激光斑點漂移的研究

宋胤彤，張哲倫，李尊祺，劉國超

(北京大學 物理學院，北京 100871)

2020年IYPT的第11題為Drifting speckles[1]. 將激光束照射到黑暗的表面，在斑點內可看到顆粒狀的圖案. 請解釋現象并且研究漂移取決的相關參量. 當通過相機或者人眼觀察時，顆粒狀的圖案在緩慢移動. 本文描述了激光散斑的漂移現象，研究了激光散斑漂移現象的成因，通過理論計算給出散斑漂移速度的依賴因素，并通過實驗檢驗.

1 散斑漂移現象簡介

用激光照射墻表面時，直接用人眼或者利用相機可以觀測到顆粒狀的細小斑點，這些細小斑點(圖1中的白色顆粒)即為激光散斑. 圖1中散斑呈現白色是相機曝光過度導致的(實驗中發現，曝光不足時無法清晰觀測到圓斑和散斑，故實際操作時調節曝光使散斑略微過曝)，由人眼觀測可以發現散斑仍然為紅色. 為方便區分，下文中的散斑指中心圓環內的白色細小顆粒，圓斑指外側圓形的紅色斑點.

圖1 利用相機拍攝的激光散斑

當人眼或相機移動時，可以觀測到散斑相對于圓斑的運動，這種運動即為本文研究的散斑漂移現象. 通過簡單的實驗，可以發現人眼或相機垂直于光屏移動時無漂移現象，而平行于光屏移動有散斑漂移現象. 在實驗中也可以發現這種運動是和相機的運動同時發生的,因此，可以通過測定相同時間內散斑、圓斑和相機的位移得到三者的速度關系.

2 散斑漂移現象的理論解釋

2.1 散斑的形成機理

激光照射在粗糙表面(表面起伏程度遠大于激光波長，常見表面均滿足)上發生漫反射，可以等效為表面上存在若干次波波源，次波波源的振幅相同，初相位則因受到表面影響而各不相同. 這些次波波源發出的波在空間中相干疊加，在相干增強處形成了觀測到的散斑[2].

2.2 散斑漂移的定量解釋

散斑漂移的示意圖如圖2所示. 由散斑的形成機理，散斑實際位置和圓斑所在位置(即光屏處)并不相同，在移動相機或人眼時，由于視差二者出現相對運動，形成漂移現象.

圖2 散斑漂移的示意圖

下面將分別利用幾何光學和波動光學對漂移速度進行計算并說明其等價性. 為簡化表達，示意圖均為單個透鏡的情形，實際上相機鏡頭應為透鏡組.

2.2.1 將散斑漂移簡化為幾何光學問題

將相機的位置記為x，將相機屏上的圓斑和散斑的位置記為x″，以區分不同平面上的移動. 在之后的實驗中也采用同樣的標記方法.

對于單個透鏡，可以根據圖3計算漂移距離. 記物面到透鏡(相機鏡頭)的距離為L，透鏡到像面(相機成像區域)距離為f. 紅線和藍線分別表示移動前后的光路. 根據相似三角形，可得：

即有：

(1)

相機內部的透鏡組相對位置是近似不變的，因此之后的成像與L無關，是由相機決定的近似不變的參量. 因此可以用常數近似描述之后的成像過程對移動距離的影響. 此處將L與f的乘積記為Mf，稱之為相機參量，則(1)式對實際的相機可以寫為

則散斑的漂移距離為

(2)

圖3 散斑漂移的幾何光學計算法

2.2.2 將散斑漂移簡化為波動光學問題

考慮光的波動性質，利用基爾霍夫衍射積分進行計算. 設光屏上的復振幅分布為A(x,y)，透鏡的前復振幅分布為Bi(x′,y′)，透射函數為t(x′,y′)，后復振幅分布為Bt(x′,y′)，相機底片上的復振幅分布為C(x0,y0)(x″,y″).u為物到相機鏡頭的距離(L或s)，v為相機鏡頭到相機底片的距離，F為焦距. 先考慮墻上某點產生的光場，由惠更斯-菲涅爾原理[3]有如下基爾霍夫積分：

(3)

(4)

(5)

當透鏡光心位于(x0,y0)時，考慮光屏上所有點光場的疊加，得到相機底片上(x″,y″)處的復振幅[3]為

那么當透鏡光心位于(0,0)時，考慮墻上所有點產生的光場的疊加，則底片上(x0″,y0″)點的復振幅為

如果忽略積分區域Σ1(0,0)和Σ1(x0,y0)的區別，并令Δx″=x″-x0″，Δy″=y″-y0″，則有：

|C(x0,y0)(x″,y″)|2=|C(0,0)(x0″,y0″)|2,

即

當透鏡移動(Δxcamera,Δycamera)時，散斑的位移為

(6)

對理論的修正：考慮積分區域Σ1(x0,y0)和Σ1(0,0)的差別，則有：

其中,

由此可見，幾何光學近似是合理的. 因此可以利用式(2)計算散斑漂移速度.

3 散斑漂移速度公式的實驗檢驗

3.1 影響散斑大小的相關因素

由于在測定散斑漂移距離時，散斑的大小對測量的精度產生較大影響，因而有必要研究影響散斑大小的因素. 可以利用光強關聯函數對散斑大小進行定性分析，得到散斑大小的影響因素.

光強關聯函數為

這一函數用于描述相鄰點光強的相關性，相關性越強代表散斑顆粒越大. 在實驗中直接用CCD相機拍攝散斑[4]，利用Mathematica軟件計算關聯函數，結果如圖4所示.

光強關聯函數

其大小可以用與x軸圍成的面積描述,其中w為高斯光束在散斑處的光腰. 可以發現，L越大關聯函數值越大，即散斑顆粒越大. 而相機觀測到的圓斑大小與L呈負相關.

圖4 不同距離L拍攝的散斑計算得到的關聯函數

綜合分析，圓斑越大散斑越小，圓斑越小散斑越大. 這一結論有助于后續實驗過程中對光路進行調節，得到更清晰、更易于測定的散斑圖樣.

3.2 散斑漂移的距離-相機移動距離的定量測定

實驗中采用擴束透鏡和聚焦透鏡調節圓斑和散斑的大小，以便于測定. 使用λ=632.8 nm的氦氖激光器作為激光源，利用配置鏡頭的HY-2307型號CCD相機進行觀測，并利用相關軟件對觀測結果進行計算.

3.2.1 標定相機參量Mf

保持視在漂移Δx″不變，測定相機位移Δx和相機聚焦距離s的關系，其斜率即為Δx″/Mf.

實驗中保持Δx″=100 pix不變，測得的相機參量標定曲線如圖5所示. 擬合曲線的斜率和截距分別為：k=0.023,b=-5 mm,r=0.999 53. 計算得到Mf=(4.302±0.044) pix.

圖5 相機參量定標曲線

3.2.2 測定散斑漂移

在實驗中分別保持相機與光屏距離L和相機聚焦距離s不變，改變另一參量，測定散斑位移量和圓斑位移量，計算得到散斑相對圓斑漂移/相機移動距離曲線，如圖6～7所示.

圖6 L=3.070 m時的漂移/相機位移隨相機聚焦距離的變化

圖7 s=1.800 m時的漂移/相機位移隨相機與光屏距離的變化

利用理論公式對實驗數據進行擬合，驗證其符合程度.

由此可驗證理論公式(2)的正確性. 由于漂移運動是和相機的運動同時發生的，可以由移動的距離公式直接導出散斑漂移的速度公式為

(7)

3.3 實驗誤差分析

實驗誤差主要來源于對各項距離的測量誤差和不穩定因素對散斑圖樣的影響.

3.3.1 距離測量帶來的誤差

1)通過米尺和桌面上設置的距離標尺測量L和s，測量誤差為σ1=1 cm.

2)通過計算機上的S-EYE軟件測量散斑移動和圓斑移動，在不考慮圖案本身振動的條件下，散斑移動測量誤差為σ2=0.1 pix，圓斑移動的測量誤差為σ3=0.2 pix.

3)通過光具座上的游標測量相機移動，測量誤差為σ4=0.1 mm.

3.3.2 散斑圖樣振動帶來的誤差

實驗過程中，由于平臺的振動、空氣流動、激光光源本身發光的不穩定性，散斑并不總是靜止的，而是會出現不規則的小幅度振動. 實驗中通過控制空氣流動、減少平臺振動等方式減小散斑振動后，觀測到小振動的幅度小于0.1 pix，因此其帶來的誤差主要影響散斑位置的確定(而散斑位置的變化與標定散斑位置的誤差數量級相同，可以忽略). 這種影響帶來的誤差數量級小于散斑位置標定的誤差，因此在本實驗條件下可忽略.

4 結 論

致謝：感謝論文撰寫過程與北京大學物理學院榮新老師的有益討論！