改進最小二乘算法在天文定位中的應用

黃坤陽, 劉先一, 張志利

(1. 火箭軍工程大學導彈工程學院, 陜西 西安 710025; 2. 中國人民解放軍96901部隊, 北京 100080)

0 引 言

運用數字天頂儀進行天文定位是一種高精度的天文定位方法,數字天頂儀通過電荷耦合元件(charge-coupled device,CCD)星敏感器拍攝星圖,對拍攝的星圖進行讀取并與星表結合進行星圖識別。建立識別恒星的CCD圖像坐標系和天球切平面坐標系之間的映射關系,再迭代運算數次后最終實現對測站點位置的精確定位[1-7],其中坐標系轉換參數的精度直接影響了最終的解算結果。

運用數字天頂儀定位時采用Helmet模型進行坐標之間的轉換[8-12],恒星的CCD圖像坐標和天球切平面坐標均含有一定的誤差[13-18]。在對坐標轉換參數進行解算時常采用最小二乘算法[19-22],最小二乘算法只考慮了觀測量的誤差,沒有考慮系數矩陣的誤差[23-25]。總體最小二乘算法能同時顧及系數矩陣和觀測量的誤差[26-28],但是總體最小二乘算法認為系數矩陣中的數值均含有一定的誤差,實際上系數矩陣中存在著不含誤差的常系數列(或常系數行)。

為了高精度地解算識別恒星的坐標轉換參數,本文首先將最小二乘算法和總體最小二乘算法進行有效組合，構成混合最小二乘算法,既考慮了矩陣中的常系數列(或常系數行)也顧及了系數矩陣及觀測量中的誤差[29-32]。然后，針對數據中可能存在粗大誤差的問題,考慮到混合最小二乘算法抵抗粗大誤差的能力較差[33],提出穩健加權的混合最小二乘算法,對識別的恒星數據進行加權。最后，運用數據仿真對所提算法的優越性進行了證明。

1 天文定位中坐標轉換模型

在運用數字天頂儀進行定位的過程中,由CCD星敏感器拍攝天頂上的星圖,通過星表進行星圖識別,建立識別恒星的天球切平面坐標系和CCD圖像坐標系,兩個坐標之間的轉換采用Helmet轉換模型,則有:

(1)

式中,(u,v)為識別恒星在天球上的切平面坐標,切平面坐標通過識別恒星的赤經赤緯解算得到;(x,y)為識別恒星的CCD圖像坐標,通過讀取CCD圖像坐標得到;a,b,c1,c2為坐標轉換參數。令

l=[u1，u2,…,un,v1,v2,…,vn]T

(2)

(3)

當識別星點的數目較多時,式(1)可表示為

l=Ax

(4)

式中,A為由識別恒星的CCD圖像坐標組成的系數矩陣;l為切平面組成的矩陣;x為轉換參數。

2 天文定位中坐標轉換參數解算

2.1 最小二乘算法

當識別恒星點的數目多于求解參數的數目時,采用最小二乘算法求解參數。最小二乘算法考慮了觀測量的誤差,用V表示殘差量構成的矩陣,則有:

V=Ax-l

(5)

運用最小二乘算法有:

VTP0V=min

(6)

(7)

運用最小二乘算法求解參數的前提是系數矩陣A中沒有誤差,但是在運用數字天頂儀進行定位的過程中,系數矩陣A由識別恒星的CCD圖像坐標組成。在對圖像坐標進行讀取的過程中會產生一定的誤差量,也就是采用最小二乘算法不能消除讀取CCD圖像星點時造成的誤差,所以直接采用最小二乘算法是不合理的。

2.2 總體最小二乘算法

總體最小二乘算法是一種能夠同時顧及系數矩陣和觀測量誤差的算法。在進行參數求解的過程中,當系數矩陣和觀測量均含有一定的誤差時,應當采用總體最小二乘算法。

結合式(4),當系數矩陣和觀測量中均含有誤差時,可將方程組表示為

(A+EA)x=l+El

(8)

(9)

式中,v1為識別恒星在天球切平面坐標中對應的誤差;v2為識別恒星在CCD圖像坐標中對應的誤差。總體最小二乘算法估計的準則可表示為

(10)

在進行星圖匹配時,可能因恒星質心誤差或匹配錯誤等原因造成識別恒星數據中含有粗大誤差,粗大誤差的存在會直接影響參數最終的解算精度。而總體最小二乘算法對粗大誤差的抵抗能力較差,所以直接采用總體最小二乘算法并不能有效消除粗大誤差對參數的影響。

2.3 穩健加權的混合最小二乘算法

在進行天文定位的過程中,需要高精度地求解CCD圖像坐標與天球切平面坐標之間的轉換關系,而常用的坐標轉換模型是Helmet模型。此時系數矩陣中含有不含誤差的常數列,而其余每一列都有誤差且不可忽略,并且在觀測量中也含有一定的誤差。

2.3.1 混合最小二乘算法

將最小二乘算法與總體最小二乘算法進行有效結合構成混合最小二乘算法,這樣能夠同時顧及到系數矩陣和觀測向量的誤差,并且能夠考慮到系數矩陣中的常數列。

將系數矩陣A和轉換參數x分解為

(11)

式中,m為觀測量的個數;n為待估參數的個數;A1為不含誤差的常數列;n1，n2分別為矩陣A1和A2對應的參數個數。可以將方程組表示為

A1x1+(A2+EA2)x2=l+El

(12)

采用奇異值分解法對式(12)進行求解,對系數A1進行奇異分解:

A1=QR1

(13)

將奇異分解得到的Q的轉置矩陣QT左乘式(12)得

(14)

有矩陣:

(15)

所以可將式(12)分解表示為

(16)

(17)

式中,x2tls為運用最小二乘算法求解的結果。

然而在運用混合最小二乘算法求解模型參數時,沒有將恒星數據中的粗大誤差考慮在內,而粗大誤差會對解算的參數產生較大影響,所以對混合最小二乘算法進行穩健加權處理。可得混合最小二乘算法殘差值的表達式:

(18)

穩健混合最小二乘算法的參數估計值為

(19)

(20)

(21)

2.3.2 權陣P的設置

在天頂儀的拍攝過程中,由于城市燈光、空中飛行器、儀器電路噪聲等因素的影響,星圖中可能出現不存在的“假星”。同時,數字天頂儀采取離焦的方式拍攝恒星,星等越低,星點成像越大,灰度值越大。因此,恒星的星等越低,星點提取的精度越高,可靠性越好,加權時所賦權重應越大。數字天頂儀可觀測的星等極限為11星等,天空中觀測到的最亮恒星天狼星(大犬座α)為-1.45 Mv。Ii表示第i顆星的星等,Pi表示對應的權值,各星點的權值構成為

Pi=1-0.080 32×Ii

(22)

式中，Pi∈[0,1]。結合系數矩陣A的特點,設置相應權陣:

(23)

式中,P0的第1個和第2個對角元素為0,表示系數矩陣A的第1列和第2列不需要修正,其余對角線元素為1,表示矩陣A的第3列和第4列元素是等精度獲取的;PX、PY與星等有關。

3 數據分析

在天文定位的解算過程中,識別恒星的天球切平面坐標和CCD圖像坐標均含有誤差,而且在恒星數據中可能會含有粗大誤差。為了比較穩健加權的混合最小二乘算法對數據處理的效果,模擬出一組數據。構造函數u=-5x+8y+6,v=8x+5y+2,選取一組數據,如表1所示。

表1 初始數據值

對數據加入一定的誤差,并在第4個數據上加入粗大誤差,如表2所示。

表2 添加誤差的數據值

分別運用最小二乘、總體最小二乘、混合最小二乘和穩健加權混合最小二乘算法對系數求解,結果如表3所示。

表3 不同算法的求解值

對天文定位而言,天球切平面坐標系和CCD圖像坐標系之間的轉換系數會直接影響旋轉中心的解算值,所以對坐標轉換系數精度的要求就顯得極為重要。以參數估計值與實際值之差的平方和作為評價解算方法優劣的一項重要指標,即

(24)

比較最小二乘、總體最小二乘、混合最小二乘和穩健加權混合最小二乘算法可以得出表4中的δ值。

表4 不同算法之間的比較值

從表4可以看出,不同算法的比較值差異較大。最小二乘和混合最小二乘的值比較接近,總體最小二乘的值最大并且遠大于其他算法,穩健加權混合最小二乘的值最小。這表明運用穩健加權混合最小二乘解算的參數值與實際值最為接近,精度也最高。其他算法的精度從大到小依次為混合最小二乘、最小二乘和總體最小二乘，充分體現了穩健加權混合最小二乘算法的優勢,證明了該算法能夠有效提高天文定位中的求解精度。

4 結 論

運用數字天頂儀進行天文定位的過程中,坐標系轉換參數的求解對于測站點位置的解算至關重要。本文對最小二乘算法和總體最小二乘算法進行有效組合，構成了混合最小二乘算法,并通過穩健加權消除粗大誤差對解算結果的影響。通過對數據的分析,表明穩健加權的混合最小二乘算法在天文定位中的求解精度更高,解算的參數值與實際的值更為接近。