“熟悉的陌生人”：巧作垂直妙解題

文 沈 莉

每年的中考題花樣繁多，抽絲剝繭、仔細研究后，我們可以發現，有一些問題不過是“最熟悉的陌生人”，它們的基本模型是一樣的，解決方式也是一樣的。下面以2019年的一道中考題為例，一起來揭開這層面紗。

例1（2019·山東棗莊）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D。如圖1，點E、F分別在AB、AC上，且∠EDF=90°，求證：BE=AF。

圖1

【分析】本題當然可以利用等腰直角三角形的圖形特點，通過AD=BD，∠B=∠DAC，∠BDE=∠ADF，證 出△BDE≌△ADF，最終得到BE=AF。

如果對教材比較熟悉的話，我們就會想起另一種證法。蘇科版數學教材八年級上冊第59頁第11題，是一個實驗操作題：畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC。

（1）將三角尺的直角頂點落在射線OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊OA、OB分別交于點E、F（如圖2）。度量PE、PF的長度，那么這兩條線段相等嗎？

（2）將三角尺繞著點P旋轉（如圖3），PE與PF相等嗎？

圖2

圖3

圖4

圖5

【分析】通過第一問的鋪墊和角平分線的引導，很自然地想到過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足為M、N（如圖4），所以∠PME=∠PNF=90°，∠MPE=∠FPN，再利用角平分線定理可得PM=PN，證得△PEM≌△PFN，即可得出結論PE=PF。

【方法歸納】在整個三角尺的旋轉變化過程中，積極尋找其中的不變量：正方形PMON。利用其邊PM始終與PN相等，構造出Rt△PEM和Rt△PFN，利用全等解決問題。

因此，回到2019年山東省棗莊市的中考題，我們便可以利用教材上的方法：如圖5，過點D作DG⊥AB，DH⊥AC，通過證明△DGE≌△DHF，即可得出結論DE=DF，BE=AF。

此類問題都是利用了等腰直角三角形的性質，因此，我們可以將背景進行變化。

【變式1】如圖6，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉，在這個過程中，OE等于OF嗎？

圖6

圖7

【分析】我們同樣只要過點O作OG⊥BC，OH⊥DC，如圖7。通過證明△OGE≌△OHF，就能得到OE=OF。

【變式2】如圖8，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，對角線AC與BD相交于點O，將三角尺的直角頂點落在O點，使三角尺的兩條直角邊與BC交于點E，與DC交于點F，求OE與OF的比值。

圖8

圖9

【變式3】如圖10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，將三角尺的直角頂點落在P點，使三角尺的兩條直角邊與AB交于點E，與BC交于點F，當AP=2PC時，求PE與PF的比值。

圖10

【分析】可以通過一樣的處理方式去添加輔助線，得到比值為