以試題命制撬動教材研究的實踐與思考

劉雪明

【摘 要】高中數學教材是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養的重要教學資源。然而受升學、考試等因素的影響，很多教師不太重視教材的研究，只把教材簡單當做習題集來使用。為改變這一現象，在命制區域統考試題時，應有意從教材中選取素材、設計試題，以激發教師研究教材、使用教材的熱情，充分發揮教材的價值。

【關鍵詞】教學資源;教材研究;命制試題

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0150-02

高中數學教材為“教”與“學”活動提供了學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養的重要教學資源。為了落實課程改革精神，促進教師的“教”和學生的“學”，教材編者在素材選取、欄目設計、活動方式、情境類型、思路引領、習題選擇、圖文表達形式等方面都進行了精心設計。然而，受升學、考試以及名校效應等因素的影響，很多教師過分采用名校的教輔資料，不太重視教材的研究，只把教材簡單地當做習題集來使用，將課堂教學變成解題教學，甚至變成題型教學。為了使數學教學回歸本質，實現數學學科的育人目標，激發教師和學生研究教材、使用教材的熱情，充分發揮教材的價值，在命制區域統考試題時，應有意從教材中選取素材、設計試題，注重試題的基礎性、綜合性、應用性、創新性，力圖通過區域評價來引導一線教師進行教材研究、課堂教學改進。

1 ? 利用教材素材命制試題的實踐

素材1：摩天輪是生活中常見的娛樂設施，許多學生都有坐摩天輪的經歷。摩天輪還是反映周期運動的重要模型，是學習三角函數的很好素材。高中數學教材必修4的第一章基本初等函數（二）（即三角函數）、第三章三角恒等變換都以摩天輪為背景引出相應章節的學習內容。在學習角的概念、三角函數線、正弦型函數等知識時，又多次提到摩天輪。為激發學生的興趣，讓學生感到數學就在身邊，數學是有用的、好玩的，可以摩天輪為背景命制試題[1]。

試題1：天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，坐落在天津市紅橋區海河畔，是一座跨河建設、橋輪合一的摩天輪，兼具觀光和交通功用。天津之眼是世界上唯一建在橋上的摩天輪，是天津的地標之一。摩天輪直徑為110米，旋轉一周所需時間為28分鐘，最高點距離地面的高度為120米。圖1為摩天輪示意圖，圖中 OA 與地面垂直，以 OA 為始邊，逆時針轉動 θ 角到 OB 。設 B 點與地面距離為 y。

（1）當時，求 y的值;

（2）求 y與 θ 的函數解析式;

（3）設從 OA 開始轉動，經過 x分鐘到達 OB ，求 y與 x 的函數解析式。

素材2：高中數學教材必修2中的一道練習題（B組）。

如圖2，有一個正三棱錐體的零件，P是側面ACD上一點。在面ACD上過點P畫一條與棱AB垂直的直線。怎樣畫？并說明理由。

這是一道立體圖形中的作圖問題，相當于探究充分條件的問題，考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力。對于這類題，平時學生練習得很少，如果直接用做考試題，得0分的學生可能會很多，從而喪失這道題的意義。教師在研究北京中考、高考試題的新變化、新特點的基礎上，可命制一道開放性試題，在題目中提供幾種畫圖方法，讓學生從中做出選擇并進行解答[2]。

試題2：如圖2，有一個正三棱錐體的零件，P 是側面ACD 上一點，欲在面 ACD 上過點 P 畫一條與棱 AB 垂直的直線，怎么畫？

為解決上述問題，甲、乙、丙三位學生給出了如下3種畫法：

學生甲：過點 P 做 CD 的平行線 l ，則 l 與 AB 垂直。

學生乙：過點 P 做 CD 的垂線 l ，則 l 與 AB 垂直。

學生丙：連接 PC ，則 PC 與 AB 垂直。

從三位學生的回答中任意選擇一個，判斷該學生的畫法是否正確，并說明理由。

分析：學生做出選擇和判斷后，問題就變成了結構良好的試題。如果選擇甲，結論是肯定的，試題轉化為學生熟悉的形式;如果選擇乙、丙，結論是否定的，一般采用反證法進行證明（教材中有簡單介紹）。在用反證法進行證明時發現“正三棱錐”不夠嚴格（以 A 為頂點的三個角不能是直角），應該改為“正四面體”。

素材3：高中數學教材2-2中有段文字：如果在f'（x）=0 的根 x=x0 的左、右兩側， f'（x） 的符號不變，則f（x0） 不是極值。如對于函數f（x）=x3 有 f'（0）=0，但 x=0 不是極值點。這就是說， f'（x）=0的根不一定都是函數的極值點。由此可見，可導函數f（x）在點 x0 取得極值的充分必要條件是f'（x0）=0，且在 x0 左側與右側， f'（x） 的符號不同。很明顯， f'（x0）=0是 x0 為極值點的必要條件，并非充分條件。

此段文字的目的，是以具體函數f（x）=x3 為例，說明f'（x0）=0與 x0 為極值點之間的關系，從而強調求函數極值的一般步驟中，判斷 x0 左側與右側f'（x） 的符號異同的必要性。其實， f（x）=x3是個很重要的函數，可以說明f'（x）≥0 與f（x） 單調遞增之間的關系，還可以加深對切線定義的全面理解[3]。

試題3：已知函數f（x）=x3+1 ，關于這個函數給出以下三個命題：

（1）函數f（x） 在定義域上是增函數;

（2）x=0是函數f（x） 的極值點;

（3）y=1是曲線 y=f（x） 的一條切線;

其中真命題的序號是_______。

2 ? 思考與展望

作為命題者，為了在教材中發現有價值的素材，要全面通讀、深入研究教材;為了保證試題的科學性，要對教材進行理性思考、科學論證;為了使試題符合學生的認知水平，要研究學生解決問題的思維過程與特征;為了保證試題有新意、有時代性，要研究高考的新政策、新變化，注意學科間的滲透和交叉，拓寬試題的情境。經過一段時間的實踐，不僅可以積累大量優秀題目，命題者對各方面的素材也能保持高度的敏感性，專業素養得到提高。作為一線教師和學生，為了正確解答試題，取得理想成績，要研究命題者的出題意圖、考查內容、素材來源，提高對教材的重視程度和研究教材的自覺性。經過一段時間的實踐，無論是命題者還是一線教師對教材的價值都會有更全面的認識，研究教材的自覺性也會增強，同時積累豐富的閱讀教材、理解教材、使用教材的經驗[4]。

《普通高中數學課程標準》（2017版）在基本理念、課程目標、課程結構、課程評價等方面都有比較大的變化，特別是凝練出了學科核心素養和學業質量標準。課程標準在命題建議中指出“要充分考慮命題對教學的積極引導作用”，“考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法，融入數學文化”，“應有一定數量的應用問題、開放性問題、探究性問題”。相應的，新版教材也有非常大的調整，研究教材、理解教材、使用教材是理解和落實新課程理念的重要抓手和有效途徑，同時新教材也為課堂教學、考試評價提供了更新的素材，教材研究、試題命制永遠在路上。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]普通高中課程標準實驗教科書人教B版數學必修2[M].北京：人民教育出版社，2013.

[3]普通高中課程標準實驗教科書人教B版數學必修4[M].北京：人民教育出版社，2013.

[4]普通高中課程標準實驗教科書人教B版數學選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2013.