2011年泰州中考數學第28題解析

張美娟 焦建林

摘 要： 文章以一道中考題為例，通過試題探源，思路分析，解法探討來挖掘中考試題的命題依據，引導教師教學要追本溯源，發揮教材應有的價值.

關鍵詞： 中考;數學;解析;探源

中圖分類號： G632?????? 文獻標識碼： A?????? 文章編號： 1008-0333（2021）35-0054-02

一、原題呈現

2011年泰州中考第28題：在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限.

（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標;

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上;

（3）設點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由.

二、試題分析

這試題來源于蘇科版教材八年級（下）第95頁的第22題：如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉，在這個過程中，這兩個正方形的重疊部分的面積會發生變化嗎？

該試題保留了原來的正方形ABCD，并把正方形ABCD放置到平面直角坐標系中，然后讓正方形

ABCD的頂點A和頂點B分別在坐標軸上運動，保持邊長不變.

重點考查

點的坐標、勾股定理、全等三角形、三角形的中位線、角平分線定理的逆定理、等弧所對的圓心角相等、不等式組、三角函數等知識點.

這種命題方式是從教材出發，充分挖掘教材的命題價值，一方面關注了學生的應試心理，另一方面，引導教師教學要追本溯源，發揮教材的教學價值.

三、解法探索

（1）當∠BAO=45時，如圖1，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，PA=PB，所以∠PAB=∠PBA=45°.

因為∠BAO=45°，∠AOB=90°，所以∠ABO=45°，所以∠PBO=∠PAO=90°，所以四邊形OBPA為矩形，又因為PB=PA，所以四邊形OBPA為正方形.所以PO=AB=a，PA=OA，PA⊥OA.在等腰直角△OPA中，根據勾股

定理可求：PA=OA=? 2? 2 a，所以點P的坐標為（? 2? 2 a，? 2? 2 a）.

（2）本小題我們可以從多個角度、用多種方法解決.

方法1 ?要證明點P在∠AOB的平分線上，其實就是要說明點P到∠AOB的兩邊距離相等，因此就可以考慮經過點P分別作OA、OB的垂線段，垂足分別為點F、點E，如圖2.因為∠AOB=90°，∠EPF=90°.由（1）可知，∠BPA=90°，所以∠EPB=∠FPA.由（1）可知，PB=PA，所以△EPB≌△FPA（AAS），所以PE=PF，即點 P到∠AOB的兩邊距離相等.所以無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上.

方法2? 如圖3，設OA=m，OB=n，且m、n滿足m2+n2=a2，所以點A（m，0），點B（0，n），過點D作DN⊥x軸于點N，易證△OAB≌△NDA，所以AN=BO=n，DN=AO=m，所以ON=m+n，所以點D的坐標為，D（m+n，m）.因為四邊形ABCD為正方形，所以點P為BD的中點，所以點P（ m+n 2 ， m+n 2 ），所以點P到兩坐標軸的距離相等，所以無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上.

方法3? 要證明點P在∠AOB的平分線上，其實就是要說明點∠AOP（或∠BOP）=45°，那原來圖形中有

有沒有現成的45°呢？有的，∠ABP（或∠BAP等），那么怎樣建立∠AOP和∠ABP之間的聯系呢？可以通過圓的知識進行角度之間的轉化.那這里怎么會想到圓的呢？其實，在圖形運動變化過程中，∠AOB和∠APB始終都是90°，這是“變中不變”的量.考慮到△AOB和△APB是有公共斜邊的直角三角形，公共邊AB是聯系這兩個直角三角形的“橋梁”，所以取AB的中點M，連接MO、MP，如圖4，所以MO=MP= 1 2 AB.因此點O、B、A、P在以AB為直徑的圓上，所以∠AOP=∠ABP=45°.所以無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上.

（3）過點P作PG⊥x軸于點G，因為點P到x軸的距離為h，所以 PG=h.

方法1? 如圖5，根據“垂線段最短”可知，h≤PA，并且當PA⊥x軸（如圖1）時，h=PA，因為PA=? 2? 2 a，所以h≤? 2? 2 a.若PA與x軸不垂直，在Rt△PGA中，PG=PA·sin ∠PAG， 因為點B在y軸正半軸上運動，所以∠PAG>45°，所以sin ∠PAG>sin 45°，所以sin ∠PAG>? 2? 2 ，所以PG=PA·sin ∠PAG>? 2? 2 a·? 2? 2 = 1 2 a， 即h> 1 2 a. 綜上，h的范圍是： 1 2 a方法2? 如圖6，在整個圖形變化的過程中，∠OPG始終等于45°，因為△PAB為等腰直角三角形，所以，如果過點P作

P⊥AB于點，可得兩個不變的量：∠PA=45°，P= 1 2 a.根據∠OPG=∠PA=45°可得∠KP=∠APG，又∠KP=∠PGA=90°，則△KP∽△AGP，則 KP AP = P PG ，即：KP·PG=AP·P，所以KP·PG=? 2? 2 a· 1 2 a，則KP=?? 2? 4 a2 PG ，因為P≤KP