熱彌散對地埋管換熱器全尺度傳熱的影響

李曉宇，徐宏陽，代敏，蔡姍姍

（華中科技大學能源與動力工程學院，湖北武漢430074）

引 言

地埋管換熱器是土壤源地源熱泵系統的重要組成部分，地埋管換熱器可與地下含水層直接接觸而進行熱交換；地下含水層的熱物性參數(如有效熱導率、比熱容)、滲流流速、孔隙率、熱彌散度等，均對地埋管的換熱過程及其周圍土壤體的溫度場分布有直接影響[1]。開展地源熱泵系統所在地下含水層區域的傳熱分析是優化地埋管換熱器設計的重要環節，對地源熱泵系統性能的評估尤為重要[2-3]。

熱彌散是多孔介質一種特有的換熱現象，是由于多孔介質孔隙內速度脈動，引起熱量的平均化，從而導致換熱的增強。該現象的存在，使多孔介質中的傳熱和流動表現出很多獨有的復雜特點，即出現彌散效應[4]。地下含水層熱彌散效應產生的熱彌散換熱可使含水層多孔介質的傳熱得到明顯強化[5]，特別是當流速較高時。熱彌散的傳熱效果不僅受地下含水層土壤物性影響，還與土壤中的水流速和水流通量密切相關[6]。熱彌散效應的存在，使地源熱泵地埋管換熱器的熱量傳輸途徑[7]包括熱傳導、熱對流和熱彌散，可顯著強化地埋管換熱器與地下含水層間的換熱，尤其在近鉆孔區域[8]。

對于熱彌散效應的研究，Park等[9]進行推拉實驗，測試含水層的熱彌散度，并將實測數據與三維地下水流動和傳熱數值模擬結果進行比較，闡述了熱彌散在地下水熱泵系統設計中的重要性。Hidalgo等[10]根據含水層滲流和傳熱理論以及地埋管換熱器傳熱模型，構建地埋管群所在地下含水層的三維非穩態對流-熱彌散傳熱數值模型，利用數值模擬方法，探究含水層熱彌散效應對地埋管群傳熱性能的影響。研究表明，隨含水層熱彌散度的提高，鉆孔群的熱影響范圍以該鉆孔群為中心并呈現出對稱擴散的傳熱特征，熱彌散有效增強了鉆孔群的換熱效率。鄧鼎興[11]基于相同滲流速度及不同熱彌散度運行工況，分析地埋管換熱器傳熱過程，發現熱彌散作用越強，換熱器周圍土壤的熱堆積效應相對越弱，其換熱能力越強。與不考慮熱彌散效應(αL=0)的運行工況相比，當熱彌散度αL為0.5、1和5 m時，單位負荷下地埋管換熱器的換熱量分別增大了12.01%、17.93%、31.87%。

熱彌散效應引起的熱彌散傳熱量，與熱彌散度和熱彌散系數相關。熱彌散度作為衡量地下含水層熱量遷移速度快慢的參數，受地下含水層的介質種類、孔隙率等參數影響[12]。熱彌散系數是單位溫度梯度下通過單位多孔介質截面的熱量，表征多孔介質熱彌散換熱的強弱；熱彌散系數是與多孔介質的結構、流體的滲流速度和物理化學性質、熱彌散度、粒子平均直徑有關的復雜參數。熱彌散度多是采用已有研究的經驗值，或是通過實驗方法獲取。倪龍[8]通過測定不同粒徑松散巖石的熱彌散度大小，根據測試結果分析溫度和孔隙度對熱彌散度的影響，從而為熱泵工程設計和地下水溫度模擬預測提供了科學依據。Lin等[13-14]將小尺度含水層的機械熱彌散系數實驗應用于對流彌散傳熱過程中，推導了該條件下對流彌散熱量運移的解析解，結合實驗進行驗證，對含水層熱彌散效應進行評估。李世孝等[15-16]根據水平土柱實驗方法，自制長徑比為5∶1水平玻璃圓柱，模擬回灌過程熱量的彌散，以一維砂土熱量運移定解方程為理論依據，依此計算熱動力彌散系數、熱彌散度，并分析熱彌散度在水流回灌過程中的變化特性，優化布井方式以提高熱泵效率。Lu等[17]通過一維水流實驗，研究熱彌散傳熱對飽和土壤傳熱過程的影響，并確定了熱彌散傳熱量與熱彌散度、土壤物性、水分密度密切相關。Rau等[18]在典型的滲流速度工況(Darcy范圍，Peclet數小于2.5)下，裝有飽和沙粒液壓儲罐中，進行了細致的熱彌散傳熱實驗探究，發現地下水在自然流速下，其換熱能力可達到介于熱傳導與熱對流的過渡區，熱彌散傳熱可用熱彌散系數和熱前緣速度的平方描述。

綜上研究，地下含水層的熱彌散效應與地埋管換熱器的傳熱性能密切相關，特定的水文地質地貌特征、適宜的地下含水層物性參數(如孔隙率、熱導率、比熱容、熱彌散系數、Peclet數)以及對應范圍內的地下水滲流速度，可顯著提高地埋管換熱器與周圍土壤的換熱量，削弱地埋管換熱器與周圍土壤換熱量的冷熱堆積，有利于維持土壤熱量的平衡與土壤溫度的穩定。

然而，現階段所提出的地埋管換熱器傳熱模型，大多忽略含水層空間非均質性所引起的熱彌散效應[19-20]。基于含水層熱彌散度的研究[21]，本文將構建滲流影響下地埋管換熱器的非穩態導熱-對流-熱彌散傳熱模型，并分析熱彌散效應對地埋管系統傳熱性能的影響，對于優化地源熱泵設計、減少地源熱泵系統的初始投資具有一定研究價值。

1 基于熱彌散的全尺度傳熱模型構建

1.1 模型理論基礎

目前，對于地埋管換熱器傳熱研究的模型，有忽略鉆孔軸向導熱影響的無限長線熱源(ILS)和無限長柱熱源模型(CLS)[22]；可考慮鉆孔軸向導熱影響的有限長線熱源模型(FLS)[22]；可考慮地下水滲流影響的移動無限長線熱源模型(MILS)和移動有限長線熱源模型(MFLS)[19]；可考慮鉆孔內部結構的復合介質線熱源模型(CMLS)[23]；既考慮地下水流動，又考慮鉆孔軸向導熱影響的全尺度模型(CMLS-MFLS)[24-25]。上述模型用于預測鉆孔壁溫度的G函數如表1所示，模型間的關系如圖1所示。

由圖1的對比可得，忽略鉆孔軸向導熱的ILS模型、MILS模型、CMLS模型適合地埋管換熱器短時間尺度下的傳熱研究；考慮地埋管換熱器軸向導熱影響的FLS模型和MFLS模型，適于地埋管換熱器長時間尺度下的傳熱研究；既考慮鉆孔內部結構所引起的瞬態傳熱過程又考慮鉆孔邊界效應所引起的軸向導熱過程的CMLS-MFLS模型，則同時適用于地埋管換熱器在短、中、長時間尺度下的傳熱研究，即為全時間尺度(簡稱全尺度)傳熱模型。已有研究表明，與其他換熱模型相比，CMLS-MFLS模型對地埋管換熱傳熱過程的預測更為準確、穩定。

表1 用于預測鉆孔壁溫度的G函數Table 1 G functions for predicting the wall temperature of borehole

圖1 地埋管換熱器傳熱模型關系Fig.1 The heat transfer models of borehole heat exchanger

1.2 熱彌散系數模型

彌散系數是與含水層滲流速度、熱彌散度、粒子平均直徑、孔隙率有關的復雜參數，不同模型的計算結果可能會產生較大的差異。在某些假設條件下，如均質地下含水層滲流速度大于1×10-8m/s時，橫向熱彌散系數約是縱向熱彌散系數的0.1倍，可忽略橫向熱彌散系數對傳熱過程的影響[26-27]。適于地下含水層縱向熱彌散研究的熱彌散系數模型有速度一次方模型、含水層滯止熱導率倍數模型、單相滲流模型以及熱彌散附加熱導率模型[28]。前兩個模型適用于宏觀尺度下多孔介質的熱彌散傳熱研究；后兩個模型適于介觀尺度下多孔介質的熱彌散傳熱研究。宏觀尺度模型中，由于速度一次方模型不必根據含水層的實際工況確定熱彌散系數與含水層滯止熱導率的倍數關系，而是根據關系式較為精確地計算含水層的熱彌散系數。速度一次方模型相較于含水層滯止熱導率倍數模型具有更高的準確度，因此，本文將采用速度一次方模型進行地下含水層熱彌散傳熱研究。

熱彌散系數的速度一次方模型如式(7)所示，含水層簡化分析中，一般考慮熱彌散度為只沿著水流方向的縱向熱彌散度，并認為λL與udm(m=1,2)呈正比[29]，實際工程計算中常用m=1，則根據速度一次方模型計算熱彌散系數λL為：

式中，λL為縱向熱彌散系數，W/(m·K)。αL含水層的縱向熱彌散度，m，對于平均行程距離LD＜305 m的均一含水層，可根據關系式αL=0.1LD，也有研究采用αL=0.05LD的經驗關系式進行計算。Cf為含水層水的容積比熱容，J/(m3·K)；ud為地下水滲流速度，m/s。

忽略垂直于地下水滲流方向的橫向熱彌散系數，含水層的有效熱導率由含水層滯止熱導率和熱彌散系數兩部分組成：

式中，n為含水層的孔隙率，%；Ca為含水層的容積比熱容，J/(m3·K)；Cs為含水層中固體骨架容積比熱容，J/(m3·K)；λf為地下水流的熱導率，W/(m·K)；λs為固體骨架的熱導率，W/(m·K)。

1.3 基于熱彌散的全尺度傳熱模型

根據熱彌散系數計算的速度一次方模型，優化地埋管換熱器全尺度模型CMLS-MFLS，構建滲流影響下基于熱彌散傳熱的地埋管換熱器全時間尺度模型CMLS-MFLSTD。基于該模型可探究地埋管換熱器內的流體溫度響應。CMLS-MFLSTD的G函數方程以及由該方程計算的鉆孔內的流體溫度響應，分別如式(11)和式(13)所示。

實際工程中地埋管換熱器通常是由多個鉆孔構成鉆孔群，鉆孔群的流體溫度響應同樣受地下水含水層的滲流速度和土壤物性影響。以六個鉆孔構成的鉆孔群的研究為例，鉆孔群的立面與平面示意圖如圖2所示。由于鉆孔間距遠大于孔徑長度(B=6 m，rb=0.065 m，B＞＞rb)，可忽略鉆孔內部傳熱對鉆孔群換熱的影響。鉆孔群內流體過余溫度ΔT(t)=Tf(t)-T0的計算如式(14)所示，式（14）表明鉆孔群流體溫度響應隨鉆孔的疊加位置、鉆孔間距、地下水滲流方向的不同而變化。

圖2 鉆孔群的立面（a）與平面（b）示意圖Fig.2 Elevation(a)and plane(b)diagramof borehole group

式中，E1為指數積分函數；Tf表示鉆孔內流體溫度，℃；T0表示土壤初始溫度溫度，℃；Rp表示U型管熱阻，m·K/W；N表示鉆孔數量；——ΔT表示所計算鉆孔的平均溫度響應；rj和φj分別表示第j個鉆孔與疊加位置處的距離和極角。

2 基于熱彌散的全尺度模型的研究和驗證

本文所提出的基于熱彌散的全時間尺度模型的準確度將通過對比模型所預測的單鉆孔U型管內流體溫度響應與二、三維數值模型的模擬結果進行驗證。這里需要注意的是，由于受模擬時間限制，雖然三維數值模型可較好反映地埋管換熱器的空間尺度，但受模擬時間限制，僅可進行短時間尺度下的模型驗證；二維模型雖可進行中長時間尺度下的模型驗證，但受模擬空間限制，即不能完全反映地表與埋管底部的邊界影響，無法進行長時間尺度下的驗證。因此，分別開展短、短中、中長時間尺度下的數值模型驗證模型準確度。驗證過程中，模型中地埋管換熱器的結構及運行參數采用文獻[19-20]中的數據，見表2。

表2 單鉆孔地埋管換熱器運行參數Table 2 Operation parameters of single hole buried pipe heat exchanger

根據表2中地埋管換熱器的運行參數，圖3對比分析了基于單鉆孔、恒定負荷的解析解模型CMLS-MFLSTD，及考慮瞬態導熱-對流邊界和熱彌散效應的三維和二維數值模型。與二維模型相比，三維數值模型可考慮U型管內的流體的對流換熱。如前所述，三維數值模型因其計算時間的限制，只開展了100 min內的短時間尺度驗證。對比結果發現，100 min內，CMLS-MFLSTD模型與三維模型的計算結果偏差小于5%。CMLS-MFLSTD模型與二維模型的模擬結果對比可看出：短時間尺度t＜100 min，二維模型忽略了U型管內流體的對流換熱，其模擬結果略低于CMLS-MFLSTD的結果，兩類模型的計算結果偏差小于3%；短中時間尺度100 min＜t＜5 h，CMLS-MFLSTD模型與二維模型計算結果的偏差在2%以內；中長時間尺度t＞5 h，二維模型計算出的鉆孔流體溫升逐漸高于解析模型的計算結果，直至5000 min，兩類模型的計算結果存在7%的偏差。

圖3 基于熱彌散的解析解模型與數值解模型對比Fig.3 Comparisons between analytical and numerical models considering thermal dispersion

基于以上分析，本文所構建的考慮熱彌散效應的地埋管換熱器全尺度傳熱模型CMLS-MFLSTD較好體現了短、短中、中長時間范圍內的傳熱過程，可用于鉆孔在不同運行工況下的傳熱分析。

3 基于熱彌散的單鉆孔與鉆孔群傳熱研究

3.1 熱彌散全尺度傳熱模型的適用流速范圍

相關研究[30-31]表明，宏觀尺度下熱彌散效應僅在一定流速條件下表現較為明顯。為確定熱彌散全尺度傳熱模型的適用范圍，選取地下水流滲流速度為5×10-9、1×10-8、1×10-7、1×10-6、3×10-6m/s，分別利用熱彌散全尺度模型(CMLS-MFLSTD)和不考慮熱彌散的全尺度模型(CMLS-MFLS)計算恒定單位負荷條件下鉆孔內的流體溫升，通過其差值對比評估熱彌散傳熱影響不可忽略的流速范圍。不同流速下的鉆孔內流體溫升模擬結果如圖4所示（圖中下方的橫坐標Fo為無量綱時間，與上方的橫坐標時間相對應）。由模擬結果分析可知：滲流速度低于1×10-8m/s時，熱彌散傳熱不明顯；滲流速度高于1×10-8m/s時，兩類模型的模擬結果差異隨水流速的增大而增加，在長時間尺度下，熱彌散可使鉆孔內流體進出口平均溫差降低0.78%～37.50%。滲流速度大于1×10-6m/s時，熱彌散換熱量占地埋管換熱器換熱量的主導地位，但實際工程中，地下水滲流速度往往不大幅高于1×10-6m/s的速度。因此，熱彌散傳熱研究的地下水滲流速度范圍確定為1×10-8～1×10-6m/s。

3.2 熱彌散全尺度單鉆孔傳熱的影響因素分析

圖4 單位負荷下兩類模型在不同滲流速度下流體溫升預測曲線Fig.4 The prediction curveof fluid temperature response at different seepage velocity under unit load in two types of model(a)u d=5×10-9 m/s;(b)u d=1×10-8 m/s;(c)u d=1×10-7 m/s;(d)u d=1×10-6 m/s;(e)u d=3×10-6 m/s

取模型的基準參數如下：地下水滲流速度分別為1×10-7、5×10-7、1×10-6m/s，熱彌散度為0.5 m，孔隙率為0.2，依次分析上述參數對單鉆孔傳熱過程的影響。

圖5 不同滲流速度下的流體溫升Fig.5 Temperature response of fluid at different seepage velocities

圖5所示為地下水滲流速度對鉆孔內流體溫度響應的影響。短時間尺度范圍內，Fo＜9，t＜tb≈2.4 h時，因其主要取決于鉆孔內傳熱熱阻，熱彌散帶來的影響較小，不同流速下兩類模型的計算結果并無明顯差別。但相較于低流速，較高的流速下，可觀察到熱彌散使兩類模型出現差異的時間點提前，流體溫度響應更快。中時間尺度范圍內，9＜Fo＜4000,tb＜t＜tH≈150 d時，不同流速下，熱彌散傳熱使地埋管換熱器換熱量增加，流體溫度響應曲線變化變緩。基于熱彌散的CMLS-MFLSTD模型計算出的鉆孔流體溫升曲線呈非線性增長，相比于CMLSMFLS模型增長較為緩慢。主要原因是，隨著流速的增加，兩類模型間的差異逐步變大，在不同滲流速度下，熱彌散使鉆孔內流體進出口平均溫差依次降低0.02、0.06和0.08℃，與不考慮熱彌散工況相比，換熱量依次增加5.52%、17.48%、27.15%；隨著水流速的增加，鉆孔內流體溫升曲線波動更小，也更快趨近于穩態。在長時間尺度范圍內，即Fo＞4000,t＞tH≈150 d，傳熱過程基本進入穩態，熱彌散使不同流速下的流體進出口平均溫差分別降低0.03、0.08和0.10℃，鉆孔的最大換熱量不考慮熱彌散工況相比分別提升6.09%、19.73%和28.01%。

圖6為縱向熱彌散度對鉆孔內流體溫度響應的影響，其影響主要體現在中長時間尺度。中時間尺度范圍內，在低滲流速度下，隨熱彌散度的增加，流體溫度響應曲線變化逐漸增加；而高滲流速度下，隨熱彌散度的增加，流體溫度響應曲線變化逐漸減弱。這表明隨著流速增加，較低的熱彌散度也能起到較好的強化換熱作用。熱彌散度對鉆孔達到穩定傳熱的時間基本無影響。長時間尺度范圍內，可觀察到穩態下流體溫度響應與最大換熱量的變化：當滲流速度為1×10-7m/s時，0.5、1和2 m的熱彌散度將導致鉆孔內流體進出口平均溫差分別降低0.03、0.06、0.10℃，與不考慮熱彌散工況相比鉆孔的最大換熱量分別提升6.09%、11.28%、19.66%；當滲流速度為5×10-7m/s時，0.5、1和2 m的熱彌散度將導致鉆孔內的流體進出口平均溫差分別降低0.08、0.13、0.18℃，與不考慮熱彌散工況相比鉆孔的最大換熱量分別提升19.73%、30.76%、42.91%；當滲流速度為1×10-6m/s時，0.5、1和2 m的熱彌散度將導致鉆孔內的流體進出口平均溫差分別降低0.10、0.14、0.18℃，與不考慮熱彌散工況相比鉆孔的最大換熱量分別提升28.01%、39.45%、49.93%。以上量化對比進一步說明隨著流速的增加，熱彌散傳熱的影響逐步變大，對熱彌散度也更為敏感，但隨著熱彌散度的增高，變化差異逐步降低。

圖6 不同熱彌散度下的流體溫升Fig.6 Temperature response of fluid with different thermal dispersivity

圖7為孔隙率對鉆孔內流體溫度響應的影響。相同滲流速度條件下，孔隙率的變化對到達穩態傳熱的時間基本無影響，但隨著孔隙率的增加，鉆孔內流體溫升逐步增加，與周圍土壤的換熱量降低，這主要是因為在相同流速的情況下，較高的孔隙率意味著較多的土壤顆粒間隙被液態水填充，而液態水的熱導率相較于土壤顆粒的熱導率較低，傳熱能力下降。熱彌散度的影響隨著孔隙率的增加也逐步等比增大，當孔隙率為0.1時，不同熱彌散度的條件下，熱彌散傳熱使單鉆孔內的流體進出口平均溫差分別降低0.03、0.05和0.09℃，與不考慮熱彌散工況相比，對應最大換熱量分別提升5.57%、10.38%和18.26%；而當孔隙率增加為0.4時，熱彌散傳熱使單鉆孔流體進出口平均溫差分別降低0.04、0.08和0.14℃，與不考慮熱彌散工況相比，對應最大換熱量分別提升了7.42%、13.55%和23.13%。由于熱彌散傳熱的存在，CMLS-MFLSTD模型相較于CMLSMFLS模型對孔隙率變化的敏感性降低，當孔隙率由0.1增加為0.4時，不考慮熱彌散影響的換熱量減少5.88%、12.78%和20.98%，而考慮熱彌散影響的換熱量在彌散度為1m時分別減少4.82%、10.33%和16.69%。

3.3 熱彌散全尺度鉆孔群傳熱的影響

參照圖2所示的鉆孔群示意圖構建六個鉆孔所構成的鉆孔群，并根據式(14)鉆孔群內的流體溫度響應方程，分別探究恒定單位負荷下由不同位置疊加的鉆孔群的傳熱特性及規律，開展地下水滲流速度、熱彌散度、孔隙率對鉆孔群的傳熱影響分析。滲流速度對鉆孔群內流體溫度響應的影響如圖8所示。兩類模型的對比結果分析發現，中長時間尺度下，傳熱過程逐步進入穩態，熱彌散對不同位置鉆孔的影響存在差異。相同速度條件下，熱彌散對上游鉆孔傳熱過程的影響最大，隨著流速的增加，熱彌散傳熱占比逐步增加，不同疊加位置間的傳熱差異有所減弱。

圖9為熱彌散度對鉆孔群內的流體溫度響應的影響。通過對相同滲流速度、不同縱向熱彌散度條件下鉆孔群傳熱量的量化對比發現，鉆孔群中不同位置的鉆孔傳熱量隨熱彌散度的增加線性變化，上游位置鉆孔群的傳熱量提升最大，中游次之，下游最小，但隨著熱彌散度的增加，不同位置間的差異逐步趨于穩定。需要注意的是，這里僅分析了低滲流速度下熱彌散度的影響，根據單鉆孔中對不同滲流速度下熱彌散度影響分析可推斷，在較高滲流速度下，本文所給定的熱彌散度對傳熱量的影響不再為線性變化，而是逐步趨于恒定值，有較大影響的熱彌散度將向低數值區間偏移。

圖7 不同孔隙率下的流體溫升Fig.7 Temperature response of fluid with different porosity

圖10為孔隙率對鉆孔群內的流體溫度響應的影響。通過圖中結果的對比結果分析發現：不同位置鉆孔群的穩態傳熱過程隨孔隙率的增加而逐步呈現更大的差異，熱彌散效應可一定程度降低該差異。在相同速度和熱彌散度條件下，孔隙率對上游鉆孔傳熱過程的影響最大，熱彌散效應可減弱因孔隙率的增加、土壤傳熱能力下降對換熱器傳熱產生的不利影響。

3.4 各影響因素敏感性分析

為進一步分析各因素的影響程度，在如3.2節中所述的單鉆孔基準模型，分析各影響參數的相對變化率分別為100%時鉆孔內的流體溫升變化，如圖11所示。當滲流速度、熱彌散度和孔隙率增加為基準值的2倍時，鉆孔內流體溫度的相對變化率分別為23.33%、17.54%和4.90%，即滲流速度對地埋管換熱器傳熱量的影響最大，熱彌散度的影響次之，孔隙率的影響最弱。

4結 論

（1）當滲流速度低于1×10-8m/s時，熱彌散傳熱不明顯；當滲流速度高于1×10-8m/s時，速度的增大使熱彌散效應增強，熱彌散可使恒定負荷下的穩態過程換熱量提升0.78%～37.50%。另考慮實際工程中，地下水滲流速度往往不大幅高于1×10-6m/s，因此，模型所適用的地下水滲流速度范圍為1×10-8～1×10-6m/s。

（2）恒定負荷下，熱彌散效應主要在中長時間尺度下體現，滲流速度、熱彌散度以及孔隙率是影響傳熱過程的主要因素。在所研究的參數范圍內，熱彌散可使鉆孔穩態傳熱量提升5.52%～49.93%。地下水滲流速度和熱彌散度越大，孔隙率越小，熱彌散效應越強。隨著滲流速度的增加，較低的熱彌散度也能帶來傳熱量的較大變化，但到達該滲流速度所對應的閾值后，隨著熱彌散度的增高，在傳熱量上的變化差異逐步降低；由于熱彌散效應，孔隙率對傳熱過程的不利影響可有所減弱，綜合考慮三類影響因素，滲流速度對鉆孔傳熱的影響最大，熱彌散度次之，孔隙率的影響最弱。

圖8 不同滲流速度下鉆孔群內的流體溫升Fig.8 Temperature response of fluid in borehole group at different seepage velocities

圖9 不同熱彌散度下鉆孔群內的流體溫升Fig.9 Temperature response of fluid in borehole group with different thermal dispersivity

圖10 不同孔隙率下鉆孔群內的流體溫升Fig.10 Temperature response of fluid in borehole group with different porosity

圖11 影響因素變化率相同時鉆孔內的流體溫升Fig.11 Sensitivity analysis of impact factors on the fluid temperature response in the borehole

（3）對于鉆孔群而言，不同位置鉆孔群的穩態傳熱過程隨孔隙率的增加均逐步表現出更大的差異，熱彌散效應可一定程度降低該差異。熱彌散對上游鉆孔傳熱過程的影響最大，中游次之，下游最小。

符號說明

A——土壤橫截面積，m2

a——土壤熱擴散率，m2/s

a*——無量綱熱擴散系數

ab——回灌材料熱擴散率，m2/s

as——土壤熱擴散率，m2/s

B——鉆孔間距，m

Ca——容積比熱容，J/(m3·K)

Cf——流體容積比熱容，J/(m3·K)

Cs——固體容積比熱容，J/(m3·K)

E1——指數積分函數

Erfc(x)——余誤差函數

Fo——Fourier數，Fo=astrb-2

G——G函數，m·K/W

H——豎直鉆孔長度，m

Jn——階數為n的第一類Bessel方程

LD——平均行程距離，m

l——積分變量

m˙——U型管內水流量，kg/s

N——鉆孔數量

n——含水層孔隙率，%

Pe——Peclet數

ql——單位長度熱量，W/m

R，R′——無量綱半徑參數

Rp——U型管熱阻，m·K/W

r——半徑，m

r′——線熱源位置

rA——位于鉆孔點A位置的半徑，m

rB——位于鉆孔點B位置的半徑，m

rb——鉆孔半徑，m

rj——第j個鉆孔與疊加位置處的距離，m

Tf——鉆孔內流體溫度，℃

T0——土壤初始溫度溫度，℃

t——時間，s

tb——短、中時間尺度時間分界，h

tH——中、長時間尺度時間分界，d

ud——地下水滲流速度，m/s

u——積分變量

xu——U型管間距，m

Yn——階數為n的第二類Bessel方程

Z——積分變量

αL——含水層的縱向熱彌散度，m

λ*——無量綱導熱率

λA——含水層有效熱導率，W/(m·K)

λf——地下水流的熱導率，W/(m·K)

λL——縱向熱彌散系數，W/(m·K)

λp——U型管的熱導率，W/(m·K)

λs——固體骨架的熱導率，W/(m·K)

λ0——含水層滯止熱導率，W/(m·K)

φj——第j個鉆孔與疊加位置處的極角，(°)

下角標

b——鉆孔

d——達西

f——流體

i——支管內側

L——縱向

o——支管外側

p——U型管

s——含水層固體支架

T——橫向

TD——熱彌散