一“線”生“機(jī)”

文 許 頤

不少同學(xué)在解有關(guān)“圓”的綜合題時(shí)往往思路不清，不是找不到方法，就是方法煩瑣。而解決的關(guān)鍵還是在于對基本性質(zhì)、基本定理、基本圖形的熟練掌握，一些難度較大的問題，往往還需要構(gòu)造輔助線來牽線搭橋。下面我們就以2020年浙江省杭州市的中考題為例，分析一下如何抓住基本圖形找到解題的突破口。

例如圖1，已知AC、BD為⊙O的兩條直徑，連接AB、BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF。

圖1

（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC=30°，求線段EF的長。

（2）連接BF、DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，

①求證：PE=PF。

②若DF=EF，求∠BAC的度數(shù)。

【分析】（1）根據(jù)條件可知△OBC為等邊三角形，且F為OC中點(diǎn)，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可求出EF。

【分析】（2）①本題要證明PF=PE，可以考慮證明△OEF是等腰三角形，利用三線合一證得結(jié)論，但此方法沒有了（1）中的條件，無法證得，故考慮其他方法。如果我們抓住F為OC中點(diǎn)、OE∥BC這兩個(gè)結(jié)論，那么可以過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，交OB于點(diǎn)H，連接EH，利用相似形得出一組對邊相等，再結(jié)合這組對邊平行，從而證明四邊形OEHF是平行四邊形，便可得出結(jié)論。

圖2

（2）①證明：過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，交OB于點(diǎn)H，連接EH。

∵∠FGA=∠ABC=90°，

【思考】（1）中求EF的長也可以用（2）中的輔助線，構(gòu)造直角三角形求線段長是常用思路之一，且為解決問題（2）提供了輔助線的作法。以下是問題（1）的另一種解法。

【分析】（2）②證明PE=PF后，易發(fā)現(xiàn)FE=FB這一結(jié)論，結(jié)合FD=FE，證得FD=FB，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)推出FO⊥BD，最后得出△AOB是等腰直角三角形即可解決問題。

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了綜合題的特點(diǎn)。其難點(diǎn)是添加合適的輔助線，突破口在于對相似基本形的熟練掌握。

【方法總結(jié)】輔助線的作用是將分散的條件加以集中，構(gòu)造出“基本形”，簡單來說就是“補(bǔ)形”。“形”指基本性質(zhì)和定理中的基本圖形。本題中就出現(xiàn)多個(gè)“基本形”（如下圖）。等腰三角形中作高，遇到直角三角形斜邊中點(diǎn)連中線，三角形中已知n分點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似基本形，這些常用輔助線都需要我們熟練掌握。

圖3

圖4

圖5