“相等”與“垂直”，緊緊兩相依

文 鄭小嬌

正方形是特殊的平行四邊形，通過它特殊的性質，我們可以發現很多有趣的結論。

【基本問題1】如圖1，在正方形ABCD中，若點E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M，那么AE與BF相等嗎？

圖1

圖2

圖3

【分析】由正方形ABCD，得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°。∵AE⊥BF，∴∠FBE＋∠AEB=90°，∴∠FBE=∠BAE，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF。

【變式】如圖2，在正方形ABCD中，若點E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足為M，那么GE與HF相等嗎？

【分析】過點A作GE的平行線交BC于點E′，過點B作HF的平行線交CD于點F′，如圖3，則問題轉化為【基本問題1】。

【基本問題2】如圖1，在正方形ABCD中，若點E、F分別在BC、CD上，且AE=BF，那么AE⊥BF嗎？

【分析】由正方形ABCD，得AB=BC。又AE=BF，∠ABC=∠C=90°，∴Rt△ABE≌Rt△BCF。∴∠BAE=∠FBC，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴AE⊥BF。

【變式】如圖2，在正方形ABCD中，若點E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且HF=GE（AG＜BE，DF＜AH），那么HF⊥GE嗎？

【分析】過點A作GE的平行線交BC于點E′，過點B作HF的平行線交CD于點F′，則問題轉化為【基本問題2】。

【總結】如圖1，在正方形ABCD中，由AE=BF可 得AE⊥BF，由AE⊥BF可得AE=BF。由此，在解決其他問題時，就可以將“AE=BF”與“AE⊥BF”通過△ABE≌△BCF聯系起來，由此為突破口，從而找到解決問題的方法。若將“AE=BF”替換成“BE=CF”，“BE=CF”與“AE⊥BF”亦可通過△ABE≌△BCF聯系起來。

下面我們運用這兩個基本原理解決相應的問題。

【運用1】如圖4，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在BC、CD上，AE=BF，AE與BF相交于點M。

（1）若AE=5，點H為AF的中點，連接MH，則MH的長為________。

（2）當點E在BC邊上運動時，CM的最小值為 。

圖4

圖5

【運用2】如圖6，在正方形ABCD中，若點E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF。

（1）四邊形ECFM與△ABM的面積相等嗎？說明理由。

（2）若AB=5，陰影部分的面積與正方形的面積之比為4∶5，求△ABM的周長。

圖6

【分析】（1）由【基本問題1】可得△ABE≌△BCF，則△ABE與△BCF面積相等，又∵S四邊形ECFM=S△BCF-S△BME，S△ABM=S△ABES△BME，∴S四邊形ECFM=S△ABM。