王悅 金美月

摘 要 數學既賦有理性精神，又具有獨特的人文魅力。普通高中數學課程標準及高考考試大綱中明確提出要增加體現數學文化的試題。以近五年融入數學文化社會層面和情感層面的29道高考試題作為研究對象，分析試題中融入的數學文化的變化趨勢及特點，可以厘清高考命題融入數學文化的現狀并為我國后續高考題的命制提供幫助。

關鍵詞 數學文化 高考命題 特點 趨勢

數學文化包含四個層面：意識形態層面，即數學信念;社會層面，即數學知識及其變化與發展、民俗數學、數學與其他學科的關系;情感層面，就是數學態度、數學精神、數學美;技術層面，也就是數學思想、方法及其應用[1]。

《普通高中數學課程標準（2017年版）》的命題建議中已明確指出，高考題的命制應注重融入數學文化[2]。而且，近幾年的《普通高等學校招生全國統一考試大綱》（以下簡稱《考試大綱》）中也提出，要展現數學的科學價值和人文價值，體會數學的美學含義等要求[3]，特別是在《2017年普通高考考試大綱修訂內容》（以下簡稱《修訂》）中明確提出要增加數學文化[4]。顯而易見，數學的文化價值不容忽視。筆者查閱近幾年相關高考命題融入數學文化的研究發現，大部分研究要么選取某一年的高考題為對象，分析其試題中如何融入數學文化[5-8]，要么從一道高考題出發，深入分析相關數學知識的演變與發展[9]，缺乏橫向的系統研究，以及高考命題中融入數學文化的特點、規律及其趨勢的研究。為此，筆者選取了融入數學文化的社會層面和情感層面的高考題進行了研究并提出了幾點建議，希望為我國后續高考試題命制提供一些幫助。

一、研究對象

研究范圍為2016—2020年各省市（地區）所有版本的高考試卷共73套，其中2016年19套，2017年15套，2018年、2019年和2020年各13套。

根據上述界定，筆者從73套高考卷試題中篩選出了蘊含數學文化社會層面與情感層面的試題共29道作為最終的研究對象。

二、分析與結論

（一）社會層面

1.總體趨勢。（1）試題數量逐年增多。在2016—2020年間融入數學文化的29道高考題中，蘊含數學文化社會層面的試題占絕大多數，共26道，試題數量統計如圖1所示。雖然自2016年起，全國每年高考卷版本越來越少，但是從圖1可以看出，蘊含數學文化社會層面的試題數量由2016年的3道往后逐年增多，雖然在2019年稍有減少，但是整體仍呈上升趨勢。盡管未達到每一版本高考卷中均有設置數學文化試題的程度，仍然有越來越多版本的高考卷積極回應《修訂》中提出的增加數學文化的要求。（2）試題融入數學文化社會層面的維度趨于多元化。數學文化的社會層面包含三個子維度：數學知識及其變化、發展;民俗數學;數學與其他學科的關系。據此，筆者對近五年蘊含數學文化社會層面的26道高考題進行了梳理（見圖2和圖3）。

在近五年來融入數學文化社會層面的高考題中，有關數學知識的變化與發展的相關命題始終保有一定的熱度。從圖2可以看出，每一年均有相關高考題通過體現數學知識的變化發展來滲透數學文化。從圖3可以更清晰地看出，近兩年來，其熱度有所降低。與此同時，體現數學與其他學科聯系的相關數學文化命題熱度驟升。更值得注意的是，自2019年來，民俗數學首次出現在數學文化社會層面的命題維度中，并且熱度不減。這表明，近年來數學高考命題越來越注重考查蘊含多元文化的數學，注重把數學與中華優秀傳統文化相結合，以便更好地體現數學的人文價值。

2.命題特點。（1）體現數學知識的變化與發展。在26道體現數學文化社會層面的高考題中，有12道是以數學知識的變化與發展為背景，并且多為選擇題和填空題（見表1）。

由數據分析可以看出，近五年高考題中出現數學文化較多的是代數，其次是幾何。以下筆者用一道體現立體幾何變化發展的高考題來分析其如何融入數學文化。

體現立體幾何的變化發展——阿基米德墓碑圖案的高考題如下：

（2017年江蘇卷 6）如圖4，在圓柱[O1O2]內有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱[O1O2]的體積為[V1]，球的體積為[V2]，則[V1V2]的值是_________。

分析：這道題從表面上看是用立體幾何體積公式求比例，實際上，如果學生清楚阿基米德墓碑上所刻圖形的文化背景及阿基米德的相關偉大發現，問題就迎刃而解了。阿基米德墓的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等。阿基米德的偉大發現就是圖中圓柱的體積是球體積的3/2，圓柱的表面積也是球表面積的3/2。此高考題的數學文化背景即為阿基米德碑文所刻的圖形，了解文化背景，即可知答案為3/2。此題較為獨特，隱性考查了立體幾何相關知識的演變與發展。

（2）體現數學與其他學科的聯系。在26道體現數學文化社會層面的高考題中，有9道是關于數學與其他學科聯系的，如表2所示。以下筆者用一道體現數學與建筑學聯系的相關高考題來分析其如何融入數學文化。

（2018年全國Ⅲ卷 文3 理3）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖5中木構件右邊的小長方體是榫頭。若如圖5擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（? ）。

分析：此題主要考查數學三視圖相關知識，重點考查學生直觀想象素養。然而題目并非直奔主題，而是以中國古代建筑結構中木構件的連接為背景，闡述了建筑學中的相關概念，巧妙地把數學三視圖相關知識融入其中進行考查。學生在提升自身核心素養的同時，又能領會數學在建筑學中的廣泛應用及古代建筑工匠的智慧，進一步體會數學與建筑學千絲萬縷的聯系。

（3）體現民俗數學。筆者分析近五年數學文化社會層面的高考題，有5道試題體現了民俗數學，整理如下表3：

體現民俗數學——金石文化中的數學高考試題如下：

（2019年全國Ⅱ卷 理16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（如圖6）。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美。圖6是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1。則該半正多面體共有__________個面，其棱長為__________ 。

分析：此題主要考查考生對半正多面體概念的理解，試題并沒有直接給出半正多面體的概念，而是從中國古代金石文化說起，將半正多面體從印信文化中抽象出來，體現了半正多面體在中國古代印信文化中的產生與呈現。這表明當時的金石文化極大程度地融入了數學元素。此題是將民俗數學融入試題的典型案例。

（二）情感層面

1.總體趨勢。在近五年的29道數學文化高考題中，涉及數學文化情感層面的試題數量較少，共3道，其中2017年1道，2019年2道，如圖7所示。

數學文化的情感層面即數學美。從每一年的試題數量來看，涉及數學文化情感層面的試題并未呈現出明顯的上升或下降趨勢，僅在2017年及2019年偶有出現。由此可見，數學文化的情感層面并不是近年來高考題融入數學文化的命題熱點。

2.命題特點。筆者把近五年涉及數學文化情感層面的高考題整理如下表4。試題分別體現了數學對稱美與和諧美。

體現數學美之和諧美的高考試題如下：

（2019年全國Ⅰ卷 理4）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是[5-12]（[5-12≈]0.618，稱為黃金分割比），著名的“斷臂維納斯”便是如此，此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是[5-12]。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，其身高可能是（? ）。

A.165 cm?????? ????????????????????? B.175 cm?????? ???????????? C.185 cm?????? ???????????? D.190 cm

分析：此題在形式上雖然較為簡單，借助比例關系即可求解。但是命題者把試題放在古希臘時期，人們以擁有“黃金分割比”的人體為美的背景下，還例舉古希臘時期的斷臂維納斯雕像。在數學中，“黃金分割比”雖然只是一個比例關系，但是在許多藝術作品和建筑設計中都有廣泛的應用。“黃金分割比”體現了數學的和諧之美。

三、啟示

筆者通過以上研究認為，未來的數學高考命題從數學文化角度需要思考如下兩個問題。

（一）注重與其他學科之間的深度融合

在近五年的數學文化高考題中，體現數學文化社會層面的試題多以數學知識的變化發展為背景，著重考查學生對相關數學知識的掌握情況，對學生綜合能力的評價考核存在一定的局限性。近年來，核心素養已成為新時代培育全面發展人才的終極目標，是思維品質、關鍵能力及情感、態度與價值觀的有機整合，具有極高的綜合性。這就需要教學評價方式也要隨之由單一化評價轉為多元化評價。而基于STEAM理念下的數學與其他學科之間的整合，使數學不再僅僅是數學，可以在很大程度上提升評價考核的綜合性、科學性與整體性[10]。因此，數學文化視域下，融入數學與其他學科的聯系的試題更加值得被提倡，從而把數學文化與核心素養的評價有機整合，相互交融。

例如，2020年全國Ⅲ卷文4理4的高考試題表述如下：Logistic模型是常用的數學模型之一，可應用于流行病學領域，有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數[I（t）]（[t]的單位：天）的Logistic模型：[I（t）=K1+e-0.23（t-53）]，其中[K]為最大確診病例數。當[I（t*）=] 0.95時，標志著已初步遏制疫情，則[t*]約為多少（ln19[≈]3）。此題描述了Logistic數學模型應用于流行病學調查研究的案例，試題本身不僅把數學與流行病學的聯系作為情境呈現，也關注數學模型在流行病學領域的應用。學生在解題的過程中，能夠在認識數學知識與其他學科有廣泛聯系的同時，領悟用數學的思維去思考和解決實際問題，從而感受數學學科真正的意義。這種深度體現數學文化中數學與其他學科聯系的高考題，在后續高考題的命制中值得被提倡與保留，這樣才能更好地體現數學的學科價值。

（二）體現更多的數學語言美、簡潔美

經研究發現，在近五年體現數學文化的高考題中，體現數學美的試題是少之又少。《考試大綱》中已明確把體會數學的美學含義作為考查學生個性品質的基本要求之一[3]。因此，體現數學美的高考題理應被重視。此外，在為數不多的體現數學美的高考題中，從數學的對稱美角度出發設計的相關考題居多。顯然，這對于數學美的理解過于片面。除了對稱美以外，數學美還包括數學的語言美、簡潔美、和諧美、辯證美等。眾所周知，數學符號具有高度的抽象性、表達的精準性和邏輯的嚴謹性。這就使數學語言不同于其他語言，它的表達形式獨具一格。也正是因為數學語言的特性，使之具有統一、簡潔、和諧的美學特征。因此，筆者建議在后續命題中，命題者還應把目光聚焦于數學語言之美。

筆者對上文提到的“2019年全國Ⅰ卷理4”高考題關于“黃金分割比”的數學表達進行分析，原題采用了大家最熟悉的數學語言，將其表達為[5-12]。[5-12]作為一個數學表達式，是學生在數學學科學習中習以為常的數學語言，并常常被當作數字來看待。實際上黃金分割比[（φ）]還可以用諸如此類的數學語言來表達：

[φ=11+11+11+…]或[φ=1+1+1+1+…]

如果在題目表述的適當位置，在不增加試題難度的前提下，把上述的數學語言表達作為數學文化背景來處理，會給人以超脫慣性思維的形式美感。學生在答題過程中，會驚嘆于數學語言的奇妙精美之處，體會數學語言的美學含義。數學之美無處不在，數學的語言美是數學的本質美之一。由于高考是一種具有激勵和引導功能的評價方式，因此，命題者在后續高考題的命制中，仍需開拓創新融入數學文化的方式、方法，引導學生學會用數學語言表達世界，使數學肩負理性精神的同時，不斷彰顯其獨有的人文魅力。

[參 考 文 獻]

[1]金美月，李暢.數學文化內涵探析[C].大連：數學文化進課堂：意義、路徑與展望國際論壇，2019：1-2.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：10-83.

[3]中華人民共和國教育部考試中心.2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱[EB/OL].（2019-01-31）[2020-06-06].http：//gaokao.neea.edu.cn/html1/report/19012/5786-1.html.

[4]中華人民共和國教育部考試中心.2017年普通高考考試大綱修訂內容[EB/OL].（2016-10-10）[2020-06-06].https：//gaokao.chsi.com.cn/gkxx/zc/moe/201610/20161010/1559590536.html.

[5]張暢暢.數學文化在高考真題中的滲透：以2019年高考真題為例[J].數學學習與研究，2020（8）：3-5.

[6]張金傳.數學文化的六種常見高考題型及教學策略：以2018年高考試題為例[J].中國數學教育（高中版），2019（10）：49-53.

[7]王國學.2017年數學文化高考題賞析及教學建議[J].高中數學教與學，2018（2）：42-44.

[8]倉萬林，史嘉.隨風潛入“卷” 潤“題”細無聲：談湖北高考題的文化韻味及教學建議[J].數學通報，2015，54（6）：46-50.

[9]馬進才.從一道“卡西尼卵形線”高考題看“數學文化”[J].中學數學研究（華南師范大學）：上半月，2017（7）：44-46.

[10]袁磊.核心素養視域下STEAM教育的課堂教學變革[J].中國電化教育，2019（11）：99-103.

（責任編輯：趙曉梅）

作者簡介：王 悅（1995—），女，遼寧沈陽人，遼寧師范大學數學學院碩士研究生，研究方向：數學比較教育研究;金美月（1968—），女，黑龍江佳木斯人，遼寧師范大學教授，博士，研究方向：比較數學教育及教師教育研究。