深挖教材例、習(xí)題價(jià)值

文 楊春霞

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，由于受課堂時(shí)間的限制，對(duì)于教材上的經(jīng)典例題、習(xí)題，我們可能只是掌握了題目呈現(xiàn)形態(tài)下的解題思路，而在課后遇到類似的問(wèn)題，卻會(huì)感覺(jué)很陌生。下面介紹命題人常用的三種“法寶”，同學(xué)們可以借助這些“法寶”自己嘗試變式。

一、強(qiáng)化條件再探究

“強(qiáng)化”能體現(xiàn)從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。通過(guò)強(qiáng)化條件，我們可以發(fā)現(xiàn)原有問(wèn)題的結(jié)論會(huì)不斷地發(fā)生變化，借助強(qiáng)化條件與原有條件的關(guān)系可以形成更多、更具體的結(jié)論。

例1（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第82 頁(yè)例5）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)A′、B′、C′、D′分別在AB、BC、CD、DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′。

求證：四邊形A′B′C′D′是正方形。

【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以四條邊相等、四個(gè)角是直角。又有AA′=BB′=CC′=DD′，所以用四條相等的邊去分別減這些相等的線段，就得到BA′=CB′=DC′=AD′。結(jié)合四個(gè)角是直角，就能證明所分得的四個(gè)直角三角形全等，從而得到四邊形A′B′C′D′是菱形的結(jié)論。再選擇一對(duì)全等的直角三角形Rt△A′AD′≌Rt△B′BA′，得到∠AA′D′=∠A′B′B。因?yàn)椤螦′B′B+∠B′A′B=90°，所以∠AA′D′+∠B′A′B=90°，則∠D′A′B′=90°，這樣就證得了四邊形A′B′C′D′是正方形。

從原題的證明思路中我們可以發(fā)現(xiàn)，原題是從線段的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，借助三角形全等得到需證圖形的四邊數(shù)量關(guān)系。這里的AA′=BB′=CC′=DD′，只說(shuō)明數(shù)量相等，沒(méi)有指明具體的AA′長(zhǎng)度，也就是說(shuō)點(diǎn)A′、B′、C′、D′在原正方形ABCD四邊上具有一般性。如果確定AA′與AB的數(shù)量關(guān)系，是否可以得到不一樣的結(jié)論呢？我們可以通過(guò)“強(qiáng)化”條件得到下面的變式題。

已知：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)A′、B′、C′、D′分別在AB、BC、CD、DA上，且AA′=。

圖1

求證：四邊形A′B′C′D′的面積是正方形ABCD面積的。

變式題沒(méi)有改變?cè)}中AA′=BB′=CC′=DD′的條件，但增加了線段與正方形邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，因此可以先借助勾股定理表示出，再借助圖形相似性質(zhì)得到小正方形與原正方形的面積比為。

二、弱化條件要分類

“強(qiáng)化”條件可以在原有結(jié)論基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)由“強(qiáng)化”條件所得出的新結(jié)論，而“弱化”條件則往往需要進(jìn)行分類解答。

例2（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第69 頁(yè)例3）已知：如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF。

圖2

求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

【分析】這道題所提供的條件是“在?ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF”。我們可以連接BD，由?ABCD對(duì)角線互相平分得到AO=CO，BO=DO。因?yàn)槊鞔_點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF，所以EO=FO，再根據(jù)平行四邊形的判定定理證明四邊形EBFD是平行四邊形。此處對(duì)于“點(diǎn)E、F在AC上”，如果“弱化”條件，我們可以進(jìn)行如下變式：

在?ABCD中，點(diǎn)E、F在直線AC上，且AE=CF。試判斷四邊形EBFD是不是平行四邊形。

這里因?yàn)椤包c(diǎn)E、F在直線AC上”，相對(duì)于原題“E、F在AC上”有所弱化，因此存在以下幾種情況：

從圖中可以直觀判斷出圖4 和圖5 均不能判斷四邊形EBFD是平行四邊形；而圖3則類似原題，借助連接對(duì)角線這一輔助線來(lái)證明。變式是由于點(diǎn)E、F所在位置條件的弱化導(dǎo)致了圖形的不確定，因而產(chǎn)生分類的必要性。這里判斷是不是平行四邊形也存在“證實(shí)”與“證偽”的理解。證實(shí)，我們往往是借助嚴(yán)格的推理進(jìn)行證明；證偽，我們可以通過(guò)舉反例這一方法來(lái)說(shuō)明。

圖3

圖4

圖5

三、互逆條件論真假

命題存在真假，需要證實(shí)或證偽；命題也存在互逆。我們?cè)趯W(xué)習(xí)命題知識(shí)時(shí)知道，并不是所有真命題的逆命題一定是真的，因此，對(duì)題目進(jìn)行的另一種主要變式就是交換條件和結(jié)論，探究逆命題的真與假。

例3（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第75 頁(yè)例1）已知：如圖6，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=2AB。

圖6

求證：△AOB是等邊三角形。

【分析】這道題以矩形為基礎(chǔ)，借助對(duì)角線AC與AB的數(shù)量關(guān)系，來(lái)探究對(duì)角線相交后所形成的△AOB是否為等邊三角形。此處利用矩形對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)可以得出AC=BD=2AO=2BO，結(jié)合條件AC=2AB，我們就能得到AO=BO=AB，從而判斷△AOB是等邊三角形。原題中的條件有兩個(gè)，一個(gè)是AC=2AB，另一個(gè)是矩形；結(jié)論是△AOB是等邊三角形。我們可以嘗試將結(jié)論△AOB是等邊三角形分別與其中一個(gè)條件交換，得到一個(gè)新的問(wèn)題。如：

已知：如圖7，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形。

圖7

求證：AC=2AB。

【分析】變式后已知△AOB是等邊三角形，得到AO=BO=AB。由矩形對(duì)角線互相平分且相等，可以得出AC=BD=2AO=2BO，所以AC=2AB。

那么大家想一想，如果將例3 的另一個(gè)條件與結(jié)論互換，我們可以得到什么樣的命題呢？

已知：如圖8，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=2AB，△AOB是等邊三角形。試判斷四邊形ABCD是否為矩形。

圖8

判斷這個(gè)命題是否成立，我們不妨舉圖8的反例來(lái)說(shuō)明四邊形ABCD未必是矩形。

同學(xué)們，我們?cè)诿鎸?duì)做過(guò)的數(shù)學(xué)題，尤其是教材中的例題和習(xí)題時(shí)，如果利用以上三種方式進(jìn)行變式，那么書(shū)就能被我們讀厚實(shí)起來(lái)；如果我們能看到眾多習(xí)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，解決時(shí)再借助通法切入，此時(shí)眾多的習(xí)題則又可以歸為“一題”，書(shū)也就被我們讀“薄”了。