兩類(lèi)產(chǎn)量遞減模型在預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井和致密氣井中的應(yīng)用與對(duì)比

陳元千，傅禮兵，徐佳倩，2

（1.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083；2.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249）

眾所周知，產(chǎn)量遞減階段是油氣井和油氣藏開(kāi)采的主要階段，它將伴隨生產(chǎn)達(dá)到經(jīng)濟(jì)極限產(chǎn)量而停止。Arps于1945年提出的指數(shù)、雙曲線(xiàn)和調(diào)和三種遞減模型［1］得到了國(guó)際上的公認(rèn)和應(yīng)用。陳元千等提出的廣義遞減模型［2-3］、線(xiàn)性遞減模型［4］、冪函數(shù)遞減模型［5］和泛指數(shù)遞減模型［6］均可對(duì)油氣井和油氣藏進(jìn)行有效預(yù)測(cè)。實(shí)例應(yīng)用結(jié)果表明，Arps 的n=0.5 的雙曲線(xiàn)遞減模型與陳元千等建立的m=0.5的泛指數(shù)遞減模型是兩類(lèi)有效的產(chǎn)量遞減預(yù)測(cè)模型。

1 兩類(lèi)遞減模型的對(duì)比

1.1 雙曲線(xiàn)遞減模型及求解方法

雙曲線(xiàn)遞減模型的產(chǎn)量、累積產(chǎn)量、可采儲(chǔ)量、遞減率、無(wú)因次產(chǎn)量和無(wú)因次累積產(chǎn)量的公式［1-3］分別表示為：

為了利用線(xiàn)性迭代試差法求解雙曲線(xiàn)遞減模型，將（1）式代入（2）式得到的直線(xiàn)關(guān)系式為：

其中：

選用n=0.05 的步長(zhǎng)，由（7）式進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差，求解雙曲線(xiàn)遞減模型，能形成最佳直線(xiàn)關(guān)系（相關(guān)系數(shù)最高）的n值，即為欲求的正確值。對(duì)該直線(xiàn)進(jìn)行線(xiàn)性回歸求得直線(xiàn)的截距和斜率后，通過(guò)（8）式和（9）式改寫(xiě)的下式確定qi和Di值：

1.2 泛指數(shù)遞減模型及求解方法

泛指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量、累積產(chǎn)量、可采儲(chǔ)量、遞減率、無(wú)因次產(chǎn)量和無(wú)因次累積產(chǎn)量公式［6-7］分別為：

應(yīng)當(dāng)指出，在（13）式和（14）式中的完全伽馬函數(shù)和上不完全伽馬函數(shù)值，可查用伽馬函數(shù)表或采用數(shù)值計(jì)算方法確定。

為了利用線(xiàn)性迭代試差法，求解泛指數(shù)遞減模型常數(shù)qi和m及c值，將（12）式改寫(xiě)為下式：

其中：

選用m=0.05的步長(zhǎng)，由（18）式進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差法，求解泛指數(shù)遞減模型時(shí)，對(duì)于能夠形成最佳直線(xiàn)（相關(guān)系數(shù)最高）的m值，即為欲求的正確值。在對(duì)該直線(xiàn)進(jìn)行線(xiàn)性回歸求解直線(xiàn)的截距和斜率后，通過(guò)變形（19）式和（20）式分別確定qi和c的計(jì)算式為：

2 實(shí)例應(yīng)用與對(duì)比

2.1 頁(yè)巖氣井的應(yīng)用和對(duì)比

美國(guó)賓州Marcellus頁(yè)巖氣藏［8］M1井于2011年8月投產(chǎn)，投產(chǎn)后第2個(gè)月該氣井產(chǎn)量最大，此后進(jìn)入遞減階段。該階段不同時(shí)間的產(chǎn)量和累積產(chǎn)量的數(shù)據(jù)列于表1，并分別繪于圖1和圖2。

表1 M1井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)［8］Table1 Production data of Well M1［8］

圖1 M1井的q與t的關(guān)系Fig.1 The q-t curve of Well M1

圖2 M1井的Gp與t的關(guān)系Fig.2 The Gp-t curve of Well M1

2.1.1 雙曲線(xiàn)遞減模型的應(yīng)用

將表1 中的數(shù)據(jù)按（7）式進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差法求解，得到n=0.5 時(shí)的最佳直線(xiàn)關(guān)系繪于圖3。該直線(xiàn)的截距A=21.289，斜率B=1.348×10-3，相關(guān)系數(shù)R2=0.978 2。將A和n值代入（8）式，得頁(yè)巖氣井的初始理論產(chǎn)量為：

圖3 M1井n=0.5時(shí)q1-n與Gp最佳直線(xiàn)關(guān)系Fig.3 Optimal linear relation between q1-n and Gp of Well M1（n=0.5）

將A，B和n值代入（4）式，得頁(yè)巖氣井的初始遞減率為：

再將qi，Di和n值代入（3）式，得由n=0.5 的雙曲線(xiàn)遞減模型預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井的可采儲(chǔ)量為：

將qi，Di和n值，分別代入（1）式、（2）式和（4）式，得預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井產(chǎn)量、累積產(chǎn)量和遞減率表達(dá)式為：

將由（26）式、（27）式和（28）式預(yù)測(cè)得到的頁(yè)巖氣井的q，Gp和D值分別繪于圖1、圖2和圖4。

2.1.2 泛指數(shù)遞減模型的應(yīng)用

將表1中數(shù)據(jù)按（18）式進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差法求解，當(dāng)m=0.5 時(shí)得最佳直線(xiàn)的截距α=6.460 6，斜率β=0.280 5，相關(guān)系數(shù)R2=0.993 0（圖5）。

將α值代入（21）式，得頁(yè)巖氣井t=0時(shí)的初始理論產(chǎn)量為：

圖4 兩種遞減模型預(yù)測(cè)M1井D與t的關(guān)系Fig.4 The D-t curves of Well M1 by the two decline models

圖5 M1井lnq與tm的最佳直線(xiàn)關(guān)系（m=0.5）Fig.5 Optimal linear relation between lnq and tm of Well M1（m=0.5）

再將β值代入（22）式得c值為：

當(dāng)m=0.5 時(shí)，查伽馬函數(shù)表得Γ（1/m）=Γ（2）=1，若將qi，c，m和Γ（1/m）的數(shù)值代入（14）式，得由泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)M1井的可采儲(chǔ)量為：

將qi，c和m值分別代入（12）式、（13）式和（15）式，得泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井的q，Gp和D的表達(dá)式為：

由（32）式、（33）式和（34）式分別預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井q，Gp和D值，并分別繪于圖1、圖2 和圖4。由圖1 和圖2 可以看出，泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)的結(jié)果比雙曲線(xiàn)遞減模型預(yù)測(cè)的結(jié)果更接近于實(shí)際值，兩類(lèi)遞減模型預(yù)測(cè)的可采儲(chǔ)量基本相同。由圖4看出，當(dāng)t約大于10 mon 時(shí)泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)的遞減率低于雙曲線(xiàn)遞減模型。

2.2 致密氣井的應(yīng)用和對(duì)比

根據(jù)文獻(xiàn)［9］的報(bào)道，某致密氣井的產(chǎn)量和累積產(chǎn)量數(shù)據(jù)列于表2，并繪于圖6 和圖7。將表2 上數(shù)據(jù)分別按雙曲線(xiàn)遞減模型和泛指數(shù)遞減模型進(jìn)行線(xiàn)性迭代試差求解，當(dāng)n=0.5和m=0.5時(shí)均可得最佳直線(xiàn)關(guān)系，見(jiàn)圖8和圖9。

表2 致密氣井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)［9］Table2 Production data of tight gas well［9］

圖6 致密氣井q與t的關(guān)系Fig.6 The q-t curve of tight gas well

圖7 致密氣井Gp與t的關(guān)系Fig.7 The Gp-t curve of tight gas well

圖8 致密氣井雙曲線(xiàn)遞減模型的最佳直線(xiàn)圖（n=0.5）Fig.8 Optimal linear relation for hyperbolic decline model of tight gas well（n=0.5）

圖9 致密氣井泛指數(shù)遞減模型的最佳直線(xiàn)圖（m=0.5）Fig.9 Optimal linear relation for pan exponential decline model of tight gas well（m=0.5）

2.2.1 雙曲線(xiàn)遞減模型的應(yīng)用

將圖8 上n=0.5 最佳直線(xiàn)的數(shù)據(jù)，利用（7）式進(jìn)行線(xiàn)性回歸得到直線(xiàn)的截距A=1.054 7，斜率B=0.000 2 和相關(guān)系數(shù)R2=0.991 4。由（10）式和（11）式分別求得雙曲線(xiàn)遞減模型的初始產(chǎn)量qi=1.112×104m3/d 和初始遞減率為Di=0.000 422 d-1。將qi，Di和n值代入（4）式，得致密氣井的可采儲(chǔ)量為：

再將qi，Di和n值分別代入（1）式、（2）式和（4）式預(yù)測(cè)的q，Gp和D值繪于圖1、圖2和圖4。

2.2.2 泛指數(shù)遞減模型的應(yīng)用

將圖8 上m=0.5 最佳直線(xiàn)的數(shù)據(jù)，利用（18）式進(jìn)行回歸求得直線(xiàn)的截距α=0.379 3，斜率β=0.021 8和相關(guān)系數(shù)R2=0.976 5。再利用（24）式和（25）式分別求得泛指數(shù)遞減模型的qi=1.461×104m3/d 和c=45.871。當(dāng)m=0.5，1/m=2時(shí)，查伽馬函數(shù)表Γ（1/m）=1。將qi，c，m和Γ（1/m）值代入（14）式，得泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)致密氣井的可采儲(chǔ)量為：

再將qi，c和m值分別代入（12）式、（13）式和（15）式，預(yù)測(cè)致密氣井的q，Gp和D值，分別繪于圖6、圖7和圖10。由圖6和圖7看出，泛指數(shù)遞減模型比雙曲線(xiàn)遞減模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于實(shí)際值，而兩類(lèi)模型預(yù)測(cè)的可采儲(chǔ)量有所不同。由圖10 可以看出，當(dāng)t約大于650 d 時(shí)泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)的遞減率低于雙曲線(xiàn)遞減模型。

圖10 雙曲線(xiàn)遞減和泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)的D值Fig.10 The D values predicted by hyperbolic decline model and pan exponential decline model

3 結(jié)論

Arps于1945年利用油井產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)研究，提出的指數(shù)、雙曲線(xiàn)和調(diào)和三種遞減模型，常規(guī)油氣井和油氣藏的實(shí)際應(yīng)用結(jié)果表明，指數(shù)遞減模型應(yīng)用的最為廣泛，雙曲線(xiàn)遞減模型應(yīng)用的一般，調(diào)和遞減模型應(yīng)用的很少。通過(guò)本文的研究和應(yīng)用表明，對(duì)于頁(yè)巖氣井和致密氣井，n=0.5 的雙曲線(xiàn)遞減模型和m=0.5的泛指數(shù)遞減模型是兩種重要的實(shí)用預(yù)測(cè)模型。這為頁(yè)巖氣井和致密氣井產(chǎn)量、累積產(chǎn)量、可采儲(chǔ)量和遞減率的預(yù)測(cè)提供了實(shí)用有效方法。由頁(yè)巖氣井和致密氣井的預(yù)測(cè)結(jié)果表明，泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)的結(jié)果比雙曲線(xiàn)遞減模型更接近于實(shí)際。兩類(lèi)預(yù)測(cè)的可采儲(chǔ)量基本相同，但預(yù)測(cè)的遞減率相差明顯。

符號(hào)解釋

A和B——雙曲線(xiàn)遞減模型最佳直線(xiàn)的截距和斜率；

c——泛指數(shù)遞減模型的時(shí)間常數(shù)，mon或d；

D——t時(shí)間的遞減率，mon-1或d-1；

Di——t=0 時(shí)雙曲線(xiàn)遞減模型的初始理論遞減率，mon-1或d-1；

Gp——t時(shí)間的累積產(chǎn)量，104m3；

GpD——無(wú)因次累積產(chǎn)量，dim；

GR——可采儲(chǔ)量，104m3；

m——泛指數(shù)遞減模型的泛指數(shù)，dim；

n——雙曲線(xiàn)遞減模型的遞減指數(shù)，dim；

q——t時(shí)間的產(chǎn)量，104m3/mon或104m3/d；

qi——t=0時(shí)初始理論產(chǎn)量，104m3/mon或104m3/d；

qD——無(wú)因次產(chǎn)量，dim；

R2——相關(guān)系數(shù)，dim.

t——生產(chǎn)時(shí)間，mon或d；

tD——無(wú)因次時(shí)間，dim；

α和β——泛指數(shù)遞減模型最佳直線(xiàn)的截距和斜率；

Γ（1/m）——完全伽馬函數(shù)；

Γ（1/m，tm/c）——上不完全伽馬函數(shù)。