均布載荷作用下單跨三次超靜定等截面梁Maple 求解研究*

何 峰，楊 松，任天嬌，卞紅杰，付恩越

（遼寧工程技術大學 力學與工程學院，遼寧 阜新 123000）

超靜定梁理論一直是結構分析中非常重要的一部分，對其解析解的獲取也是工程界和學術界不斷探索的內容。而兩端固定、受均布載荷梁的平面應力解由Ding HJ 等[1]獲得；戴瑛[2]分析了兩端固定受均布載荷短梁的平面應力解，改進簡化了邊界條件，并通過數值方法驗證了其解的準確度；張勁夫[3]應用瑞利-里茲法近似求得考慮固定端軸向約束力影響下的解析解并得到固定端梁的撓曲線函數和撓曲線形狀；王敏中[4]利用最小二乘法，對固定端采用位移平方為最小的邊界條件；邢靜忠[5]將Maple 引入力學教學，引導和培養學生利用數學工具的習慣和能力，強化算法設計和程序的通用性和靈活性，為處理復雜問題提供幫助；陳小亮[6]等利用Maple 軟件探索了彈性力學應力函數逆解法的計算機求解規范流程；盧小雨[7]等利用Maple 來求解彈性力學中的一些具體問題。

文章基于Maple 強大的符號運算能力，針對已驗證均布載荷作用下兩端固定等截面梁應力函數有效性的前提下，結合彈性力學逆解法思想，編制Maple 程序，修正了文獻[2]解析解，應用得到精確解析解與文獻[3]和有限元模擬結果進行精度的對比。

1 單跨三次超靜定梁彎曲問題

考慮單位厚度、矩形截面的梁，兩端固定，梁的上表面受均布載荷q的作用，下表面不受力，梁跨長為l，梁的高度為h，體力不計，如圖1 所示。

圖1 均布載荷作用單跨三次超靜定梁[1-3]

依據文獻[1-2]中采用的重調和應力函數U為7 項五次多項式，并驗證了其準確度：

式中：a，b，c，d，e，f，g是7 個待定系數，由邊界條件來確定。

2 彈性力學逆解法與Maple 求解

彈性力學逆解法思想：

（1）給出滿足條件的應力函數；（2）驗證應力函數是否滿足相容方程；（3）根據應力函數和應力分量關系式求解應力分量；（4）結合幾何方程和物理方程，求解位移分量；（5）最后根據邊界條件列出方程求出待定系數，最終得到應力分量和位移分量。

Maple 程序實現如下：

（1）輸入應力函數

（2）驗證是否滿足相容方程，經驗證該等式為0，所以滿足相容方程。

equ0:=diff(U,x$4)+2*diff(U,x$2,y$2)+diff(U,y$4)結果為0。

（3）求應力分量

（4）求位移分量

根據幾何方程和物理方程，建立偏微分方程組并求解位移分量。

為了符合彈性力學位移分量表示方式，再對其積分常數進行變換，Maple 程序最終得到位移分量并經簡化整理表達式如下：

而文獻[2]位移分量表達式為

通過Maple 程序求解結果與文獻[2]對比可知文獻[2]水平位移分量多了一項2（1+μ）fy，豎向位移分量少了一項2（1+μ）fx，所以導致文獻[2]求解結果誤差大。其中：ω，u0，v0為積分常數，由位移邊界條件確定。

（5）邊界條件

細長梁固支邊界條件根據文獻[1－2]的表示方法，邊界條件為如下形式：

由于Maple 程序求解位移為方程組，為方便程序求解令U1：＝u（x，y）；V1：＝v（x，y）；根據邊界條件式（5）Maple程序如下：

由邊界條件（5）式得到12 個方程（其中y=±h/2，τxy=0邊界條件列出的方程非獨立，有效方程10 個），最終確定的7 個系數和3 個積分常數分別為

（6）應力分量和位移分量

按邊界條件（5）式，編制Maple 計算程序如下：

3 應用分析

設梁力學及幾何參數如下：載荷集度q=50N/m，彈性模量E=2.0lel1Pa，泊松比為μ=0.3；長度l=1m，橫截面積S=6e-5m2；寬度為0.02m，高度為0.003m，截面慣性矩Iz＝4.5e-11m4。

3.1 有限元模擬

結合有限元法優點，其可以對固定端邊界面上的所有節點施加位移為零的約束，并隨著節點數目的增多，可以無限接近固定端真實的位移邊界，因而有限元結果常作為理論解近似程度的比較依據；通過建立兩端固定梁的有限元模型，其網格數69，節點數139；邊界及施加載荷見圖2；最終模擬得到梁的最大撓度：vmax=0.000325m。

3.2 文獻[3]Maple 程序實現及梁軸線撓曲線

依據文獻[3]應用瑞利-里茲法近似求得考慮固定端軸向約束力影響下的解析解Maple 程序如下：

通過運行以上Maple 程序得到梁軸線撓度方程、撓曲線見圖3 及中點處的撓度如下：

3.3 論文梁軸線撓度方程及撓曲線

依據前文位移分量表達式（7）及梁的參數，Maple 程序如下：

（4）小結

通過有限元模擬得到最大撓度為0.000325m、論文及文獻[3]梁軸線中點處最大撓度分別為0.000576m 和0.00491m；根據算例結果及圖3-4 梁撓曲線形態可知，論文解析解結果與有限元模擬結果為同一數量級，且更加逼近真實結果。而文獻[3]結果與論文和有限元結果相差一個數量級，其原因為文獻[3]采用了材料力學中撓曲線近似微分方程，其中忽略了剪力對梁變形的影響和轉角前提得到的。

4 結論

（1）基于文獻[1-2]對兩端固定梁受均布載荷作用下應力函數形式已經驗證準確性的前提下，應用彈性力學逆解法思想，編制Maple 計算程序，對文獻[2]解析解進行了修正，得到了均布載荷作用單跨三次超靜定梁精確的應力分量和位移分量表達式。

圖2 兩端固定受均布載荷作用的梁有限元模擬

圖3 文獻[3]梁的撓曲線

圖4 兩端固定受均布載荷作用的梁撓曲線

（2）結合具體算例，通過有限元模擬與論文解析解對比，得到均布載荷作用單跨三次超靜定梁撓曲線和中點處最大撓度同處一個數量級，并對文獻[3]編制Maple 計算程序，驗證了其結果的準確性，得到的梁中點的最大撓度與論文結果相差一個數量級，進一步證明了采用彈性力學方法解決相似問題的精確性。