動(dòng)中覓靜 靜中探解
——四邊形中動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

文 謝麗麗

近幾年，命題者常以四邊形為背景，滲透點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并對(duì)此點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中產(chǎn)生的等量、變量、圖形間的關(guān)系進(jìn)行考查。下面結(jié)合例題對(duì)四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行剖析，供同學(xué)們參考。

一、動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的分段函數(shù)

例1如圖1，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BE-D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s。現(xiàn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng) 時(shí) 間 為x（s），△BPQ的 面 積 為y（cm2），若y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2 所示，則矩形的面積是（ ）。

圖1

A.96cm2B.84cm2

C.72cm2D.56cm2

【分析】我們先初步了解整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程，由于兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相同，那么可以厘清其中的三種情形：點(diǎn)P在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P在線段ED上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P在線段ED上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在點(diǎn)C處靜止。明確三種情形的臨界狀態(tài)，再結(jié)合圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分析，化動(dòng)為靜，便可將面積轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)求解。

解：從函數(shù)的圖像和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程可以得出，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，x=10，y=30。過點(diǎn)E作EH⊥BC，如圖3。

圖3

在Rt△BAE中，由勾股定理，得AE=8。

由圖2知，當(dāng)x=14時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，即DE=14-10=4，

∴AD=AE+DE=8+4=12，

∴矩形的面積為12×6=72（cm2）。

故選C。

二、動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的圖形

例2如圖4，在矩形ABCD中，AB=1，，P為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為 。

圖4

【分析】已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段AD，因此，只需再確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡即可。由軸對(duì)稱得BQ=BA，而點(diǎn)B是定點(diǎn)，BA的長(zhǎng)為定值1，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，其圓心角可結(jié)合已知數(shù)據(jù)求得。那么圖5中的陰影面積即為所求，再利用分割法可求得面積。

解：∵線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱，

∴BQ=BA=1，△ABP≌△QBP。

∵點(diǎn)B是定點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心的圓弧。

如圖5，陰影部分即為當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過的圖形。

圖5

三、動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最值

例3如圖6，在?ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得DF，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造?EFGC，連接EG，求EG的最小值。

圖6

【分析】點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)帶來?EFGC的運(yùn)動(dòng)。?EFGC中邊的長(zhǎng)度在變，但我們要抓住變化過程中不變的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，如EF=CG，EF∥CG。又由DF=。記CD與EG的交點(diǎn)是點(diǎn)O，由△DOE∽△COG，得。此時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為求線段EO長(zhǎng)的最小值，即求兩條平行線AB、CD之間的距離。

圖7

四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題綜合性強(qiáng)，常與圓、三角形等幾何知識(shí)以及方程、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容結(jié)合，要求較高。我們要抓住動(dòng)點(diǎn)變化過程中不變的量，關(guān)注特殊四邊形本身的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，必要時(shí)結(jié)合特殊狀態(tài)或?qū)⑾嚓P(guān)線段代數(shù)化，通過動(dòng)的現(xiàn)象尋覓靜的本質(zhì)，從動(dòng)靜間的轉(zhuǎn)化出發(fā)剖析問題，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)問題靜態(tài)化，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決。