淺談如何在數學知識的形成過程中落地思想方法

張吉

【摘 要】只有認真研讀教材，挖掘提煉數學知識背后蘊藏的數學思想方法，才能通過日常教學活動讓學生經歷數學知識的形成，有效落地思想方法的教學，最終達成發展學生數學素養的目標。

【關鍵詞】感受數學思想;體會數學思想;感悟數學思想;建立數學思想

【中圖分類號】G623.5 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0210-02

《義務教育數學課程標準》在闡述課程目標時明確指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動的經驗。長期以來，一線數學教師往往關注教材中顯性的基礎知識，也有意識地培養學生的一些基本技能，但對蘊含于知識中的數學思想往往不清楚，更不重視，而數學思想的提煉與教學恰恰是培養學生思維能力、提高學生解決問題能力的關鍵，是學生進一步發展數學素養必需的部分。本文結合蘇教版五年級“解決問題的策略——畫線段圖”一課的教學，闡述如何在學生知識形成中落實數學思想方法的教學[1]。

1 ? 在回顧整理的過程中，感受數形結合的思想

1.1 ?從生長點引入

在復習引入環節，出示問題。小軍：我有8枚郵票。芳芳：我有12枚郵票。思考：要讓兩人的郵票枚數一樣多，有什么辦法？

分別用紅色和藍色的圓片代表兩人的郵票，擺一擺，體會這樣擺有什么好處？

學生看著圓片，思考出了三種不同的解決方案：①小軍添上4枚郵票。②芳芳拿走4枚郵票。③拿出芳芳的2枚郵票給小軍。

對二年級舊知識進行回顧，用不同顏色的圓片代表郵票，一個對著一個進行排列，既有助于讓學生感受符號表示的簡潔美，又能讓學生體會一一對應的清晰與方便。導入活動，從學生學習的生長點引入符號思想、對應思想，合理滲透數形結合思想，幫助學生把抽象的知識直觀化，有助于學生比較兩個量，用假設的多種方法解決“同樣多”的問題，為新知的展開做好必要的鋪墊。

1.2 ?在聯系處加強

在教學“畫線段圖解決實際問題”的新知后，再引導學生回顧以往所學的內容，啟發學生開展討論活動：在以往的學習中，還有哪些地方也用到過畫圖的策略？

學生1：低年級認數的時候，每10個數一組，能幫助我們數出一共有幾十個數。

學生2：在學習平均分的時候，我們會用圈一圈或者連一連的方法表示平均分的結果。

學生3：還通過畫一畫、圈一圈的方法，認識了一個數是另一個數的幾倍。

學生4：解決實際問題的時候，有時也要畫示意圖或者線段圖表示已知的條件和要求的問題。

學生5：學習周期問題的時候，用畫圖表示規律。

……

不同的學段，不同的學習內容，都用到了畫圖的策略。學生在知識回顧整理的過程中可再次體會數形結合思想方法在數學知識形成中的廣泛適用性，以及數學知識學習中的重要價值[2]。

2 ? 在兩次改編的過程中，體會轉化的數學思想

在教學新知的過程中，不直接出示例題，而是對復習題進行兩次改編，在新舊知識之間架構一個橋梁，這有助于學生更順利地理解和運用轉化思想解決問題。

（1）第一次改編：小寧和小春共有郵票72枚，已知兩人的郵票枚數一樣多，兩人各有郵票多少枚？

提問：如果讓你用畫圖的方法來表示題中的信息，你打算怎么畫？

在學生獨立畫圖的過程中，發現個別學生試圖畫圓片，但難以畫出，更多的學生開始嘗試畫線段圖。

追問：為什么這次不再畫圓片圖，而是畫線段圖？

發現：這里小寧和小春的郵票數都不確定，沒有辦法用圓片表示，而用兩段相同長度的線段能正確表示兩人郵票數量間的關系，這里使用線段圖更恰當、合適。

根據畫出的線段圖，學生發現這其實是關于平均分的問題，可以用除法72÷2計算出兩人均有36枚郵票。

（2）第二次改編：小寧和小春共有郵票72枚，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

讓學生根據題中的信息和問題，再次嘗試畫線段圖，并比對題目中的信息和問題，逐步完善。

提問：讀題解答，你是愿意看上面的文字信息還是看剛才完成的線段圖，為什么？

學生幾乎異口同聲地選擇看線段圖，他們在選擇比較的過程中體會到：線段圖同樣能展示題目中的信息和問題，且比文字描述更直觀清晰，便于比較數量關系。

（3）利用兩幅線段圖，針對兩次改編的習題進行比較：這兩道題中，同樣知道兩人郵票的總數，而對小春和小寧各有多少枚郵票都不確定，你覺得解決哪一題更簡單？為什么？

學生在對比中發現當小春和小寧的郵票枚數存在“同樣多”這一特殊情況的時候，其實就是把兩個量變成了一個量，可以直接用除法表示平均分，求出兩人各有多少枚;而在小春和小寧的郵票枚數不同樣的情況下，求兩者各自的枚數也就是要求兩個不同的量，這就存在一定的困難。

在比較中學生產生了把兩個不同的量轉化成一個量的需求，此時筆者適時點撥：那你能不能把這個困難的問題轉化成剛才簡單的問題呢？能否想辦法讓兩人的郵票枚數變得同樣多，然后再解決這個問題呢？請學生試著討論，利用線段圖來操作。

兩次改編，在難度上是遞進的，能充分調動學生的挑戰意識與探索興趣。學生在解決問題的過程中能自然而然地體會到把繁瑣的文字轉化為線段圖清晰、簡明的優勢，又在比較中明確操作活動的方向，也就是把兩人不同的郵票枚數變成兩人同樣多的郵票枚數，把兩個量轉化成一個量。這樣的活動過程，以“轉化”的數學思想引領，化困難問題為簡單問題，化陌生問題為熟悉問題，學生的學習活動目標指向明確，真正做到有的放矢。

3 ? 在操作和比較的過程中，感悟優化的數學思想

對復習題的第一次改編使學生體會到了圓片圖的不足，他們轉而采用線段圖，這同樣是數形結合的體現。學生在棄與選的過程中體會到了優化的數學思想，對數學方法應用性的認識得到了相應提高。

學生在討論活動中發現對同一類型的復習題，可采用假設的方法，使兩人的郵票枚數同樣多。小組學生發言的過程中，一人用語言表達想法，一人上臺操作，對原有的線段圖進行修改，動態生成了新的線段圖。這樣的過程讓學生真實地經歷了轉化，體會了假設過程中信息是怎樣發生變化的。

（1）在線段圖中將小春多出的12枚郵票去掉，兩人郵票數量變得相同。

發現：不變的量：小寧（72?12）÷2=30（枚）;變化的量：小春30+12=42（枚）

（2）在線段圖上給小寧補上少的12枚郵票，兩人郵票數量變得相同。

發現：不變的量：小春（72+12）÷2=42（枚）;變化的量：小寧42?12=30（枚）

（3）在線段圖上小春把多出的12枚郵票分一半給小寧，兩人郵票數量變得相同。

發現：不變的量：小寧和小春的郵票總數;變化的量：小寧72÷2?12÷2=30（枚），小春 72÷2+12÷2=42（枚）

通過對線段圖的動態操作，學生判別出了算式中不變和變化的量，再對應到算式，發現了不同的解決方法。對比三種方法，都有著相同的解題思路，即“把兩個不同的量轉化成一個相同的量”;第一、二種解法下，兩個量中只有其中一個量發生變化，思考過程與計算過程都更方便，而第三種方法下，兩個量都發生了改變，要求將轉化前的量還原兩次，比較麻煩。

學生在操作、評價、比較的過程中發現了不同思路中相同的本質，感悟了不同的假設方法，同時還進行了優化，得出了更佳的解題思路。

4 ? 在實踐應用的過程中，建立數學的模型思想

《義務教育數學課程標準》明確指出，在運用數學知識解決問題的活動中，應體現“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，這個過程要有利于學生理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想，積累活動經驗。本課的教學活動正是依據這樣的過程設計與推進的，體現了構建模型這一數學基本思想。從復習題到兩次改編，以題組的形式讓學生經歷對具體情境的抽象，進而把握例題的本質，探索出解決這類問題的一個優化后的數學模型。

新授本課后，教師還可以安排一些變式和延伸訓練：

（1）李娟在手工課上剪了4條花邊，共90厘米。其中有3條同樣長，還有1條比其余的花邊長10厘米。算一算每條花邊長多少厘米？

（2）小明做游泳準備運動，他沿長和寬相差30米的游泳池跑了5圈，共跑了700米。問游泳池的長和寬各是多少米？

學生在后續練習中能剝離變式、延伸題中復雜的數學情境外殼，找出這類題的本質特征，進而用學到的數學模型去解決問題，其分析和解決問題的能力得到提高，應用與創新意識得以增強。

綜上所述，數學思想是數學的高度抽象、是數學的靈魂，學生領悟、收獲數學知識背后的思想，必須要經歷具體的學習過程。只有在教學中增強學生的學習活動體驗，才能落地數學思想方法的教學，并發展學生綜合運用數學思想方法分析問題、解決問題的能力，最終提高學生的數學素養。

【參考文獻】

[1]高建軍.核心素養視角下對義務教育數學課程標準的研究[J].學周刊，2019（25）.

[2]葛中余.小學數學課堂中思想方法的滲透[J].清風，2020（22）.