混合潤滑狀態下結合面法向動態接觸剛度與阻尼模型

李玲　裴喜永　史小輝　蔡安江　段志善

摘要： 機械結合面的動態接觸特性對評估機床整機性能有著重要的意義。針對混合潤滑狀態下固定結合面復雜的接觸特性，提出了一種結合面的法向接觸剛度與阻尼模型。采用三維Weierstrass?Mandelbrot函數獲得粗糙表面形貌，并基于分形理論建立了結合面固體部分的接觸剛度與接觸阻尼模型;根據平均流動的廣義雷諾方程建立了液體油膜接觸剛度與阻尼模型，其中油膜接觸剛度是固體表面接觸剛度的函數，實現了油膜接觸剛度與固體接觸剛度的耦合。通過仿真分析了固體、液體油膜以及結合面的剛度阻尼特性，結果表明：液體油膜接觸阻尼遠大于固體接觸阻尼，結合面的接觸阻尼特性主要取決于油膜接觸阻尼;在接觸前期油膜接觸面積所占比例較大，結合面的接觸剛度主要由油膜接觸剛度主導，隨著固體真實接觸面積的增加，液體油膜接觸剛度占結合面接觸剛度的比率越來越小，最后轉變為固體接觸剛度主導結合面的接觸剛度。

關鍵詞： 結合面; 混合潤滑; 等效厚度; 接觸剛度; 接觸阻尼; 分形理論

中圖分類號： TH113.1; TB123 ? ?文獻標志碼： A ? ?文章編號： 1004-4523（2021）02-0243-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.004

引 ?言

結合面是構成機床整機的關鍵組成部分，在機床結構件之間起著傳遞運動、載荷和能量的重要作用。研究表明，整個機床中，結合面的接觸剛度約占機床總剛度的60%?80%[1]，結合面的接觸阻尼占機床全部阻尼的90%以上[2]。因此，開展結合面剛度阻尼特性的研究對整機性能的預測至關重要。

機械結構中的結合面可等效為兩個粗糙表面的接觸，國內外學者已對粗糙表面的接觸問題進行了廣泛的研究[3?6]，但仍然存在很多問題。其中應用最廣泛的接觸模型是Greenwood和Williamson[7]提出的統計學接觸模型（GW模型），GW模型將單個剛性球體與彈性半空間的接觸擴展為一個剛性平面與一個粗糙表面間的接觸，通過統計學方法分析了多種因素對結合面的影響規律，但該模型中采用的統計學參數會受到測量儀器分辨率的影響[8]，使得測量結果具有尺寸依賴性。因此，建立一種能夠將所有尺度的粗糙度信息都包含于其中的粗糙表面表征模型具有重要的意義。

Mandelbrot等[9?10]首先發現，Weierstrass?Mandelbrot函數（W?M函數）處處連續且不可微，具有統計自仿射特性，很適合用來表征粗糙表面的表面輪廓，避免了統計學模型受測量儀器分辨率的影響。Majumdar和Bhushan[11?12]基于W?M函數將分形幾何理論應用于兩粗糙表面間的接觸分析，認為粗糙表面形貌具有自相似性和尺度獨立性，建立了一種新的結合面分形接觸模型（MB模型）。為了進一步完善分形接觸模型，W?M函數也被用于建立考慮微凸體彈性變形，彈塑性變形以及塑性變形的各個分析模型中[13?15]，且有大量學者基于分形模型研究了結合面法向與切向的接觸剛度阻尼特性[16?19]。但是，上述關于結合面的研究中僅限于干摩擦條件下的粗糙表面接觸，獲得的法向接觸剛度與接觸阻尼模型尚不能用于混合潤滑狀態下結合面的剛度阻尼特性分析。

實際上，機床中大部分結合面在工作中往往都處于混合潤滑狀態[20]，此時，結合面間同時存在油膜和微凸體的接觸。關于混合潤滑狀態下結合面接觸剛度與阻尼的研究，李小彭等[21]將梁結構及它們之間的結合面重構為固體?廣義間隙?固體系統，利用結合面接觸剛度的分形模型與材料應變能等效的方法，獲得了結合面廣義間隙的材料常數，并驗證了結合面接觸剛度分形模型的正確性。Li等[22]采用雙變量W?M函數表征粗糙表面形貌，利用表面粗糙度來計算油膜等效厚度，建立了考慮表面形貌影響的結合面接觸阻尼模型，分析了表面粗糙度對擠壓油膜阻尼特性的影響規律。李昌等[23]基于Dowson最小膜厚公式，給出了彈流油膜剛度的解析表達式。

然而，上述關于混合潤滑結合面的理論接觸模型都假設油膜等效厚度為一定值，且缺乏完整的混合潤滑狀態下結合面的接觸剛度與阻尼模型。為此，本文基于分形理論建立了結合面固體接觸剛度與接觸阻尼模型，利用固體彈性接觸剛度獲得了變化的油膜等效厚度。根據平均流動的廣義雷諾方程獲得了潤滑油膜的接觸剛度與接觸阻尼。最后，基于載荷分配的思想，建立了混合潤滑狀態下固定結合面的法向接觸剛度與接觸阻尼模型。該模型考慮了油膜等效厚度的變化，對結合面的潤滑設計以及潤滑狀態預測具有重要的理論指導意義。

1 三維粗糙表面形貌表征

傳統的表面形貌表征采用的是輪廓算術平均值Ra、輪廓高度均方根值σ等統計學參數，但這些統計學參數受測量儀器分辨率的影響，只能反映測量儀器分辨率和采樣長度相關的粗糙度信息。因此，本文采用具有自相似性和尺寸獨立性的分形幾何參數來表征粗糙表面形貌[24]，其可表示為

2 混合潤滑結合面的并聯接觸模型

對于混合潤滑的固定結合面，既存在微凸體的接觸，又存在潤滑劑的接觸，此時，結合面間的法向載荷由潤滑劑與固體共同承擔[25]。研究該類結合面的剛度阻尼特性可以轉化為研究固體接觸的剛度、阻尼特性以及擠壓油膜的剛度、阻尼特性。

兩粗糙表面的接觸可以等效為一剛性平面與一等效粗糙表面的接觸，混合潤滑狀態下，它們之間的間隙由潤滑劑填充，如圖2（a）所示。此時，根據載荷分配思想將結合面接觸剛度Kt等效為固體接觸剛度Ks與液體油膜接觸剛度Kl的并聯連接模型，同理，結合面的接觸阻尼Ct也可等效為固體阻尼Cs與油膜阻尼Cl的并聯模型，如圖2（b）所示。

5 結果與分析

5.1 模型驗證

不同接觸模型下結合面接觸剛度隨法向載荷的變化規律如圖4所示。表面材料屬性參數E*=2×1011 Pa，H=0.65 GPa[33];潤滑油選用46#液壓油，其黏度值在常溫下為0.018 Pa?s，其他仿真參數D=2.35，G=1×10-12 m，η空氣=1.81×10-5 Pa?s（常溫下）。由圖可知，利用本文模型、YK模型[24]以及WXL模型[34]獲得的數值解具有一致性，這說明了本文模型的合理性。值得注意的是當兩粗糙表面處于干摩擦接觸狀態時，潤滑介質為空氣，本文模型與YK模型基本重合;當潤滑介質為油時，接觸剛度隨著法向載荷的增大呈先減小后增大的趨勢，最后與干摩擦模型重合。這是因為在接觸前期結合面的接觸剛度主要由油膜接觸剛度主導，之后隨著載荷的增加，結合面間隙中的油膜由于擠壓作用發生側漏或回滲到固體中，油膜接觸剛度占結合面接觸剛度的比率逐漸減小，當載荷增大到一定程度時，結合面的接觸剛度開始由固體接觸剛度主導，逐漸向邊界潤滑狀態轉化。

5.2 潤滑油膜等效厚度的變化規律

選用D=2.4，G=1×10-12 m的表面分形參數，其他仿真計算參數如表1所示，分析了液體油膜等效厚度隨法向壓力的變化規律，結果如圖5所示。由圖可知，潤滑油膜等效厚度隨著法向壓力的增大而減小，且其遞減速率先快后慢，二者呈非線性的關系。這是因為當表面粗糙度一定時，法向壓力的增大使得固體的真實接觸面積以先快后慢的速率遞增;相反地，結合面間隙中的油膜接觸面積以先快后慢的速率遞減，從而引起油膜等效厚度的減小。

5.3 分形參數對固體真實接觸面積、接觸剛度以及接觸阻尼的影響

固體真實接觸面積大小的主要影響因素是分形參數和法向載荷，載荷一定時，真實接觸面積與分形維數D、分形粗糙度G的關系如圖6所示。由圖可知，當D不變時，Ar隨著G的增大而減小，即表面越粗糙，真實接觸面積越小。同時也觀察到，隨著D的增加，Ar呈先增大后減小的趨勢，這說明了存在一個最優的分形維數D，使得固體的真實接觸面積達到一個最大值。

圖7表示不同分形參數下固體接觸剛度與真實接觸面積的關系曲線。由圖可知，固體接觸剛度Ks隨著真實接觸面積的增大而增大，同時，從圖7（a）中可以發現，當固體真實接觸面積一定時，分形維數D越大，接觸剛度Ks越大。相反地，由圖7（b）可知，真實接觸面積一定時，接觸剛度Ks隨著分形粗糙度參數G的增大而減小。分形維數D的增大與分形粗糙度參數G的減小都可以減小表面的粗糙度，這意味著較小的表面粗糙度有助于改善結合面的接觸剛度特性。

不同分形粗糙度參數下固體接觸阻尼損耗因子ψ隨分形維數D的變化規律如圖8所示。從圖中觀察到，ψ隨著D的增大呈先減后增的變化趨勢，整個阻尼損耗因子的變化曲線呈下凹的函數特性。在D=2.35附近阻尼損耗因子達到了最小，之后隨著D的增大，分形粗糙度參數對阻尼損耗因子的影響越來越小，直到D>2.7以后，阻尼損耗因子幾乎不受分形粗糙度參數的影響，此時不同分形粗糙度參數下的損耗因子基本相等。同時，當分形維數D一定時，分形粗糙度參數G越大，阻尼損耗因子越大，即表面越粗糙，阻尼損耗因子越大。

圖9表示不同分形粗糙度參數下固體接觸阻尼與分形維數D的關系曲線。由圖可知，固體接觸阻尼Cs隨分形維數D的變化規律與圖8中阻尼損耗因子的變化規律基本一致，都呈先減小后增大的變化趨勢。同時發現，在D=2.3附近，接觸阻尼達到了最小，之后隨著分形維數的增加，接觸阻尼曲線在D=2.55處出現了拐點;當D<2.55時，接觸阻尼隨著分形粗糙度參數G的增大而增大;當D>2.55時，隨著分形粗糙度參數G的增大，接觸阻尼反而呈減小的變化趨勢。

5.4 分形參數對液體油膜接觸剛度的影響

與固體接觸部分的接觸剛度仿真類似，液體油膜接觸剛度Kl在不同分形參數下隨固體真實接觸面積的變化規律如圖10所示。從圖中可以看出，當固體的真實接觸面積增大時，液體油膜接觸剛度Kl逐漸減小，這是由于固體真實接觸面積增大時，液體油膜接觸面積所占比例減小，進而導致液體油膜的接觸剛度Kl減小。同時，Kl隨分形維數D和分形粗糙度參數G的變化規律與固體接觸剛度的變化趨勢一致。

5.5 混合潤滑狀態下結合面的接觸剛度與接觸阻尼

圖11表示結合面接觸剛度Kt、油膜接觸剛度Kl以及固體接觸剛度Ks與真實接觸面積的關系。從圖中觀察到，結合面的接觸剛度隨著真實接觸面積的增加呈先減小后增加的趨勢，大概在真實接觸面積占名義接觸面積的10%附近，結合面接觸剛度曲線出現了拐點，剛度值達到了最小。研究表明，結合面固體真實接觸面積僅占名義接觸面積的一小部分，即使是高精度的機加工表面，真實接觸面積僅占名義接觸面積的10%?20%，這恰好是圖11中結合面接觸剛度的拐點位置。同時，從圖中還可以看出，當Ar/An<10%時，油膜剛度占主導作用，此時油膜接觸所占面積較大，結合面間接近于流體潤滑，結合面的接觸剛度相當于油膜的靜壓剛度。因此，結合面的接觸剛度在接觸前期較大，之后，隨著固體真實接觸面積的增加，油膜接觸部分所占比例減小，固體接觸剛度的作用變得越來越明顯，油膜接觸剛度占結合面接觸剛度的比率逐漸減小。

表面粗糙度和載荷是影響結合面固體真實接觸面積的兩大主要因素，當載荷一定時，表面粗糙度越小，真實接觸面積越大。通過對比結合面的接觸剛度與固體接觸剛度可知，在不改變表面粗糙度（甚至降低）的情況下，如圖中10%左右，添加潤滑油可有效提高結合面的接觸剛度。

結合面法向接觸阻尼Ct在不同分形維數D下隨法向載荷Ft的變化規律如圖12所示。由于液體油膜接觸阻尼遠大于固體接觸阻尼，所以液體油膜接觸阻尼主導著結合面的接觸阻尼。從圖中可以觀察到，結合面接觸阻尼與法向總載荷呈非線性的關系，且其隨著法向載荷的增大而減小，這是因為當表面粗糙度不變時，固體真實接觸面積隨著載荷的增大而增大，此時，油膜由于擠壓作用發生側向泄漏或者回滲到固體中，油膜接觸面積所占比例減小，結合面處于貧油狀態，從而引起結合面接觸阻尼的減小。同時，從圖中還可獲得，表面越光滑，結合面接觸阻尼越大。

6 結 ?論

機床中的結合面普遍采用添加潤滑劑的方式降低摩擦系數，減少表面磨損，提高機床的使用壽命和精度保持性。本文基于混合潤滑狀態下固定結合面法向載荷由固體與潤滑劑共同承擔的載荷分配思想，分別建立了結合面接觸剛度和接觸阻尼的并聯連接模型，仿真分析了結合面的剛度阻尼特性，為評估機床整機的動態性能提供了幫助。

（1） 針對混合潤滑狀態下結合面間變化的油膜厚度，利用固體接觸部分的彈性接觸剛度求解了液體油膜的等效厚度，實現了固體表面接觸剛度和液體油膜接觸剛度的耦合。

（2）在接觸前期，結合面固體真實接觸面積較小，液體油膜接觸面積所占比例較大，結合面的接觸剛度主要由油膜接觸剛度主導，隨著真實接觸面積的增加，液體油膜接觸剛度占總剛度的比率越來越小，固體接觸剛度作用變得明顯，最后轉變為固體接觸剛度主導結合面的接觸剛度。

[16] CHEN Q， XU F， LIU P， et al. Research on fractal model of normal contact stiffness between two spheroidal joint surfaces considering friction factor[J]. Tribology International， 2016， 97： 253-264.

[17] 李小彭，王 雪，運海萌，等.三維分形固定結合面法向接觸剛度的研究[J].華南理工大學學報（自然科學版）， 2016， 44（1）： 114-122.

LI X， WANG X， YUN H， et al. Investigation into normal contact stiffness of fixed joint surface with three-dimensional fractal[J]. Journal of South China University of Technology （Natural Science Edition）， 2016， 44（1）： 114-122.

[18] JIANG S， ZHENG Y， ZHU H. A contact stiffness model of machined plane joint based on fractal theory[J]. Journal of Tribology， 2010， 132（1）： 11401.

[19] ZHANG X， WANG N， LAN G， et al. Tangential damping and its dissipation factor models of joint interfaces based on fractal theory with simulations[J]. Journal of Tribology， 2014， 136（1）： 11704.

[20] LIU J， SHAO Y. An improved analytical model for a lubricated roller bearing including a localized defect with different edge shapes[J]. Journal of Vibration and Control， 2018， 24（17）： 3894-3907.

[21] 李小彭，梁亞敏，郭 浩，等.結合面廣義間隙的等效模型研究[J].振動工程學報， 2014， 27（1）： 25-32.

Li Xiaopeng， Liang Yamin， Guo Hao， et al. Study on equivalent model of generalized clearance of joint surface[J]. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（1）： 25-32.

[22] LI L， YANG J， LIU W. Effect of random surface roughness on squeeze film damping characteristics in damper of linear rolling guide with a fractal-based method[J]. Industrial Lubrication and Tribology， 2015， 67（6）： 549-556.

[23] 李 昌，孫志禮.基于彈流潤滑理論的深溝球軸承動態虛擬仿真[J].航空動力學報， 2009， 24（4）： 951-956.

LI Chang， Sun Zhili. Dynamic virtual simulation of deep groove ball bearing： Based on elastohydrodynamic lubrication theory[J]. Journal of Aerospace Power， 2009， 24（4）： 951-956.

[24] YAN W， KOMVOPOULOS K. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces[J]. Journal of Applied Physics， 1998， 84（7）： 3617-3624.

[25] JOHNSON K L， GREENWOOD J A， POON S Y. A simple theory of asperity contact in elastohydro-dynamic lubrication[J]. Wear， 1972， 19（1）： 91-108.

[26] BORODICH F M. The Hertz frictional contact between nonlinear elastic anisotropic bodies （the similarity approach）[J]. International Journal of Solids and Structures， 1993， 30（11）： 1513-1526.

[27] 田紅亮，鄭金華，趙春華，等. 界面損耗因子與法向阻尼的計算方法[J]. 上海交通大學學報， 2015， 49（5）： 687-695.

Tian Hongliang， Zheng Jinhua， Zhao Chunhua， et al. Calculating method of surface dissipation factor and normal damping[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University， 2015， 49（5）： 687-695.

[28] 尤晉閩，陳天寧. 結合面法向動態參數的分形模型[J]. 西安交通大學學報， 2009， 43（9）： 91-94.

You Jinmin， Chen Tianning. Fractal model for normal dynamic parameters of joint surfaces[J]. Journal of Xi'an Jiaotong University， 2009， 43（9）： 91-94.

[29] WANG X， WEN S， GUI C. A generalized Reynolds equation based on the average flow model[J]. Lubrication Engineering， 1998， 3： 16-18.

[30] PATIR N， CHENG H S. An average flow model for determining effects of three-dimensional roughness on partial hydrodynamic lubrication[J]. Journal of Lubrication Technology， 1978， 100（1）： 12-17.

[31] GONZALEZ-VALADEZ M， DWYER-JOYCE R S， LEWIS R. Ultrasonic reflection from mixed liquid-solid contacts and the determination of interface stiffness[J]. Tribology and Interface Engineering Series， Elsevier， 2005，48： 313-320.

[32] 周桂如. 流體潤滑理論[M]. 杭州：浙江大學出版社， 1990.

Zhou Guiru. Fluid Lubrication Theory[M]. Hangzhou： Zhejiang University Press， 1990.

[33] PAN W， LI X， WANG L， et al. Influence of contact stiffness of joint surfaces on oscillation system based on the fractal theory[J]. Archive of Applied Mechanics， 2018， 88（4）： 525-541.

[34] PAN W， LI X， WANG L， et al. A normal contact stiffness fractal prediction model of dry-friction rough surface and experimental verification[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids， 2017， 66： 94-102.

Normal dynamic contact stiffness and damping model of joint surfaces in mixed lubrication

LI Ling， PEI Xi-yong， SHI Xiao-hui， CAI An-jiang， DUAN Zhi-shan

（School of Mechanical and Electrical Engineering， Xi'an University of Architecture and Technology， Xi'an 710055， China）

Abstract： The dynamic characteristic of joint surfaces is of great significance for evaluating the performance of machine tools. In this paper， a normal contact stiffness and damping model of joint surfaces are proposed for studying the complicated contact characteristics of fixed joint surfaces in mixed lubrication. Firstly， the three-dimensional Weierstrass-Mandelbrot function is used to describe the rough surface， and the solid contact stiffness and damping model is established based on the fractal theory. Then， the contact stiffness and damping model of the lubricant are established based on the mean flow generalized Reynolds equation， in which the lubricant contact stiffness is a function of the solid contact stiffness. Finally， the contact stiffness and damping of the solid part， lubricant part and the joint surfaces are analyzed. The results show that the damping of the lubricant film is much larger than that of the solid part， and the contact damping of joint surfaces is mainly dominated by the damping of the lubricant film. The contact stiffness of joint surfaces is dominated by the lubricant contact stiffness in the early stage of contact. However， the ratio of the lubricant contact stiffness to the stiffness of joint surfaces decreases with increasing the real contact area. At last， the solid contact stiffness dominates joint surfaces.

Key words： joint surface; mixed lubrication; equivalent thickness; contact stiffness; contact damping; fractal theory

作者簡介： 李 ?玲（1981-），男，教授。E-mail： liling@xauat.edu.cn

通訊作者： 史小輝（1977-），男，講師。E-mail： 13811382617@163.com