小游戲引出大道理

文 陸余慶

圖形的平移、旋轉和翻折是幾何中最基本的三種變換，它們都不會改變圖形的形狀和大小，自然界中許多圖案的設計靈感都是來源于此。其中，由旋轉這一變換提出了中心對稱圖形的概念，進而介紹了一種特殊的中心對稱圖形，即平行四邊形。其實，這一內容的背后可有著許多有趣的數學故事和思想方法，同學們，你們知道多少呢？

先看這樣一則小游戲：甲乙兩人輪流往一張圓桌面上放一枚五分硬幣且不能重疊，誰放完一枚以后而使得對方無法往桌面上放硬幣時，誰就是勝利者。如果甲先放，有沒有穩操勝券的策略？請大家先獨立思考，試著找到必勝的策略。事實上，如果甲先在圓心處放上一枚硬幣（如圖1），占據主要地位，那么之后無論乙把硬幣放于何處，甲只要在乙所放位置關于中心點對稱的位置上放上另一枚硬幣就可以了（如圖2）。我們知道，只要乙有可放硬幣的地方，那么甲就總是可以找到與之對稱的另一位置，如此，甲必勝。其實，這一游戲還可推廣到一般的情形，可將圓桌換成平行四邊形、正六邊形或其他任意的中心對稱圖形，則甲仍有先手優勢。制勝策略正是借助中心對稱圖形的特征，將實際問題抽象成數學問題，轉化為在中心對稱圖形中依次取點的問題。從特殊到一般的思想方法在解決問題的過程中是非常常見的，除此之外，通過逆向思維，再回到最特殊的情形，往往也能更快得出答案。例如，上述游戲中，不妨將圓桌取為最極端的情況——一個點，顯然誰先放硬幣誰就取勝，先手優勢不言自明。

圖1

圖2

此外，中心對稱圖形還在分形這一數學理論中占有一席之地哦！分形通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質。分形理論是芒德勃羅提出來的，分形原意具有不規則、支離破碎等意義。自然界中存在著許多分形現象，如花椰菜、凍豆腐、磁鐵等，而人造的分形現象若和中心對稱圖形結合起來，則會碰撞出另一種火花。比如，科赫雪花曲線就是中心對稱圖形（如圖3），局部放大后的圖形仍和本體的形狀是相似的。它是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的。它的面積是，其中s是原來三角形的邊長。這一幾何圖形的周長無限大，但面積卻是有限的。想不到外形獨特美麗的它還有如此有趣的結論。同學們，你能嘗試著設計出分形現象中的中心對稱圖形嗎？

圖3