22×5=110平方厘米。可見，畫圖對于幫助解決較為抽象的數(shù)學問題，起到化抽象為具體的作用。

總之，通過數(shù)與形的相互轉換，以形助數(shù)，以數(shù)輔形，數(shù)形相輔相成，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來解決問題，讓學生主動經歷知識的形成過程，促使學生數(shù)學核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)，思維能力得到提升。