巧用直徑，妙解圓的綜合題

文 趙宏敏

圓的直徑具有以下性質：直徑是圓中最長的弦，直徑所在的直線是圓的對稱軸，直徑所對的圓周角是直角。我們在解與圓的直徑有關的題型時，要注意利用好直徑的這些性質。

一、利用直徑求最值

例1如圖1，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D 是線段BC 上的一個動點。以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于點E、F，連接EF，則線段EF 長度的最小值為______。

圖1

【分析】連接OE、OF，作OM⊥EF于點M，作AN⊥BC于點N。根據圓周角定理得到∠EOF=120°，再計算出，則OE最小時，EF的長度最小，此時圓的直徑的長度最小。利用垂線段最短得到AD的長度最小值為AN的長，接著計算出AN=，從而得到OE的最小值為，最后確定EF長度的最小值。

解：連接OE、OF，作OM⊥EF于點M，作AN⊥BC于點N，如圖2。

圖2

二、利用直徑求線段長

例2如圖3，點A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC，垂足為E。若∠ADC=30°，AE=1，則BC的長為（ ）。

圖3

【分析】連接OC，根據圓周角定理求得∠AOC=60°，則在Rt△COE中，可得OE=，得 到OC=2，從 而 得 到CE=，最后根據垂徑定理得到BC的長。

解：連接OC，如圖4。

圖4

三、利用直徑判斷線段之間的關系

例3如圖5，在△ABC中，∠B=90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB。

圖5

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）連接DE，若∠A=30°，求。

【分析】（1）連接OE，證明OE∥BC，得∠AEO=∠B=90°，即可得出結論；

（2）連接DE，先證明△ECB∽△DCE，得出，易證∠ACB=60°，由角平分線定義得，由此即可得出的值。

（1）證明：連接OE，如圖6。

圖6

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE。

又∵OE=OC，

∴∠ACE=∠OEC，

∴∠BCE=∠OEC，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠B。

∵∠B=90°，

∴∠AEO=90°，

即OE⊥AE。

∵OE為⊙O的半徑，

∴AE是⊙O的切線。

（2）解：連接DE，如圖7。

圖7

直徑是圓的重要特征之一，可以確定圓的大小，計算圓的周長和面積，也可以構造直角三角形。因此，我們可以根據題意將要求的線段、角度、線段之比等轉化到直角三角形中，然后利用勾股定理或相似三角形求解。