地震波形約束的蒙特卡洛—馬爾科夫鏈隨機反演方法

周爽爽 印興耀* 裴 松 楊亞明

(①中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580；②海洋國家實驗室海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術(shù)功能實驗室，山東青島 266071)

0 引言

地震反演是獲取地下介質(zhì)彈性參數(shù)，揭示地下儲層展布規(guī)律、物性及含油氣性的有效途徑[1-4]。隨著油田勘探、開發(fā)的不斷推進，對儲層預(yù)測的精度要求也越來越高，因此高精度儲層反演技術(shù)在薄互層識別中的作用越來越重要[5-6]。地震反演分為確定性反演與隨機反演兩大類，其中確定性反演以正則化方法為基礎(chǔ)[7-10]，通過弱化反演過程的不適定性，求解一個逼近真實解的最優(yōu)解或近似解，但是該方法受地震分辨率及帶限子波的限制，在識別調(diào)諧尺度內(nèi)薄層時具有一定的局限性。

與傳統(tǒng)的確定性反演方法相比，隨機反演識別薄層具有一定優(yōu)勢[11]。以地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)為基礎(chǔ)、以測井資料為條件數(shù)據(jù)的地震隨機反演方法的分辨率高于常規(guī)確定性反演[12-15]，因此迅速得到廣泛應(yīng)用，但是提高計算效率以及消除隨機性一直是難點。基于序貫高斯、模擬退火等地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)算法的隨機反演利用垂向密集的井點數(shù)據(jù)求取空間變差函數(shù)進行隨機建模[16]，然而在求取各個方向的變差函數(shù)變程時人為因素影響較大，導(dǎo)致反演結(jié)果隨機性較強[17-19]。王保麗等[20]構(gòu)建了基于FFT-MA(fast Fourier transform-moving average)譜模擬的快速隨機反演方法，采用逐步變形算法快速迭代求解重新構(gòu)造的目標函數(shù)，將復(fù)雜的求解問題簡單化，有效提高了運算效率。針對隨機采樣，以蒙特卡洛—馬爾科夫鏈(Monte Carlo Markov chain，MCMC)算法為例，在獲取模型參數(shù)后驗概率密度分布隨機樣本的基礎(chǔ)上，采用統(tǒng)計分析手段獲取模型參數(shù)的統(tǒng)計特征(如均值、協(xié)方差等)[21-23]。Hong等[24]采用多尺度標準遺傳算法的MCMC方法不斷優(yōu)化已知模型以獲得最優(yōu)參數(shù)，提高了MCMC算法的計算效率以及估值精度；基于Metropolis算法[25]，Hastings[26]提出了Metropolis-Hastings(M-H)算法，介紹了蒙特卡洛估計誤差的相關(guān)理論、應(yīng)用技術(shù)以及誤差評估方法；Smith等[27]利用MCMC方法獲取模型參數(shù)的后驗分布，嘗試利用MCMC算法逼近貝葉斯統(tǒng)計分析中的積分等運算，可提供大量與未知參數(shù)有關(guān)的全局信息；張廣智等[28-32]提出構(gòu)建一種自適應(yīng)的建議分布，能夠自適應(yīng)并不斷更新構(gòu)成的馬爾科夫鏈，有效地加快了馬爾科夫鏈的收斂速度；李坤等[33]在待反演參數(shù)服從混合概率先驗?zāi)Ｐ偷那疤嵯?，提出了基于差分進化MCMC隨機模型的相約束疊前地震概率化反演方法，充分模擬了待反演模型的后驗概率密度分布(如均值、方差及置信區(qū)間)。

針對上述方法存在的隨機性強、運算效率低等問題，本文提出了基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法。充分利用觀測地震數(shù)據(jù)和待反演參數(shù)之間的地球物理映射關(guān)系，應(yīng)用相關(guān)系數(shù)，根據(jù)已知的地震波形之間的相似性特征指導(dǎo)井數(shù)據(jù)進行偽普通克里金插值模擬，建立具有地震波形指示的初始模型；在此基礎(chǔ)上，進一步在貝葉斯框架下構(gòu)建觀測地震數(shù)據(jù)和測井數(shù)據(jù)協(xié)同約束的后驗概率密度分布，結(jié)合M-H采樣算法多次隨機模擬具有地震波形指示的初始模型參數(shù)，利用后驗均值作為模型參數(shù)的最優(yōu)解。該方法有效地提高了反演穩(wěn)定性和橫向連續(xù)性，降低了隨機性，有效地弱化了地震噪聲對反演結(jié)果的影響，并且極大地加快了馬爾科夫鏈的收斂速度，有效地提高了該方法的運算效率和估算精度。

1 理論與方法

1.1 初始模型

地震振幅的變化間接地反映了地下儲層參數(shù)的空間變化，由于觀測地震數(shù)據(jù)和儲層參數(shù)之間存在一定的地球物理映射關(guān)系[33]，因此可以根據(jù)已知觀測地震數(shù)據(jù)指導(dǎo)已知井信息完成地下未知儲層參數(shù)的插值運算。基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法借鑒傳統(tǒng)的地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)建模思想，建立具有地震波形指示的初始模型的基本思想是：在工區(qū)所有井數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，統(tǒng)計所有井的井旁地震道以及井上與井旁地震道對應(yīng)位置的預(yù)測參數(shù)曲線，依據(jù)統(tǒng)計得到的待預(yù)測點處的地震波形與井旁地震道所有樣本點處的地震波形之間的相關(guān)系數(shù)，對所有井進行相關(guān)度排序，優(yōu)選與待預(yù)測點關(guān)聯(lián)度高的井樣本建立初始模型；利用普通偽克里金插值方法對含有高頻成分的井數(shù)據(jù)進行無偏最優(yōu)估計，最終反演的地震波形與原始地震特征一致，其中包含確定性較強的寬頻(高頻成分)彈性參數(shù)。

利用相關(guān)系數(shù)根據(jù)地震波形相似性優(yōu)選井樣本(圖1)。根據(jù)觀測地震數(shù)據(jù)和待反演參數(shù)之間的地球物理映射關(guān)系，充分利用地震波形相似性由優(yōu)選的井樣本模擬地下未知模型參數(shù)。用普通偽克里金插值公式表示待反演參數(shù)的建模過程

(1)

式中：Z(x0)為待模擬插值參數(shù)x0處的值；Z(xi)為由井旁地震數(shù)據(jù)篩選的已預(yù)測井樣本點xi處的對應(yīng)值；λi為Z(xi)在待插值處的權(quán)重；n為參與井的個數(shù)。本文根據(jù)普通克里金的定義，推導(dǎo)了一種新的利用地震波形相似性指導(dǎo)井數(shù)據(jù)進行無偏最優(yōu)估計的插值方法，并建立了具有波形指示的初始模型。

在普通克里金定義中，假設(shè)對于某區(qū)域內(nèi)任意點p(x，y)的期望c與方差σ2都是相同的，即對于任意一點p(x，y)，都有

圖1 地震波形和井參數(shù)優(yōu)選示意圖[5]①為優(yōu)選樣本，②為統(tǒng)計樣本E[p(x，y)]=E(p)=c

(2)

Δ[p(x，y)]=σ2

(3)

無偏估計條件為

(4)

普通克里金插值公式為

(5)

(6)

化簡可得

(7)

相應(yīng)地，估計方差為

(8)

令Cij=Cov(zi，zj)，則有

(9)

相關(guān)系數(shù)為

(10)

式中rij為地震數(shù)據(jù)點zi地震波形與地震數(shù)據(jù)點zj地震波形的相關(guān)系數(shù)。將式(10)代入式(9)，則有

(11)

我們的目標是尋找使J最小的一組λi，且J是λi的函數(shù)。因此將J對λi求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，即

(12)

(13)

(14)

由于rkj=rjk，則式(14)變?yōu)?/p>

(15)

由式(15)得到了求解權(quán)重系數(shù)λj的方程組

(16)

寫成矩陣形式

對矩陣進行逆運算即可求出已知點處地震數(shù)據(jù)在待預(yù)測點處所占的權(quán)重，根據(jù)觀測地震數(shù)據(jù)和待反演參數(shù)之間的地球物理映射關(guān)系，以此矩陣求得的權(quán)重λj代替式(1)中的λi，從而完成初始模型的建立(圖2)。

圖2 初始模型建立流程

從初始模型建立流程(圖2)可知，應(yīng)用地震波形相似性指導(dǎo)已知井參數(shù)信息建立初始模型的過程與常規(guī)序貫采樣方式不同，在每一個待預(yù)測點都經(jīng)過嚴格的波形優(yōu)選進行偽克里金插值，已插值點并不參與下一個未知點的插值過程，每個插值點的模擬都從實際優(yōu)選樣本出發(fā)進行無偏最優(yōu)估計，有效降低了地震噪聲的影響和隨機誤差的累積。

建立具有波形指示的初始模型過程中需要注意地震波形樣本選取的時窗和樣本井的最高截止頻率這兩個重要參數(shù)的選取。地震波形樣本選取的時窗用于對比待預(yù)測點地震波形和井旁地震道波形組成點的個數(shù)，下文將該參數(shù)簡稱為有效樣本數(shù)。參與井樣本的最高截止頻率代表參與井的目標層井數(shù)據(jù)達到一定相似性時的頻率；當參與井目標層的井旁地震道地震波形達到一定的相似度時，通過不斷對參與井的目標層縱波阻抗數(shù)據(jù)進行高頻濾波，發(fā)現(xiàn)參與井的目標層井數(shù)據(jù)之間的相關(guān)系數(shù)隨著最高截止頻率的降低而增大，當其與井旁地震道的相關(guān)系數(shù)相同時，頻率范圍遠遠大于地震數(shù)據(jù)的有效頻寬[34]。最后，利用普通偽克里金插值方法在地震波形相似性的指導(dǎo)下對含有高頻成分的優(yōu)選井樣本數(shù)據(jù)進行無偏最優(yōu)估計，并將優(yōu)選井的縱波阻抗數(shù)據(jù)作為先驗信息，從而建立具有地震波形指示的初始模型，該模型包含了確定性較強(大于地震有效頻寬)的寬頻縱波阻抗參數(shù)。

1.2 M-H算法

MCMC算法的主要目的是構(gòu)成一條平穩(wěn)分布的馬爾科夫鏈，同時該鏈是不可約的[21]。M-H算法是構(gòu)造馬爾科夫鏈的一種常用方法。本文采用M-H算法根據(jù)某個建議分布不斷迭代后驗概率密度函數(shù)，使其達到平穩(wěn)條件。

首先，設(shè)q(θ，v)是與目標后驗概率密度分布π(θ|D)較接近的某已知分布D，一般稱其為建議分布，也稱為備選生成密度，q(θ，v)表示參數(shù)θ的潛在轉(zhuǎn)移θ→v，滿足

(17)

(1)任意選擇一個初值θ(t)，并令t=0 ；

(2)從q[θ(t)，v]中生成一個備選值θ*，并從均勻分布U(0，1)中抽取隨機數(shù)μ；

(3)若μ≤α[θ(t)，θ*]，則θ(t+1)=θ*，否則令θ(t+1)=θ(t)，此時接受概率[26](轉(zhuǎn)移核概率)為

(18)

(4)令t=t+1 ，并返回到步驟(2)，反復(fù)迭代直至平穩(wěn)狀態(tài)。

很容易證明，以此種方式構(gòu)建的接受概率α(θ，v)滿足細致平衡條件。

1.3 基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法

基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法，充分利用地震數(shù)據(jù)之間的相關(guān)系數(shù)代替測井數(shù)據(jù)之間的相關(guān)系數(shù)，構(gòu)建具有地震波形指示的初始模型。以此為基礎(chǔ)，在貝葉斯框架下構(gòu)建觀測地震數(shù)據(jù)和測井數(shù)據(jù)協(xié)同約束的后驗概率密度分布，并將其作為目標函數(shù)，結(jié)合M-H算法不斷擾動模型參數(shù)，利用后驗均值作為模型參數(shù)的最優(yōu)解，并且取多次有效實現(xiàn)的均值作為期望值輸出，有效提高了反演穩(wěn)定性和橫向連續(xù)性。

反演問題[35]可以表述為

p(m|d)=f(m)+e

(19)

式中：p(m|d)為待反演參數(shù)的后驗概率密度函數(shù)，m為地震波形指示初始模型約束，d為觀測數(shù)據(jù)；f為正演算子；e為觀測噪聲。在貝葉斯框架下聯(lián)合似然函數(shù)p(d|m)和先驗信息p(m)的p(m|d)可寫為[36]

p(m|d)=p(m)·p(d|m)

(20)

(21)

(22)

式中N為采樣點的個數(shù)。式(20)變?yōu)?/p>

(23)

式中：ε為可調(diào)因子；λ為常數(shù)。

為了得到所估參數(shù)的后驗概率密度分布p(m|d)，利用M-H算法生成馬爾科夫鏈，其建議分布函數(shù)取為高斯分布

(24)

其中q(mk，m*)表示采樣點為k時的初始模型的值mk的潛在轉(zhuǎn)移(mk→m*)，轉(zhuǎn)移概率[22]為

(25)

為了使馬爾科夫鏈最終收斂于未知參數(shù)m的后驗概率分布，后驗概率密度分布即為平穩(wěn)分布p(m)·p(d|m)。令

(26)

則轉(zhuǎn)移概率[28]為

α(mk，m*)=exp[α′(mk，m*)]

(27)

其中

α′(mk，m*)=min{0，J(m*)+lg[q(m*，mk)]

-J(mk)-lg[q(mk，m*)]}

(28)

最后，在M-H采樣算法下不斷擾動模型參數(shù)，多次隨機模擬具有地震波形指示的初始模型參數(shù)，利用后驗均值作為模型參數(shù)的最優(yōu)解。

2 二維模型試算

為了進一步驗證基于地震波形約束的MCMC隨機反演效果，抽取部分Marmousi2模型反演試算疊后縱波阻抗IP。模型時窗為1000～1240ms，從部分Marmousi2模型(圖3a)中隨機抽取11道縱波阻抗數(shù)據(jù)作為已知偽井數(shù)據(jù)(圖3b)，利用偽井數(shù)據(jù)與30Hz的雷克子波合成的地震數(shù)據(jù)(圖3c)建立初始模型(圖4)?？梢姡河行颖緮?shù)越小，初始模型的橫向連續(xù)性越差，縱向分辨率越高，反之亦然；有效樣本數(shù)為10時初始模型的縱向分辨率和橫向分辨率相對較高(圖4b)，間接反映了原始阻抗模型(圖3a)的大致特征，因此取該模型作為模型測試的最終初始模型。

為了更好地測試基于地震波形約束的MCMC隨機反演的抗噪性，分別對含噪和無噪地震數(shù)據(jù)進行二維反演測試。圖5為初始模型第42道數(shù)據(jù)的基于地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果。由圖可見，地震噪聲對反演結(jié)果影響不大。圖6為反演結(jié)果及其合成記錄。由圖可見：無噪數(shù)據(jù)、含噪數(shù)據(jù)地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果(圖6c、圖6e)與原始模型(圖6a)相近，表明地震波形約束的MCMC隨機反演方法具有較好的抗噪性和可行性；無噪數(shù)據(jù)、含噪數(shù)據(jù)的地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果合成記錄(圖6d、圖6f)均與原始地震記錄(圖3c)基本一致。

圖3 縱波阻抗模型以及原始地震記錄(a)縱波阻抗； (b)縱波阻抗偽井數(shù)據(jù)； (c)原始地震記錄

圖4 有效樣本數(shù)分別為5(a)、10(b)、15(c)和20(d)時建立的初始模型

圖5 初始模型第42道數(shù)據(jù)的基于地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果(a)無噪； (b)信噪比為10

圖6 反演結(jié)果及其合成地震記錄(a)原始模型； (b)地震記錄(信噪比為10)； (c)地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果(無噪)； (d)圖c的 合成記錄； (e)地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果(信噪比為10)； (f)圖e的合成記錄

3 實際資料應(yīng)用

將基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法應(yīng)用于中國東部F區(qū)實際數(shù)據(jù)。該區(qū)面積約為20km2，區(qū)內(nèi)有11口井，反演時窗為2000～2600ms，采樣率為2ms。將經(jīng)過標準化和精細井震標定的11口井作為樣本井，建立具有波形指示的初始模型。任意選取一個過兩口井的剖面為研究資料。根據(jù)樣本井縱波阻抗曲線與對應(yīng)的井旁地震道分析結(jié)果，為了盡可能使井曲線與地震波形具有較好的映射關(guān)系，以保證目標層樣本井曲線間的相關(guān)系數(shù)大于目標層井旁地震道間的相關(guān)指數(shù)，對樣本井作低通濾波，選取最高截止頻率為130Hz，從而建立地震波形指示的初始模型?；诘卣鸩ㄐ渭s束的MCMC隨機反演的目的是提高隨機反演方法的確定性和反演結(jié)果的分辨率，同時降低反演結(jié)果的隨機性。

圖7為第57道某點的馬爾科夫鏈，可見經(jīng)過10000次迭代后縱波阻抗的馬爾科夫鏈基本收斂。鑒于本文利用后驗均值作為模型參數(shù)的最優(yōu)解，為了確保反演結(jié)果的精度，盡可能降低反演解的隨機性，在二維實際資料反演時設(shè)置迭代次數(shù)為12000，并取后2000次的反演結(jié)果均值作為1次隨機反演結(jié)果輸出。

圖8為第57道不同初始模型的反演結(jié)果。由圖可見：對比不同方法的1次反演結(jié)果(圖8a、圖8c)表明，基于地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果的穩(wěn)定性高于確定性反演結(jié)果，且后者使用不同的初始模型對反演結(jié)果影響不大；對比不同方法的20次反演結(jié)果(圖8b、圖8d)表明，不同模型的基于地震波形約束的MCMC隨機反演效果好于確定性反演。為了對比基于地震波形約束的MCMC隨機反演和確定性反演的效果，在下文前者采用具有地震波形指示的初始模型，后者采用普通低頻模型。

圖9為第57道不同樣本數(shù)的反演結(jié)果。由圖可見，基于地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果的高、低頻信息豐富(圖9b、圖9d)，有效緩解了確定性反演精度對初始模型的依賴，且反演結(jié)果的縱向分辨率較高。

圖10為基于地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果及初始模型。由圖可見：①有效樣本數(shù)為10的初始模型(圖10e)效果好于有效樣本數(shù)為20的初始模型(圖10f)，且能反映20次反演結(jié)果(圖10b)的基本特征。②有效樣本數(shù)為10(圖10b)、20(圖10d)的20次反演結(jié)果趨勢和井曲線趨勢大致吻合，且前者的反演精度更高。對比原始地震記錄(圖11a)與有效樣本數(shù)為10的反演結(jié)果合成記錄(圖11b)可見，兩者幾乎一致，也證明基于地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果的可靠性。

圖7 第57道某點的馬爾科夫鏈

圖8 第57道不同初始模型的反演結(jié)果(a)常規(guī)初始模型1次反演結(jié)果； (b)常規(guī)初始模型20次反演結(jié)果； (c)有效樣本數(shù)為10的地震 波形指示初始模型1次反演結(jié)果； (d)有效樣本數(shù)為10的地震波形指示初始模型20次反演結(jié)果

圖9 第57道不同樣本數(shù)的反演結(jié)果(a)有效樣本數(shù)為10的合成記錄與原始地震記錄； (b)有效樣本數(shù)為10的20次反演結(jié)果； (c)有效樣本數(shù)為20的合成記錄與原始地震記錄； (d)有效樣本數(shù)為20的20次反演結(jié)果

圖10 基于地震波形約束的MCMC隨機反演結(jié)果及初始模型(a)有效樣本數(shù)為10的1次反演結(jié)果； (b)有效樣本數(shù)為10的20次反演結(jié)果； (c)有效樣本數(shù)為20的1次反演結(jié)果； (d)有效樣本數(shù)為20的20次反演結(jié)果； (e)有效樣本數(shù)為10的初始模型； (f)有效樣本數(shù)為20的初始模型 將兩口驗證井的縱波阻抗曲線投射在反演剖面中，為了更好地了解井曲線變化趨勢，對井曲線進行了130Hz的低通濾波

圖12為不同反演結(jié)果。由圖中的白色虛線標記區(qū)域可見：基于地震波形約束的隨機反演方法(圖12a)和常規(guī)隨機反演方法(圖12c)均有效地提高了反演精度，對識別調(diào)諧尺度內(nèi)的薄儲層具有一定優(yōu)勢；前者在提高縱向分辨率的同時也提高了橫向分辨率，且在引入波形指示初始模型的約束下，反演結(jié)果具有豐富的高、低頻信息，有效地緩解了常規(guī)稀疏脈沖反演(圖12b)精度對初始模型(圖12d、圖12e)的依賴。

圖11 原始地震記錄(a)與有效樣本數(shù)為10的反演結(jié)果合成記錄(b)

圖12 不同反演結(jié)果(a)有效樣本數(shù)為10的基于地震波形約束的MCMC 20次隨機反演結(jié)果； (b)常規(guī)稀疏脈沖反演 結(jié)果； (c)常規(guī)隨機反演結(jié)果； (d)基于波形指示初始模型的稀疏脈沖反演結(jié)果； (e)常規(guī)初始模型

4 結(jié)論

(1)本文采用基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法，利用地震波形的相似性指導(dǎo)測井數(shù)據(jù)建立具有波形指示的初始模型；此外，在貝葉斯框架下構(gòu)建了觀測地震數(shù)據(jù)和測井數(shù)據(jù)協(xié)同約束的后驗概率密度分布，引入M-H采樣算法多次隨機模擬初始模型參數(shù)，利用后驗均值作為模型參數(shù)的最優(yōu)解，有效地提高了反演的穩(wěn)定性和橫向連續(xù)性。

(2)考慮到MCMC隨機反演方法的固有性質(zhì)，其反演精度和馬爾科夫鏈迭代效率受不同建議分布以及不同模型約束條件的影響較大。為了盡可能降低這些不確定因素的影響，提高反演的穩(wěn)定性，本文在MCMC隨機反演方法的基礎(chǔ)上加入波形指示的初始模型約束，可以使馬爾科夫鏈快速收斂，間接提高了反演效率，同時也改善了隨機反演精度和橫向連續(xù)性。

(3)模型試算和實際資料反演效果表明，基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法具有較好的抗噪性，有效提高了反演精度，對識別調(diào)諧尺度內(nèi)薄儲層具有一定優(yōu)勢，在提高縱向分辨率的同時也提高了橫向分辨率。