圓中易錯點分析

文 耿恒考（特級教師）

“圓”是初中數學的重要內容之一，也是許多同學學習的難點。由于對“圓”的認識、理解和掌握難度較大，因此，同學們在學習中應及時匯總自己的常錯問題，精心選擇有代表性的題目，通過細心分析歸納來化解難點。

一、忽略了點與圓的不同位置關系

例1平面內有一個⊙O和一點P，若點P到⊙O上的點的最大距離為8cm，最小距離為2cm，求⊙O的半徑長。

【錯因分析】對于這個問題，同學們更多的關注點在“點到圓上的最大距離和最小距離”上，無暇顧及點與圓的不同位置關系，往往只會考慮點P在圓外的一種情況，而忽略了點P在圓內的情形。

【正確解答】當點P在⊙O外時（如圖1），直線PO交⊙O于點A、B，點P到⊙O上的點的最大距離PB=8cm，最小距離PA=2cm，所以⊙O的半徑r=3cm；當點P在⊙O內時（如圖2），直線PO交⊙O于點A、B，點P到⊙O上的點的最大距離PB=8cm，最小距離PA=2cm，所以⊙O的半徑r=5cm。

圖1

圖2

二、忽略了一條弦所對的弧有兩條、所對的圓周角有兩組

例2如圖3，AB是直徑為8cm 的⊙O的一條弦，如果AB=4cm，那么弦AB所對的弧長為______，弦AB所對的圓周角為______°。

圖3

【錯因分析】同學們關注較多的是劣弧，往往忽略一條弦所對的弧有兩條，且兩條弧的和為一個圓周長；一條弦所對的圓周角有兩組，且它們是互補關系。

【正確解答】⊙O中弦AB所對的劣弧長為，弦AB所對的優弧長為。⊙O中弦AB所對的圓周角為30°或150°。

三、忽略了弦與圓心的不同位置關系

例3已知，內直徑為100cm 的下水管道的橫截面是圓，截面圓中水面的寬度為80cm，求管道內水面的深度。

【錯因分析】同學們的思維常將水面定位于圓心的下方（如圖4），忽視了水面在圓心上方的情形（如圖5）。

【正確解答】如圖4、圖5，過點O作OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，則AC=BC=40cm。連接OA，根據勾股定理，得OC=。

圖4

圖5

當水面在圓心O的下方時，管道內水面的深度為50-30=20（cm）；

當水面在圓心O的上方時，管道內水面的深度為50+30=80（cm）。

例4已知，線段AB、CD是半徑為5cm的⊙O中的兩條弦，且AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求兩條弦AB、CD之間的距離。

【錯因分析】對于這類問題，同學們習慣于關注兩條平行弦在圓心同側，忽略了兩條平行弦在圓心異側的情形，導致漏解。

【正確解答】如圖6、圖7，過點O作OE⊥AB，垂足為點E，交CD于點F，則OF⊥CD，則AE=3cm，CF=4cm。連接OA、OC，根據勾股定理，得3（cm）。

圖6

圖7

當平行弦AB、CD在圓心O的同側時，弦AB、CD之間的距離為4-3=1（cm）；

當平行弦AB、CD在圓心O的異側時，弦AB、CD之間的距離為4+3=7（cm）。

四、忽略了圓的軸對稱性質

例5已知⊙O的半徑為5cm，AB為直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CD=6，求AC的長。

【錯因分析】對于這個問題，根據題意，同學們習慣于畫出圖8，而忽略了與之對稱的圖9。

圖8

【正確解答】如圖8，連接AC、OC。根據勾股定理，得OE=4cm，AE=5-4=1（cm）。在Rt△AEC中，由勾股定理得。如圖9，連接AC、OC。根據勾股定理，得OE=4cm，AE=5+4=9（cm）。在Rt△AEC中，由勾股定理，得。

圖9

本題也可以通過連接AC、OC、BC，利用相似三角形或射影定理來解決。