基于時(shí)間序列分析的MEMS 陀螺儀隨機(jī)漂移建模研究*

包書怡，袁心儀

（1.江蘇師范大學(xué) 敬文書院，江蘇 徐州 221116；2.江蘇師范大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

MEMS（micro-electro-mechanical system，微機(jī)電系統(tǒng)）陀螺儀是隨著微電子技術(shù)和微加工技術(shù)發(fā)展而出現(xiàn)的一種測量物體角速度的傳感器，它的突出優(yōu)點(diǎn)是體積小、功耗低、價(jià)格適中，目前已在民用捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中獲得較為廣泛的應(yīng)用。由于內(nèi)部工作原理和制造工藝等方面的原因，MEMS 陀螺儀輸出信號(hào)中含有較大噪聲，測量準(zhǔn)確度不高，使得慣性導(dǎo)航精度下降。對(duì)低成本陀螺儀噪聲抑制問題開展研究，能夠在較低硬件設(shè)備投入的情況下，通過軟件算法就能獲得較高精度的導(dǎo)航參數(shù)。為了從軟件角度對(duì)陀螺儀的測量噪聲進(jìn)行估算與補(bǔ)償，首先需要為MEMS 陀螺儀建立合理的隨機(jī)漂移誤差模型。MEMS陀螺儀的測量噪聲是一個(gè)隨機(jī)過程，建立平穩(wěn)隨機(jī)過程數(shù)學(xué)模型的方法一般有時(shí)間序列分析法和相關(guān)函數(shù)法，相關(guān)函數(shù)法的數(shù)學(xué)模型相對(duì)復(fù)雜，運(yùn)算量大，算法實(shí)時(shí)性不夠好，本研究將時(shí)間序列分析引入MEMS 陀螺儀隨機(jī)漂移建模。

時(shí)間序列是指按時(shí)間先后記錄的一列有序數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)通常受到各種偶然因數(shù)的影響而表現(xiàn)出某種隨機(jī)性，同時(shí)，這些數(shù)據(jù)彼此之間又存在一定的相關(guān)性。時(shí)間序列分析旨在揭示時(shí)間序列中蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而根據(jù)這種規(guī)律預(yù)測數(shù)據(jù)走勢或?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行處理?；跁r(shí)間序列分析的MEMS 陀螺儀隨機(jī)漂移建模的內(nèi)容包括數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)預(yù)處理與檢驗(yàn)、模型結(jié)構(gòu)確定和模型參數(shù)估計(jì)等。

1 陀螺儀數(shù)據(jù)預(yù)處理與檢驗(yàn)

常用的時(shí)間序列模型有多種，其中，ARMA（Auto Regression Moving Average，自回歸滑動(dòng)平均）模型是擬合平穩(wěn)時(shí)間序列的主流模型，AR（p）模型和MA（q）模型是ARMA（p，q）模型的2 種特例，本文采用AR（p）模型對(duì)MEMS 陀螺儀隨機(jī)漂移誤差進(jìn)行建模。

在對(duì)MEMS 陀螺儀原始測量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理并經(jīng)過平穩(wěn)性檢驗(yàn)后，如果所得的數(shù)據(jù)序列滿足平穩(wěn)、正態(tài)、零均值條件，才能將AR（p）模型用于MEMS 陀螺儀隨機(jī)漂移信號(hào)的建模，以獲得更逼近真實(shí)陀螺儀隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。

1.1 數(shù)據(jù)采集

陀螺儀測量輸出中的噪聲信號(hào)是連續(xù)的，而時(shí)間序列分析法只能對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行建模，因此需要按一定的時(shí)間間隔對(duì)陀螺儀的輸出信號(hào)進(jìn)行采樣。角速度為零時(shí)的陀螺輸出信號(hào)稱為陀螺儀的零點(diǎn)信號(hào)，零點(diǎn)信號(hào)能夠較為準(zhǔn)確地表征陀螺儀的隨機(jī)噪聲特性，故本研究采用MEMS 陀螺儀的靜態(tài)采樣信號(hào)，所用數(shù)據(jù)由瑞芬科技的MEMS 慣性測量單元中的三軸陀螺儀提供。采集數(shù)據(jù)時(shí)，MEMS 慣性測量單元被固定于減振平臺(tái)，通電預(yù)熱10min 后連續(xù)采集1h 陀螺儀數(shù)據(jù)，采樣頻率為50Hz，截取其中30min 陀螺儀輸出數(shù)據(jù)用于分析研究。由于三軸陀螺儀3 個(gè)軸向具有相同的靜態(tài)數(shù)據(jù)漂移特性，不妨以其中一個(gè)軸向（比如z 軸）的靜態(tài)測量數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行分析研究。圖1 繪制出z 軸陀螺儀采樣30min 的原始測量信號(hào)。

1.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

陀螺儀測量輸出中難免會(huì)出現(xiàn)一些異常值，這些異常值將給后續(xù)的時(shí)間序列分析造成不利影響?；瑒?dòng)平均濾波對(duì)周期性擾動(dòng)信號(hào)有較好的抑制作用，建模前首先采用滑動(dòng)平均濾波對(duì)陀螺儀測量數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，去除原始數(shù)據(jù)中的異常值。然后，對(duì)所得的陀螺測量數(shù)據(jù)求均值，將去除異常值的陀螺測量數(shù)據(jù)減去均值，得到的陀螺隨機(jī)漂移信號(hào)則為零均值的時(shí)間序列。同時(shí)，此陀螺隨機(jī)漂移信號(hào)通常也服從正態(tài)分布。下面對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理后的陀螺儀隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

1.3 數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

隨機(jī)過程平穩(wěn)性檢驗(yàn)常用的方法有逆序法、自相關(guān)法和輪次檢驗(yàn)法等。本研究采用逆序法對(duì)上述經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后的陀螺儀隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。逆序法過程簡述如下。

（1）將容量為N 的樣本等分成M 個(gè)子序列，求每個(gè)子序列的均值（或方差），得到一個(gè)大致不相關(guān)的序列y1，y2，…，yM；

（2）對(duì)于yi（i=1，2，…，M-1），每當(dāng)出現(xiàn)后面的數(shù)大于yi時(shí)就將其定義為yi的一個(gè)逆序，記yi的逆序數(shù)為Ai；

（3）序列y1，y2，…，yM的逆序總數(shù)定義為

（4）記A 的均值和方差以及統(tǒng)計(jì)量分別為：

在顯著性水平α=0.05 下，如果滿足|λ|≤2，則隨機(jī)過程平穩(wěn)性假設(shè)成立，否則，隨機(jī)過程非平穩(wěn)。結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)預(yù)處理后的z 軸陀螺儀采樣信號(hào)中抽取容量N=15000 的樣本，將其等分成M=100 個(gè)子序列，按逆序法驗(yàn)證陀螺儀隨機(jī)漂移信號(hào)是平穩(wěn)的。因此，可以將AR（p）模型用于陀螺儀隨機(jī)漂移誤差的建模。

2 陀螺儀隨機(jī)漂移建模

2.1 模型結(jié)構(gòu)的確定

p 階自回歸AR（p）模型的數(shù)學(xué)描述為：

式中φk為自回歸系數(shù)，ωn為零均值白噪聲，Xn表示n時(shí)刻的觀測值，它是時(shí)間序列自身既往p 個(gè)觀測值Xn-1，Xn-2，…，Xn-p線性回歸（遞推）及現(xiàn)時(shí)刻零均值白噪聲共同作用的結(jié)果。本文基于FPE 準(zhǔn)則確定AR（p）模型的階次，F(xiàn)PE 準(zhǔn)則函數(shù)定義如下：

2.2 模型參數(shù)估計(jì)

圖1 z 軸陀螺儀采集30min 的原始輸出信號(hào)

圖2 z 軸陀螺儀降噪前后輸出信號(hào)對(duì)比（N=15000）

AR（p）模型的參數(shù)估計(jì)就是估計(jì)上述公式（4）中φ1，φ2，…，φp這p 個(gè)參數(shù)的值。估計(jì)AR（p）模型參數(shù)的方法有多種，其中最小二乘法對(duì)參數(shù)的估計(jì)精度高，算法簡單。分別將p+1，p+2，…，N（N 表示樣本容量）代入（4）式中的n，引入列向量和矩陣，經(jīng)整理后有：

估計(jì)出φ 后，白噪聲方差σ2的最小二乘估計(jì)式寫成：

以上述預(yù)處理后的z 軸陀螺隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)為輸入，采用最小二乘算法對(duì)AR（1）模型的參數(shù)做出估計(jì)，得到其自回歸系數(shù)φ1=-0.8023。于是，用于MEMS 陀螺隨機(jī)漂移信號(hào)建模的AR（1）模型可以表示為：

其零均值白噪聲ωn的方差估計(jì)式為：

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

由于對(duì)三軸陀螺儀3 個(gè)軸向的陀螺測量數(shù)據(jù)的處理方法完全相同，不妨取z 軸陀螺儀實(shí)測數(shù)據(jù)為樣本，對(duì)經(jīng)過上述數(shù)據(jù)處理后的MEMS 陀螺儀測量輸出中的隨機(jī)漂移噪聲抑制效果進(jìn)行對(duì)比。從z 軸陀螺儀測量輸出中抽取容量N=15000 的樣本，繪制出如圖2 所示的經(jīng)過降噪處理前后的陀螺輸出信號(hào)對(duì)比圖。由圖2 可以直觀地看出，低成本陀螺儀測量輸出中的隨機(jī)漂移噪聲在經(jīng)過上述數(shù)據(jù)處理后得到明顯抑制。

4 結(jié)束語

本文將時(shí)間序列分析理論引入陀螺儀隨機(jī)漂移誤差的建模，以瑞芬科技某慣性測量單元的實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立了MEMS 陀螺儀隨機(jī)漂移的平穩(wěn)時(shí)間序列模型，實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果表明所述方法的有效性。