平分土地是難事？

文 黃 韋

在日常生活和工作中，很多時候需要將幾何圖形的面積等分。今天我們就來欣賞這樣一個等分平行四邊形面積的故事。

喀什素有“絲路明珠”之美譽(yù)，自然風(fēng)光秀麗壯美，各式美食令人流連忘返。一天，阿凡提騎著毛驢去喀什旅游。他來到一個村莊，一位老人家正在為兩個兒子分土地的事情犯愁。他家土地的形狀是一個平行四邊形（如圖1），地里還有一口井（用點P表示）。兄弟倆想平分這塊土地，并且都需要用井水澆地。但是那口井并不在土地中間。兩個兒子因為分地的事情鬧得不可開交，正當(dāng)二人僵持不下的時候，有人給他們出主意說：“既然我們都分不了這塊地，不如請阿凡提先生來幫你們解決，他肯定有辦法。”于是，兄弟倆將事情的原委告訴阿凡提，并請阿凡提幫忙分地。只見阿凡提沉吟片刻，說道：“你們按照我的方法，一定能平分這塊地，并且那口井你們兩個人都可以使用。”

圖1

圖2

圖3

圖4

原來，阿凡提將水井與土地的四角分別相連（如圖2），將地分成四塊，每個人拿面對面的兩塊。這樣，兩個人就可以拿到一樣多的土地。

這個故事很有趣，看似簡單，但其中蘊(yùn)含著豐富的幾何知識。

我們可以用平行四邊形的相關(guān)知識對這一方法加以證明。

證明：如圖3，過點P作PH⊥CD于點H，延長HP交AB于點G，則PG⊥AB，連接PA、PB、PC、PD。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC。

兄弟倆起初對阿凡提的分法很滿意，可是沒過多久，兩個人又吵起來了。因為自己的兩塊土地并不連在一起，而是散落在兩個地方，和別人的土地混在一起。這樣分散的小塊土地，自然不利于耕種，兩兄弟都希望自己的土地更集中。于是老大又找來阿凡提幫忙，“聰明的阿凡提先生，我們想讓自己的土地集中在一起，你還能想出其他的分法嗎？”阿凡提思考片刻，讓兄弟兩人到地里畫出這塊地的對角線，然后將其交點與井口位置相連并延長，如圖4，從而得到了兩塊面積相等的土地。眾人看到，紛紛贊嘆阿凡提智慧過人。同樣，我們可以用平行四邊形的相關(guān)知識對這一方法加以證明。

證明：如圖4，連接AC、BD交于點O，連接OP，延長PO交AB于點M，延長OP交CD于點N。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AB=CD。

易得△BMO≌△DNO，

∴S△BMO=S△DNO，

∴S四邊形BMNC=S△BCD＋S△BMO-S△DNO=S△BCD。

易得△BCD≌△DAB，

∴S△BCD=S△DAB，

平行四邊形是中心對稱圖形。根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過對稱中心的任意一條直線都能把它分成兩個全等形。所以經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分。我們可以利用這個結(jié)論，解決一些圖形面積的等分問題。

馕作為新疆歷史悠久的特色食品，一直深受大眾喜愛，維吾爾族的烤馕設(shè)備最主要是馕坑。兄弟倆計劃在土地的一側(cè)建造一座長方形的馕坑EFGH（如圖5）。如果不考慮水井的因素，你能幫助兄弟倆平分土地嗎？

圖5

圖6

根據(jù)剛才得到的結(jié)論，我們可以分別畫出這塊地和馕坑的對角線，然后將兩個交點M、N相連并延長（如圖6），這樣，我們就可以將剩余的土地分成面積相等的兩部分。親愛的同學(xué)們，你們想明白了嗎？