基于DTFT無窗函數電力系統間諧波檢測高精度算法研究

王 震，陳 卓，龐為光

（1. 貴州大學 電氣與電子工程學院，貴州 貴陽550025；2. 東北大學 計算機科學與工程學院，遼寧 沈陽 110819）

0 引言

隨著新能源戰略的推進，電力電子器件得到廣泛應用，因此引起的諧波及間諧波問題日益嚴重。基波頻率的整數倍波稱為諧波，非整數次波稱為間諧波。諧波及間諧波的產生降低了電能質量，增加電能損耗，同時也會干擾用電設備正常運行，威脅用電安全。諧波及間諧波檢測算法研究不斷深入，常見的檢測算法有小波變換[1-2]、瞬時無功功率理論[3]、快速傅里葉變換（FFT）[4]等。

傅里葉變換便于實現，因此對諧波、間諧波檢測常常采用該方法。但是由于對電力信號的離散、截斷處理，導致頻譜混疊、頻譜泄露等問題。另外不能實現連續頻譜分析，只能做離散傅里葉變換（DTFT），從而導致柵欄效應。對于頻譜泄露可以通過提高采樣頻率和低通濾波避免，對于頻譜泄露和柵欄效應，通常利用加窗函數進行抑制，然后做插值計算。基于離散傅里葉變換的加窗插值算法根據加窗函數不同和利用譜線的數量可分為：雙譜線插值[5]、多項余弦組合窗多譜線插值[6-11]、組合余弦優化窗四譜線插值[12]、兩譜線加權修正幅值[13]、自卷積窗四譜線插值[14]、塞窗四譜線插值[15]等。加窗插值算法可以很好地抑制頻譜泄露，從而得到較高精度的結果，但是復雜的窗函數一方面導致加窗過程中計算量增大，另一方面窗函數越復雜，插值公式越難推導，甚至無法得到準確的插值公式。只能通過擬合函數來替代，擬合函數的精度最終也會影響檢測結果的精度。除了通過加窗插值實現檢測諧波、間諧波之外，還有實信號法[16]、向量同步法[17]、W-H轉換法[18]。本文基于不加窗函數情況（矩形窗），通過實數域頻譜變換下的譜線構造高精度算法，避免了因加窗函數而增加的計算量。最后通過算例分析，證明了算法可行。

1 傳統加窗插值算法理論分析

對于信號采集到的序列：

式中：n=0,1,2,···,N-1；Ts為采樣時間。

加矩形窗做復數形式頻譜變換：

式中：k=0,1,2,···。

指數形式的復數頻譜變換需要同時計算實部和虛部兩個序列，是一種二維向量計算，需同時進行計算。

利用待測頻率 f0附近的峰值和次峰值兩個譜線X(K)、X(K+1)做插值計算，譜線如圖1。

圖1 譜線圖Fig. 1 Spectral line diagram

引入參數：

復頻域下的插值算法需要進行取模運算。

再利用U1的值求得：

對比式（4）和式（8），可以看出不同的窗函數插值公式不同。但并非所有窗函數都可以導出插值公式，一些窗函數無法導出插值公式，只能通過擬合函數的方式實現插值計算，增加了算法的復雜度。

2 實數頻譜插值算法

指數形式復頻域變換需要同時計算虛部和實部運算，除此之外做插值計算時還需要對譜線取模運算，尋找峰值和次峰值時還需要比較運算，這都無疑增加了過程中的運算量。本文利用實數域下的變換，由于其頻譜值為實數，可以根據譜線值的特點進行構造來抑制頻譜泄露，從而在不加窗（矩形窗）的情況下實現高精度計算。

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對于信號采集到的序列：

式中：n=0,1,2,···,2N-1；Ts為采樣時間。

為了便于分解，將第一個采樣點時刻記為0.5Ts，式（12）改寫為：

由于信號采樣點時刻記為0.5Ts，變換時三角函數中的n相應加0.5。分解后的兩分量做變換時可以實現獨立運算。

2.1 實數頻譜三譜線插值算法

兩個分量選擇其中一個，利用待測頻率附近的X(K-1)、X(K)和X(K+1)三譜線做插值計算，實數譜如圖2。

圖2 原頻譜Fig. 2 Original spectrum

三譜線插值可以求解基波頻率，但由于沒有實現抑制頻譜泄露，不能求解間諧波的參量。

2.2 六譜線插值計算

通過分析實數域頻譜圖（圖2）可以看出，由峰值向兩側的頻譜成正負交替變化。利用實數域頻譜特點，構造新譜線：

ξ是一個較小的數，適當調節ξ的大小可改變精度。當ξ=0時，新譜線如圖3，將譜值集中于待測頻譜附近，抑制不同頻率之間的相互干擾。

圖3 新頻譜Fig. 3 New spectrum

2.3 計算量分析

本文提出的實數域三譜線插值、六譜線插值，不需要加窗，省去窗函數序列計算。一次頻譜變換需要N次乘法運算，三譜線插值計算總共需要（3N+3）次乘除運算，六譜線插值計算總共需要（6N+3）次乘除運算。三譜線插值增加2次加法，六譜線插值增加4次加法，相對乘法運算少的多。

3 算例分析

對于信號：

采樣點數N=400，采樣時間Ts=0.001 s。頻率f0從49 Hz每隔0.2 Hz連續增加到51 Hz，參數設定見表1。

表1 仿真參數設置Tab. 1 The setting of the simulation parameters

3.1 基波頻率檢測

對比傳統算法和本文算法（ξ=0）對信號基波頻率進行測試，測試相對誤差見表2。

表2 頻率相對誤差（%）Tab. 2 The relative errors of frequency calculation

通過對比可以看出，加漢寧窗函數插值求基波頻率比不加矩形窗下插值有優勢，主要原因是漢寧窗函數下的插值公式是通過做大量的近似得出的，因此引入了一定量的誤差。而實數域下三譜線插值略好于前兩者，且計算量較小，如果只求解基波頻率可以用此方法。實數域六譜線插值基波頻率誤差最小，得到了基波頻率值最準確。

間諧波的頻率值可以用基波的頻率值成相應倍數代替。

3.2 間諧波幅值檢測

間諧波幅值較小，最容易受到頻譜泄露的影響。對間諧波幅值進行檢測，可以反映算法的精度。

對 1.5次間諧波測試時，ξ從 0.005增加到0.02，每間隔0.005測一次，幅值相對誤差見圖4。

圖4 1.5次間諧波幅值誤差Fig. 4 Amplitude errors of 1.5-inter-harmonic

對 2.5次間諧波測試時，ξ從-0.005增加到0.01，每間隔0.005測試一次，幅值相對誤差見圖5。

圖5 2.5次間諧波幅值誤差Fig. 5 Amplitude errors of 2.5-inter-harmonic

根據結果可以看出適當調節 ξ可以改變間諧波檢測精度。對于1.5次間諧波，當ξ=0.02時，可以將誤差控制在0.5%以內；對于2.5次間諧波，當ξ=0.005時，可以將誤差控制在0.4%內。ξ的取值大小與間諧波附近其他波次諧波有關，1.5次間諧波主要受基波和2次諧波影響，2.5次間諧波主要受2次諧波和 3次諧波影響，其他波次也有一定的影響，但不是主要因素。ξ的取值需要綜合考慮得出，以便得到最佳的結果。

相位的精確率由幅值精確率決定，二者的誤差范圍相當。

4 結論

本文提出實數域變換下的插值運算，并根據實數域下的譜線正負交替特點分別構造三譜線插值算法和六譜線插值算法。其中三譜線插值可以較好地檢測基波頻率，相對于復頻域變換下的插值運算精確率相當，但計算量相對較少，可以適當提高計算速度，增強算法的時效性。六譜線插值間諧波檢測精度較高且復頻域變換下的加窗插值算法計算量少。

在實數域頻譜下，除了構造三譜線插值和六譜線插值，還可以構造其他數量譜線的插值運算，譜線的選取不同，算法的精度也受一定影響。