巧構“輔助圓”，妙解“最值”問題

文 殷 娟

許多同學在圓的學習中都會通過添加垂線段、連半徑、連直徑等進行解題，但在解決一些較難問題時，上述方法就起不了多少作用。而有時在圖形中構造圓能獲得意想不到的效果。下面就以幾道例題和同學們一起分析如何用“輔助圓”來求解“最值”問題。

一、折疊問題中的輔助圓

例1（2019·江蘇宜興一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D是BC邊上的三等分點，BD=2CD，E為AB邊上一動點。將△DBE沿DE折疊到△DB′E的位置，連接AB′，則線段AB′的最小值是____。

圖1

【解析】△DBE在折疊的過程中，滿足DB=DB′，即點B′始終是在以點D為圓心，DB長為半徑的圓上運動（如圖2）。點A是圓外一點，由圖1 可以看到AB′要取到最小值，則點A、B′、D必須共線。在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得，則AB′的最小值為AD-DB′。

圖2

【總結】折疊圖形有“共端點、等線段”的特征，滿足圓的定義。利用這一特征構造“輔助圓”，再利用“兩點之間，線段最短”的原理便能很快找到對應線段的最值。

二、直角三角形中的輔助圓

例2（2017·江蘇江陰一模）如圖3，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面內一點，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍為____。

圖3

【解析】由∠APB為“直角”這個特征，聯想到90°角所對的弦是直徑，可以構造經過A、B、P三點的⊙M（如圖4），半徑為1。點P在⊙M上運動，PC的長度也隨之不斷變化。我們在運動中不難發現PC所在的直線經過圓心M時，可以取到最大或最小值。圖4 中，；圖5 中，PCmax=MC+MP。

圖4

圖5

【總結】直角三角形中，“定斜邊、動直角頂點”的特征，滿足90°的圓周角所對的弦是直徑。以定斜邊為直徑構造圓能解決線段的最值問題。

三、定弦、定角中的輔助圓

例3（2020·江蘇蘇州工業園區一模）如圖6，點D是等邊△ABC內一點，且∠BDC=120°，則的最小值是________。

【解析】∠BDC=120°，BC為等邊△ABC的一條邊，如圖7 可以構造經過B、D、C三點的⊙O。要求的值，從結構上來看，我們多半采用相似三角形中對應線段的比值來進行轉化求解。延長AD與圓相交于點E，連BE（如圖8），易知△ABD∽△AEB，故即。如圖9 可知，當BE為直徑時，在Rt△ABE中易求得。

圖7

圖8

圖9

【總結】“定角、定線段”的結構特征可以與圓中“定角、定弦長”聯系起來。

很多幾何問題雖然看上去與圓無關，但是我們如果能結合條件補作“輔助圓”，便可使一些“最值”問題化繁為簡，化難為易。