基于方向可控濾波器的圖像邊緣檢測算法研究

陳彥軍，楊致遠，徐延新

（哈爾濱師范大學 數學科學學院，哈爾濱150025）

0 引 言

目前，用于邊緣檢測的一階、二階算子較多，常見的有Roberts算子，Sobel算子和Laplacian算子等，這些算子本質上是計算圖像的一階或者二階導數，并將局部最大，最小或者零交叉點確定為邊緣點。然而，這些算子通常只有一個方向或者兩個方向，其方向性較差。

雖然可以使用一個算子在不同旋轉方向上的模板，但是算子的方向最多只有8個。一個較好的方法是同時應用幾個方向的濾波器算子，根據組合基本線性濾波器的過濾結果來確定哪個方向的濾波器算子的反應強烈。Freeman和Adelson首先引入了“Steerable（方向可控）濾波器”的概念，該方法將多個基本濾波器線性組合成一族任意方向的濾波器，該濾波器的反應隨方向變化，求出圖像中各點反應最強的方向及其梯度幅度，對其進行閾值分割，從而完成邊緣檢測［1］；Jacob和Unser設計了基于類似Canny準則的最優方向可控濾波器，該濾波器通過考慮信噪比、錯檢和精確定位，可獲得較好的性能［2］。

在對梯度圖像進行閾值分割時，閾值的選取決定檢測到的邊緣點數量，最常使用的是迭代法。Tsai提出一種基于矩恒定原理的閾值確定方法，可以根據需要分別對具有雙峰或多峰的灰度條形圖確定兩個或多個閾值，該方法后來得到了更廣泛的應用［3-6］。

本文首先對方向可控濾波器簡要介紹，之后將其與矩恒定原理組合使用對維納斯雕像圖像進行邊緣檢測。實驗結果表明該方法要略優于其它算子。

1 方向可控濾波器原理

Canny的邊緣檢測算法已經得到了廣泛使用，作為方向可控濾波器的特例，本文用方向可控濾波器原理重新進行解釋。首先，對平滑去噪后的圖像分別計算水平和垂直方向的梯度幅度，若e-（x2+y2）為窗口函數，式（1）和式（2）：

假定邊緣的法線方向為θ，則將水平和垂直方向的梯度算子向該方向投影，得到新的算子，用其對圖像進行卷積。θ的值為θ*時卷積和最大，式（3）。

欲求θ*，對式子（3）右端關于θ求導，并令其為0，式（4）：

對于任意邊緣點，其方向和梯度由式（5）和（6）給出：

以上對Canny算子用方向可控原理重新進行了解釋，對其進行推廣。用一組互相成一定角度的基本濾波器線性組合，構成一個方向可控濾波器，其中每一個基本濾波器有確定的方向，式（7）：

確定一個方向可控濾波器f（r，Φ）的最小基本濾波器數量等于等式（8）的非0參數a n（r）的數量。使用形式（9）：

其中，g（x，y）是各向同性的窗口函數；M是方向可控基本濾波器的序數；αki是第k i項的系數。h（x，y）在任意方向的模板為h（Rθx），這里x＝（x，y）＇。Rθ是方向矩陣，式（10）。

信號f（x，y）與任意旋轉后的模板h（Rθx）的卷積可以表示為式（11）：

函數f k，i（x，y）是信號f（x，y）與g k，i（x，y）卷積的結果，式（12）：

方向權重b k，i（θ）由式（13）給出：

這里S（k，j，i）是集合（14）：

得到f k，i（x，y）之后，就可以通過關于θ的三角多項式對f（x）*h（Rθx）的最大值及方向進行有效估值［2］。 在圖像用基本濾波器卷積后，任意方向的濾波器反應可以表示為式（15）：

其中，hθ是濾波器h（x，y）的方向可控模板，q0，…，q M可以由基濾波器與系數αk，i得到。 等式（15）是一個僅關于變量θ的函數。因此在f*hθ的局部最大和局部最小值處有式（16）：

將得到的多個角度值代入式（15），θ*令f*hθ的值最大，式（17）：

使用方向可控濾波器進行邊緣檢測的流程圖如圖1所示。輸入圖像先與基本濾波器分別進行卷積，其結果再與對應的方向系數分別相乘，并將相乘結果相加求和，最后得到自適應過濾結果。

圖1 方向可控自適應濾波器流程圖Fig.1 Flow chart of steerable adaptive filter

2 邊緣檢測

為了確定邊緣檢測的最優方向可控濾波器，需要確定等式（9）中各向同性窗口函數g（x，y），系數αk i以及方向可控濾波器的次數M。 關于各向同性函數，本文選擇高斯函數，式（18）：

由于該最優定位方法基于不確定性原理，系數αk i可以通過參考的類Canny最優準則得到。如果選擇的理想陡峭邊緣模型為式（19）：

最大化最優準則的濾波器作為邊緣特征提取的最優濾波器。另外，本文所以選擇使用高次的方向可控濾波器，是因為其具有較好的方向選擇性和更多的自由度。

本文設計了一個關于高斯函數二階導數的方向可控基本濾波器集合，最多需要3個基本函數，由于插值函數存在式（20）的關系：

令θ1＝0°，θ2＝60°，θ3＝120°，由式（20）解得，

使用3次多項式，利用最小二乘法，擬合可以獲得滿意的近似水平（誤差僅為總信號能量的1%），用H2表示擬合結果。

對于多數的方向可控濾波器，x，y并不是分離的，這樣會花費較高的計算代價，因此本文使用xy分離濾波器，即將所有的基本濾波器寫成關于x，y的多項式形式。由于基本濾波器的數量及運算復雜性隨次數M增加，作為在計算復雜性和檢測精度之間的折中，本文選擇M＝3，則有：

用其對圖像信號進行卷積，式（21）：

其中，

對式子（21）右端關于θ求一階導數，并令其為0。

使用包含最少基本濾波器的二階擬合x-y分離濾波器，該方向可控濾波器可表示為式（22）：

其中，

3 實驗結果

圖2 （a）為一幅背景較暗的圖，圖2（b）為方向可控濾波器過濾的梯度圖，圖2（c）為使用Canny算子及一個閾值進行邊緣檢測的結果，而圖2（d）為使用方向可控濾波器檢測邊緣，并使用基于矩恒定原理得到的兩個閾值分割圖像的結果；圖3（a）為另外一幅格雷碼結構光投影圖像，圖3（b）為使用Canny算子及默認閾值的檢測結果，圖3（c）為使用所提出的策略進行邊緣檢測的結果，在錯漏檢方面，其效果明顯優于使用Canny算子及默認閾值的邊緣檢測方法。

從時間代價上看，在Intel（R）Pentium（R）Dual CPU T2390 1.86GHz 782MHz 1.00GB計算機上，使用Canny算子對一幅尺寸為1200×1600大小圖像進行邊緣檢測所花費的時間為5.712 1 s，而對同一幅圖像使用方向可控濾波器進行邊緣檢測所花費的時間為6.812 2 s，時間僅多花費19.26%。

圖2 基于矩恒定原理邊緣檢測Fig.2 Moment invariance principle based edge detection

圖3 基于方向可控濾波器及矩恒定原理邊緣檢測Fig.3 Steerable filter and moment invariance principle based edge detection

4 結束語

在對圖像進行邊緣檢測方面，本文提出了一種新的策略，將方向可控濾波器與基于慣性恒定原理確定閾值方法結合進行邊緣檢測。方向可控濾波器具有較好的方向選擇性和計算高效性。基于理想陡峭邊緣模型，本文使用類Canny準則的高次方向可控濾波器。為了抑制噪聲在邊緣檢測之前使用了一個自適應中值濾波器。非最大抑制和雙閾值處理方法的引入保證了獲取最大的邊緣長度，同時可以有效地消除非邊緣點，使用基于慣性恒定原理獲取的閾值更加準確。實驗結果表明，在時間花費增加不到20%的前提下，使用所提出的策略進行邊緣檢測可得到更好效果。