基于Clough-Penzien譜的粘彈性耗能結構地震響應的簡明解析解法

鄒萬杰　姜琰　張夢丹　葛新廣

摘 要：對粘彈性耗能結構基于Clough-Penzien（C-P）譜的隨機地震動響應提出新的簡明解.首先，基于C-P譜的濾波方程，將復雜的地震激勵精確轉化成簡明的白噪聲激勵，并重構粘彈性耗能結構的地震動方程.然后，利用復模態方法將結構的響應協方差精確統一表示為白噪聲協方差的二重積分，基于白噪聲協方差的特點給出了響應的協方差、功率譜及0—2階譜矩的簡明解析表達式.通過算例說明了本文方法的應用，并通過與虛擬激勵法進行對比分析，驗證了本文方法的正確性及簡潔性.本文方法適用于具有濾波方程的復雜隨機激勵下的線性結構的動力響應分析.

關鍵詞：粘彈性耗能結構;地震響應;簡明解析解;Clough-Penzien譜;譜矩

中圖分類號：TU318????????? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.02.001

0??? 引言

地震動是有明顯特征的隨機過程，根據地震動統計信息與時間的關聯性，分為平穩隨機激勵和非平穩隨機激勵.其中，平穩隨機激勵是研究非平穩激勵下隨機振動的基礎[1-2]，其相對于非平穩隨機激勵而言，模型更為簡單，在實際工程中應用較為廣泛.平穩激勵模型主要有理想白噪聲模型[3]、Kanai-Tajimi模型[4-5]、Clough-Penizien模型[6]、歐進萍模型[7]等.由美國學者Clough和Penzien提出的Clough-Penizien模型，其優點是利用兩個線性濾波器，過濾掉超低頻率處的激勵，改善了Kanai-Tajimi模型過分夸大低頻能量的缺點，受到了工程技術人員的廣泛關注[8-9].李創第等[8]利用復模態法研究了基礎隔震結構基于C-P譜的地震動響應分析，但所得方差表達式較為復雜.李春祥等[9]利用傳遞函數法研究了MTMD結構基于Kanai-Tajimi或C-P譜的地震動響應功率譜分析，但結構響應的方差為功率譜密度函數的數值積分，積分精度和效率受積分區間和積分步長的制約.

粘彈性耗能結構作為被動控制的一種有效方式，得到了廣泛的研究和工程應用[10-12].粘彈性耗能減震結構地震動響應分析的方法主要有頻域法和時域法[10-14].頻域法的突出優點是結構響應功率譜與地震激勵功率譜之間有直接代數關系，傳遞函數法[1，11]和虛擬激勵法[2，14]是其典型代表，但頻域法獲得結構響應的方差和譜矩需要數值積分，分析精度和效率受積分步長和積分區間影響較大.時域法是利用結構響應的協方差表示為結構脈沖函數與激勵協方差的二重積分，因此，該方法應用的前提：一是結構要有協方差且表達式越簡潔越容易獲得解;二是結構體系要有脈沖函數.粘彈性本構關系有積分型和微分型[12]，當為積分型時，利用傳遞函數法或者虛擬激勵法分析較為方便;當為微分型時，采用時域法較為簡單.目前大部分研究粘彈性阻尼器耗能結構的地震動響應分析，均為2種方法單獨應用.鄒萬杰等[13]研究Maxwell粘彈性阻尼器基于Kanai-Tajimi激勵下的地震動響應的簡明解析解，該文首次利用復雜地震動激勵的濾波方程和粘彈性阻尼器的微分型本構關系，聯合運用時域法和頻域法將結構響應的協方差、功率譜和譜矩表示成耗能結構一階系統振動特征值的線性組合，且結構響應的方差和譜矩均為簡明形式的解析解.

本文以文獻[13]所提出的方法為基準，研究 Kelvin型粘彈性阻尼器基于C-P譜激勵下的地震動響應分析.首先，利用Clough-Penizien譜濾波方程組與結構地震動方程聯立;運用復模態法將結構的相對位移、相對速度表示成白噪聲激勵的一階微分表達式;借助結構響應的一階微分表達式與白噪聲激勵的簡明關系，獲得結構響應的協方差的簡明解析解;最后利用一階微分振子的協方差與功率譜的簡明關系，獲得結構可靠度分析的譜矩的簡明解析解.

5??? 結論

本文針對傳統方法分析基于C-P譜激勵下粘彈性耗能結構地震動響應比較復雜的情況，提出利用C-P濾波方程、粘彈性微分型本構關系與結構運動方程聯合求解的方法，結論如下：

1）將C-P譜的濾波方程、粘彈性微分型本構關系及結構的地震動方程聯立，從而使C-P譜隨機地震動精確轉換為基于白噪聲激勵的運動;其次，利用復模態法解耦振動系統，同時考慮白噪聲激勵的特點，從時域法角度獲得結構協方差的簡明解析解;最后基于Wiener-Khinchin關系獲得結構響應功率譜的二次正交型，為獲得結構響應0—2階譜矩的簡明解析解奠定基礎.因此，本文方法本質上是時域法和頻域法聯合應用的成果.

2）本文方法適用于本構關系為微分型的粘彈性阻尼器，但由于積分型可以化為微分型，本文方法可以廣泛應用于粘彈性阻尼器的動力響應分析.

3）本文方法適用于各類具有濾波方程的復雜隨機地震動激勵下線性結構地震動響應分析.

參考文獻

[1]???? 方同. 工程隨機振動[M].北京：國防工業出版社，1995.

[2]???? 林家浩. 隨機振動的虛擬激勵法[M].北京：科學出版社，2004.

[3]???? HOUSNER G W. Characteristics of strong motion earthquakes[J]. BSSA，1947，37：19-31.

[4]???? KANAI K. An empirical formula for the spectrum of strong earthquake motions[J]. Bulletin of Earthquake Research Institute ， University of Tokyo，1961：86-95.

[5]???? TAJIMI H. A statistical method of determining the maximum response of a building structure during an earthquake[C]//Proceeding of Second World Conference on Earthquake Engineering（WCEE）.Tokyo，Japan，1960，2：781-798.

[6]???? CLOUGH R W，PENZIEN J. Dynamics of structures[M].2nd ed.New York：McGraw Hill，1993.

[7]???? 歐進萍，牛荻濤，杜修力.設計用隨機地震動的模型及其參數確定[J]. 地震工程與工程振動，1991，11（3）：45-54.

[8]???? 李創第，丁曉華， 陳俊忠，等. 基礎隔震結構基于Clough-Penzien譜隨機地震響應分析的復模態法[J]. 振動與沖擊，2006，25（5）：162-165，199.

[9]???? 李春祥，熊學玉. 基于Kanai-Tajimi/Clough-Penzien模型時MTMD的動力特性[J]. 振動與沖擊，2002，21（4）：39-43.

[10]?? 鄒萬杰，馬金鳳，李創第，等. 一般粘彈性阻尼減震結構的隨機響應分析[J]. 廣西大學學報（自然科學版），2018，43（5）：1885-1894.

[11]?? 李創第，丁昊， 葛新廣. 基于傳遞函數法的單自由粘彈性減震整體系統隨機響應分析[J]. 廣西科技大學學報，2017，28（3）：16-25，51.

[12]?? 周云. 粘彈性阻尼減震結構設計[M]. 武漢：武漢理工大學出版社，2006.

[13]?? 鄒萬杰，鄔麗霞，李創第，等.基于Kanai-Tajimi譜的單自由度廣義Maxwell耗能結構響應及譜矩解法[J].廣西科技大學學報，2020，31（2）：17-24.

[14]?? 李創第，柏大煉，葛新廣，等. 基于C-P譜分析設置支撐的廣義Maxwell阻尼器系統完全非平穩地震響應[J]. 桂林理工大學學報，2018，38（3）：480-487.

Simple analytical method of earthquake response of viscoelastic

energy dissipation structure based on Clough-Penzien spectrum

ZOU Wanjie， JIANG Yan， ZHANG Mengdan， GE Xinguang*

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： A new concise solution is proposed for the random seismic response of viscoelastic energy dissipation structures based on Clough-Penzien （C-P） spectrum. Firstly， based on the filtering equation of C-P spectrum， the complex seismic excitation is accurately transformed into the concise white noise excitation， and the ground motion equation of viscoelastic energy dissipation structure is reconstructed. Then， the complex mode method is used to express the response covariance of the structure as the??? double integral of the white noise covariance. Based on the characteristics of the white noise?????????????? covariance， the concise analytical expressions of the response covariance， power spectrum and 0-2????? order spectral moment are given. The application of this method is illustrated by an example， and the?correctness and simplicity of this method are verified by comparing with the virtual excitation method. This method is suitable for the dynamic response analysis of linear structures under complex random excitation with filtering equations.

Key words： viscoelastic energy dissipation structure; seismic response; concise analytic solution; Clough - Penzien spectrum; spectral moment

（責任編輯：羅小芬、黎?? 婭）

收稿日期：2020-06-05

基金項目：國家自然科學基金項目（51468005）;廣西科技大學研究生教育創新計劃項目（GKYC202010）;廣西科技基地和人才專項

（桂科AD19110152）資助.

作者簡介：鄒萬杰，博士，副教授，研究方向：結構抗風抗震及振動控制.

通信作者：葛新廣，在讀博士，講師，研究方向：結構抗震、抗風，E-mail：gxgzlr.2008@163.com.