四次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性初探

李廣朋

【摘 要】本文研究了一般型四次函數(shù)在什么條件下具備軸對(duì)稱(chēng)性，得出了軸對(duì)稱(chēng)四次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式和極值公式。運(yùn)用公式可以快速確定軸對(duì)稱(chēng)四次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和極值，避免了繁瑣的求導(dǎo)和代值計(jì)算，可以快速準(zhǔn)確地畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)四次函數(shù)的簡(jiǎn)圖，有助于提升對(duì)四次函數(shù)的整體認(rèn)識(shí)，提高解答對(duì)稱(chēng)性四次函數(shù)問(wèn)題的速度。

【關(guān)鍵詞】四次函數(shù);對(duì)稱(chēng)性;極值

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2021）10-0061-02

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)理解清楚、運(yùn)用熟練，但對(duì)四次函數(shù)的圖象與性質(zhì)了解不多，掌握較差。在2013年新課標(biāo)全國(guó)卷I理科卷中曾出現(xiàn)一道四次函數(shù)問(wèn)題：若函數(shù)f（x）=（1?x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=?2對(duì)稱(chēng)，則f（x）的最大值為 ?。該題為一典型的四次函數(shù)問(wèn)題，大多數(shù)學(xué)生對(duì)該類(lèi)型題求解困難，或者因計(jì)算量大耗時(shí)較長(zhǎng)。本文研究函數(shù)f（x）= x4+ax2+b的對(duì)稱(chēng)性與極值點(diǎn)，并將之推廣到一般型四次函數(shù)f（x）=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 對(duì)稱(chēng)性的判斷與性質(zhì)上。

運(yùn)用本文結(jié)論得出該函數(shù)具有軸對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)圖象為標(biāo)準(zhǔn)的W型，根據(jù)公式可以直接得出函數(shù)的極大值和極小值，避免繁瑣的求導(dǎo)和求極值，提高解答該類(lèi)型題的速度和正確率。

【參考文獻(xiàn)】

[1]馮貝葉.四次函數(shù)實(shí)零點(diǎn)的完全判據(jù)和正定條件[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006（3）.