橋式起重機主梁多工況拓撲優化設計研究

朱 強，劉嘉星

（鄭州大學機械工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

橋式起重機是國內普遍使用的生產建設用機械產品，作為其主要承載構件，主梁結構自重占據了橋架整體總重量相當大的比例。在保證結構使用安全與穩定的前提下，適當降低主梁重量能夠有效節約企業的生產成本和鋼鐵資源。偏軌箱型梁具有焊接變形小，制造裝配工藝簡單，易于使用機器人實施自動化焊接等特點[1]，是目前國內主流起重機生產廠商的首選主梁結構。

現階段多數有關橋式起重機主梁結構拓撲優化研究中，通常選擇忽略其余非主要工況，把小車滿載時位于主梁最危險位置—跨中作為唯一載荷工況，計算出主梁的拓撲優化結構。文獻[2]在最大靜力工況下對主梁腹板進行拓撲優化，并得到了邊界較為清晰明確的結果，但未考慮主梁的多工況問題。文獻[3]利用變密度法對鑄造起重機主梁腹板嘗試進行拓撲優化，設計出一種類似三角形桁架的新型主梁腹板結構。

在實際作業中，起重機主梁為多工況工作狀態，即隨著小車承載位置的移動，主梁的受載情況也就隨之改變。徐中明[4]進行了某太陽能賽車轉向節的多目標拓撲優化，合理減重并顯著提高了其一階振動頻率和靜態剛度。文獻[5]建立了多目標等權重的拓撲目標函數對副車架進行了多工況拓撲優化，優化后改善了受力情況，降低了重量。

現選取橋式起重機偏軌箱型主梁為研究對象，嘗試對主梁進行多工況拓撲優化，依據拓撲優化結果對主梁進行模型重構，隨后進行剛度、強度和穩定性等方面的有限元分析以驗證主梁多工況拓撲優化結構設計的合理性。

2 起重機主梁有限元靜力學分析

現選取國內某起重機廠商生產的橋式起重機偏軌箱型主梁為研究對象，跨度25.5m，工作級別A5，額定起重量50t，主梁結構材料為Q235，主梁其余參數，如表1 所示。

表1 主梁參數表Tab.1 Girder Parameter Table

2.1 起重機主梁建模

根據表1 參數利用CAD 繪圖軟件，建立該橋式起重機偏軌箱型主梁幾何模型，如圖1 所示。

圖1 偏軌箱型主梁幾何模型Fig.1 Geometric Model of 50t Bias-Rail Box Girder

2.2 基于極限狀態法的載荷與極限應力計算

根據《起重機設計手冊》規定，在起重機室內正常工作狀態下，無約束滿載起升物品，由額定起重量和工作級別等已知條件查表可知主梁按照載荷組合A 計算組合載荷，主要計算載荷有自重載荷和起升載荷。

2.2.1 自重載荷PG根據極限狀態設計法，單根主梁自重可由下式計算得到：

式中：γPA1—自重載荷的分項系數，查表取為1.16；?1—起升沖擊

系數，取1.05；mG—主梁自重質量；g—重力加速度9.8m/s2；γn—高危險度系數，高危險情況下取為1。

2.2.2 滿載時的起升載荷PQ與小車計算輪壓

當物品滿載無約束起升離地時，此時主梁受到的載荷為起升載荷PQ。

式中：γPA2—起升載荷的分項系數，查表取為1.22；?2—起升動載荷系數，取1.078；mQ—額定起重量；g—重力加速度9.8m/s2；γn—高危險度系數，高危險情況下取為1。

滿載小車與主梁方軌相接觸，起升載荷表現為方軌上的小車輪壓[6]，起升載荷分布區域在方軌上表面的一小矩形面積a1b1內，b1是軌道底寬，有關軌道壓力區長a1的計算如下：

2.3 主梁有限元分析前處理

約束主梁左側端面所有節點UX、UY、UZ 方向的移動自由度，約束右側端面所有節點UY 方向。其中UX 為小車移動方向，UY 為鉛錘方向，UZ 為另一水平方向。

根據起重機手冊[7]確定以下三種危險工況來進行計算：

工況（1）：當滿載小車位于主梁中間位置時，主梁上產生最大正應力；

工況（2）：當滿載小車位于左（右）端部極限位置時，主梁上產生最大剪應力；

工況（3）：當小車位于左（右）1/4 跨度處，主梁上產生的正應力、剪應力均比較大。

針對小車在主梁上這三種不同危險位置分別建立三種工況，載荷類型選為Pressure，方向為Y 方向向下，作用于起重機軌道上表面矩形壓力區內，壓力大小即為小車計算輪壓。在Hypermesh 中使用aotomesh 工具劃分網格后對少量質量差的部分網格進行修改，并再次檢查確認網格質量全部合格，其中：起重機主梁方軌的單元類型為PSolid 六面體單元，大小為25mm，共計15872 個；主梁的單元類型為PShell 殼單元，大小為50mm，共計44490 個；按照Q235 鋼相關特性設置單元材料屬性；由于工程制造時主梁與起重機軌道通常焊接在一起，所以把方軌與主梁做接觸處理，選擇主梁上翼緣板上表面為主接觸面，方軌下表面為從接觸面，接觸類型為Freeze。

2.4 查看結果

主梁前處理模型經OptiStruct 求解器有限元分析后，得到的各工況下von Mises 應力與垂直靜撓度結果匯總，如表2 所示。

表2 優化前主梁的von Mises 應力與垂直靜撓度Tab.2 von Mises Stress and Vertical Static Displacement of the Girder Before Optimization

分析后處理結果，可以發現工況（1）下von Mises 應力最大，最大von Mises 應力出現在上翼緣板與非軌側腹板跨中連接處附近，如圖2 所示。工況（1）下垂直靜撓度最大，出現在跨中截面上，如圖3 所示。這三種工況下最大von Mises 應力與最大垂直靜撓度均遠小于許用值，說明主梁鋼材料未達到最優分布，因此有必要采用拓撲優化方法來去除主梁上一部分材料以達到減重節能的效果。

圖2 最大von Mises 應力Fig.2 Maximum von Mises Stress

圖3 最大垂直靜撓度Fig.3 Maximum Vertical Static Displacement

3 起重機主梁多工況拓撲優化

3.1 多工況拓撲優化數學模型

使用SIMP 密度-剛度插值模型[8]構建的結構材料密度與彈性模量之間的聯系用以下公式建立：

式中：E0—材料初始彈性模量；p—懲罰因子；xi—單元材料密度變量；xmin—單元材料密度略大于零的極小值。

從目前的連續體拓撲優化研究來看，同一個結構的拓撲優化結果會隨著該結構受力情況的改變而改變，如結構所受力的大小、位置、時間等，因此根據結構受力的不同，需要建立不同的載荷工況，從而得到不同的拓撲優化結果（即目標函數）。此外，主梁結構的剛度特性對起重機整體工作具有非常重要的影響，主梁結構優化問題多以提升主梁剛度為主，因此通常將剛度最大化的拓撲優化問題轉化為應變能（柔度）最小化的問題。這里建立以體積分數為主要約束，三種工況對應的三個結構最小應變能為目標函數，利用數學折衷規劃法[9]將這些目標函數轉化為一個聯合目標函數再進行拓撲優化計算，從而得到滿足多工況的起重機主梁拓撲結果。多工況應變能（柔度）最小化的主梁拓撲優化數學模型表示為如下形式：■

3.2 OptiStruct 軟件實現方法

式中：C1、C2、C3—工況（1），工況（2）和工況（3）對應的應變能變量。

表3 各工況下主梁優化前后的應變能Tab.3 Compliance Values Before and After Optimization of Girder Under Various Working Conditions

由于OptiStruct 采用的是SIMP 變密度法，為避免最后的結果出現一些數值不穩定現象，需要更改以下拓撲優化參數：（1）為避免結果出現棋盤格現象，需要在opti control 面板里調整默認懲罰因子，增大其值至3；（2）考慮結構的可加工制造性，同時為避免結果出現過于纖細的結構，需要在topology 面板parameters 選項下為2 個設計變量分別增加成員尺寸控制。

3.3 主梁多工況拓撲優化設計

檢查確認無誤后將主梁拓撲優化模型提交OptiStruct 求解器進行求解，經過75 次迭代后拓撲結果收斂，優化后的軌側、非軌側腹板結構，如圖4 所示。

圖4 優化后腹板結構Fig.4 Optimized Web Structure

由圖4 可以看到偏軌箱型主梁軌側腹板作為主要承力結構，因而材料保留較多，拓撲結果為多孔結構，跨中位置出現一個梯形孔洞；非軌側腹板作為非主要承力結構，因而去除的材料較多，出現了類似桁架式的傾斜式支撐結構。為改善重構后應力狀況，在修改重構模型時，腹板結構上在相鄰內部隔板間對稱保留2 個正方形孔，邊長約為主梁高度的1/3；還應在結構連接處保留100mm 左右的寬度來便于腹板、內部加強筋和翼緣板之間的焊接；同時為保證主梁穩定性，應除去過于細小和處于腹板邊緣位置的的孔洞結構。最終經過重設計得到的偏軌箱型主梁軌側、非軌側腹板和整個主梁的拓撲結構，如圖5 所示。

圖5 偏軌箱型主梁多工況拓撲結構Fig.5 Bias-Rail Box Girder Multiple Loading Conditions Topology Structure

4 多工況拓撲優化分析與驗證

為保證起重機安全正常工作，起重機主梁應具有足夠強度、剛度、抗失穩屈服能力，這里按照這三個方面來對重構后的偏軌箱型主梁結構進行有限元分析驗證。

屈服分析一般一階屈曲因子最為重要，實際工程中最常發生的也是一階失穩[11]，因此只需提取第一階屈曲因子即可。在Hyperview 中查看主梁多工況拓撲重構模型的后處理結果，得到的各工況下von Mises 應力與垂直靜撓度結果，如表4 所示。各工況下主梁一階屈曲因子，如表5 所示。

表4 拓撲優化后主梁的von Mises 應力與垂直靜撓度Tab.4 von Mises Stress and Vertical Static Displacement of the Girder After Optimization

表5 偏軌箱型主梁拓撲結構各工況下主梁一階屈曲因子Tab.5 von Mises Stress and Vertical Static Displacement of the Girder After Optimization

分析表4 中的數據，可以看到重構設計后的主梁各工況下von Mises 應力與垂直靜撓度均滿足許用值，其中最大垂直靜撓度均發生在跨中截面上，如圖6 所示。跨中附近上翼緣板非軌側、下翼緣板的軌側與兩側開孔圓角處均分布有較大應力，其中最大von Mises 應力出現在跨中兩側開孔下端圓角處，如圖7 所示。

圖6 重構后的最大垂直靜撓度Fig.6 Maximum Vertical Static Displacement After Reconstructed

圖7 重構后的最大von Mises 應力Fig.7 Maximum von Mises Stress After Reconstructed

分析表5 中的數據，可以看到各工況下主梁屈曲系數均大于1，即主梁屈曲的最小臨界載荷大于該結構的最大承載，故可以認為該結構在正常的額定載荷內是安全的，不會發生失穩。

分析主梁拓撲優化.out 文件，在去除主梁軌道的質量后，優化前后的主梁體積與重量的變化情況，如表6 所示。

表6 優化前后的主梁體積與重量Tab.6 Volume and Weight of Girder Before and After Optimization

分析表6 可知，經過拓撲優化并進行重設計后的主梁質量減輕了6.055%，體積減少了9.868%，減重效果較為明顯。

5 結語

（1）利用數學折衷規劃法將多個目標函數轉化為聯合目標函數再進行拓撲優化計算，從而得到滿足多工況的起橋式起重機偏軌箱型主梁拓撲結果。

（2）主梁多工況拓撲優化在模型重構時，改進的腹板結構上在相鄰內部隔板間對稱保留2 個正方形孔，邊長約為主梁高度的1/3，圓角大小以（100～300）mm 為宜，此時滿足主梁結構強度、剛度及穩定性要求；

（3）對主梁采用多工況的拓撲優化設計方法實現了更多角度地考慮優化目標，有效彌補了單一工況下拓撲優化的不足，對主梁的結構創新設計提供一定指導。