基于似然函數的雙曲調頻信號參數估計快速算法

馬碧云 元達鵬 劉嬌蛟*

①(華南理工大學電子與信息學院 廣州510640)

②(自然資源部海洋環境探測技術與應用重點實驗室 廣州510300)

1 引言

線性調頻(Liner Frequency Modulation,LFM)信號被廣泛地應用于雷達偵查、地震勘測、水聲通信與仿生聲吶等領域，而能否準確地估計出接收信號的參數，將直接影響探測精度，所以對LFM信號的參數估計是一個近年來比較重要的研究方向，國內外學者也作了深入廣泛的研究[1–5]。然而在水聲環境等復雜的應用場景中，物體間的相對運動會造成多普勒效應，這種多普勒效應不僅會影響接收信號的脈沖壓縮結果，也會影響接收信號的參數估計結果，因此LFM信號難以適應此類動態場景的需求。有鑒于此，研究者引入了雙曲調頻(Hyperbolic Frequency Modulation,HFM)信號。HFM信號不僅具有良好的脈沖壓縮性能，還具有多普勒不變性[6]，即經過多普勒效應影響的接收信號仍可與匹配濾波器匹配，因此HFM信號近年來在水聲等多普勒影響嚴重的應用領域中得到了廣泛的研究，但是目前針對HFM信號參數估計問題的研究較為有限[7,8]。在參數估計問題上，最大似然估計由于其自身估計算法的精度極高，受到廣大研究學者的推崇，然而最大似然估計涉及多維搜索的過程，存在因計算量大而無法直接在實際工程中使用的問題。因此本文針對HFM信號，提出一種基于似然函數的HFM信號參數估計快速方法。

本文安排如下：第1節敘述HFM信號以及其參數估計問題的研究背景以及應用意義；第2,3節將介紹HFM信號的特征，并推導HFM信號參數估計的Cramer-Rao下界，作為本文參數估計方法的性能評估標準；第4,5節將基于噪聲的高斯隨機過程，構建HFM信號的似然函數，利用GABC算法對似然函數進行全局最優化搜索，并針對算法的優化過程，提出一種改進的適應度函數；第6節將通過蒙特卡洛試驗驗證本文所述方法的有效性，結果表明本方法在保證估計精度的同時能提高算法收斂速度。

2 HFM信號

可見式(2)是關于時間t的雙曲函數，因此稱為雙曲調頻信號。

另外，HFM信號的多普勒不變性表現為：經過多普勒效應影響的HFM信號除了存在一個時域上的時間偏移 ?t外，并不會產生多普勒頻移，且其瞬時頻率仍然保持相同的調頻率k與初始頻率f0，因此仍可與匹配濾波器完全匹配[9]，上述結果可表示為

式中，fH(t)為 原HFM信號的瞬時頻率，fDH(t)為HFM信號經過多普勒效應影響后的瞬時頻率，時間偏移?t=(1?α)/αkf0，其中α為多普勒尺度因子。

因此相比于LFM信號，HFM信號具有多普勒不變性，經多普勒尺度變化后的信號參數仍保持不變，在復雜水聲環境中的信號參數估計問題上具有一定優勢。

3 高斯白噪聲下的Cramer-Rao下界

在參數估計問題中，Cramer-Rao下界為任意無偏估計量的方差確定下界，即無偏估計量的方差只能無限逼近Cramer-Rao下界，但不會小于該下界[10]。因此，本節通過推導Cramer-Rao下界，為任意無偏估計量的性能比較提供了一個參考標準。

在高斯白噪聲環境下，采樣所得的HFM信號服從高斯隨機過程

4 HFM信號的似然函數

HFM信號參數的最大似然估計為漸近無偏估計，在理論上最大似然估計可以逼近Cramer-Rao下界，具有極高的估計精度。

其中，fs為采樣頻率；w(n),n∈{1 2···M}為零均值的復高斯白噪聲隨機過程，其實部與虛部方差均為常量σ2，且相互獨立；其中調頻率k與初始頻率f0的最大似然估計值為HFM信號參數估計的最終目的。

為了方便化簡，式(12)可表示為向量形式

5 似然函數優化問題

傳統的最優化算法如牛頓迭代法、最速下降法、共軛梯度法等，由于對目標函數有著較高要求，比如要求目標函數必須可導，因此在大多數實際問題中無法使用。近年來，仿生智能優化算法因其對復雜問題具有高效的優化性能且無需目標函數導數信息等優點，受到研究學者的廣泛關注。在最優化算法的搜索過程中，均需要通過反復計算適應度函數值進行個體篩選，因此適應度函數的選取將直接決定算法的收斂速度以及能否尋得最優解。有鑒于此，本文根據最優化算法的搜索過程改進了其中的適應度函數，使得最優化算法在保證準確性的同時降低一定的計算量。

5.1 最優化算法

隨著1975年遺傳算法(Genetic Algorithms,GA)的提出，經過幾十年的發展，研究學者針對不同的應用問題提出了多種仿生智能算法，各種方法因適用范圍不同，都有一定的優缺點，需要根據實際的問題進行選擇應用。

Karaboga等人[12]于2007年提出人工蜂群(Artificial Bee Colony,ABC)算法用于解決多變量函數優化問題，后來Zhu等人[13]提出全局最優引導的人工蜂群算法(Global best-guided Artificial Bee Colony algorithm,GABC)，它的基本思想是將每個蜜源位置表示為待求問題的一個可行解，并通過模仿蜜蜂采蜜行為來進行最優解搜索。GABC算法在多維函數優化問題上表現優秀，且具有魯棒性強、控制參數較少等優點。相比于ABC算法，GABC算法通過跟隨當前最優值進行搜索，優化結果精度更高。因此針對似然函數的優化問題，本文選擇GABC算法作為下文研究HFM信號參數估計問題的最優化算法。

5.2 時間復雜度分析

在優化過程中，最優化算法無一例外地需要在每一次迭代中，對適應度函數進行與個體數量同等次數的計算，以得到所在位置參數下的適應度大小，因此不同最優化算法的時間復雜度如表1所示。

其中最大似然估計中的D為待估計參數的總數，u j與lj分別是第j個參數的搜索范圍上界與下界，p j為第j個 參數的遍歷精度；CGA,CABC,CGABC分別為GA算法、ABC算法、GABC算法的個體數量，NGA,NABC,NGABC分別為GA算法，ABC算法，GABC算法的最大迭代次數，Tfit為適應度函數的時間復雜度。

由表1可以看出，適應度函數的復雜度是最優化算法整體復雜度的主要組成部分，因此適應度函數的設計需要盡可能簡單，使得整體算法的時間復雜度最小。

5.3 適應度函數的優化

在最優化算法中，優化過程正是對解成員進行“優勝劣汰”的過程，而解成員的好壞由它的適應度函數值所決定，因此適應度函數的選取將直接決定算法的收斂速度以及能否尋得最優解。

表1 不同方法的時間復雜度

對于HFM信號的參數估計問題，傳統的適應度函數為壓縮概率函數[14]，即蜜源個體mi的適應度fiti(m i)為

然而若采用式(24)作為適應度函數，每次計算都將涉及矩陣取逆的高復雜度操作；并且由于參數(k i,f0,i)在優化過程中是隨機選取，因此存在SH(k i,f0,i)S(k i,f0,i)矩陣不可逆的可能性；此外在部分最優化算法(如ABC算法、GABC算法)中，涉及同時對多個個體進行適應度計算，而式(24)的每次計算只能得到單個個體的適應度，缺乏并行計算能力。

使用式(25)作為最優化算法的適應度函數計算公式，不僅避免了式(24)復雜的矩陣求逆運算，以及存在矩陣不可逆而導致的精度下降，且避免通過低效率的循環去計算多個個體[m1m2···m C]的適應度值，從而提升了最優算法的整體收斂速度。

6 實驗驗證

實驗1：適應度函數的有效性驗證

由于最優化算法是通過不斷比較適應度函數值的大小進行優化搜索，因此適應度函數的有效性需要首先得到驗證，即通過對適應度函數進行優化搜索能得到正確的參數估計值。圖1分別為適應度函數式(24)與優化后的適應度函數式(25)在不同參數組合下的2維遍歷，其中HFM信號的初始頻率f0為1.5 MHz，調頻率k為–0.077802。

如圖1(a)所示，當適應度函數取得最大值時，橫縱坐標所代表的參數估計值與初始設定值相同。其中縱軸為待估計HFM信號的初始頻率，橫軸表示待估計HFM信號的調頻率。而相比于圖1(a)，圖1(b)雖在部分有一定的隆起，但在該適應度函數取得最大值時，橫縱坐標所代表的參數估計值也與初始設定值相同，滿足作為適應度函數的條件。

實驗2：估計值的均方誤差與Cramer-Rao下界對比

本文通過1000次蒙特卡洛仿真試驗，對比了多種參數估計方法在HFM信號參數估計問題中的性能。在優化算法的參數設置如下：在GA算法中，令種群大小為40，最大遺傳代數為1000，個體長度為20，代溝為0.95，交叉概率為0.7，變異概率為0.01；在ABC算法中，蜂群群落大小為60，最大迭代次數為1000；在GABC算法中，蜂群群落大小為80，最大迭代次數為100；在最大似然估計法中，f0的遍歷精度為50 Hz;k 的遍歷精度為 1 ×10?5。

圖1 不同適應度函數的2維遍歷結果

圖2 不同方法下估計參數的均方誤差與Cramer-Rao下界

圖2為在–10～10 d B信噪比內多種參數估計方法的性能比較。如圖2所示，5種估計方法的均方誤差都隨著信噪比的增加，總體呈現下降的趨勢：其中最大似然估計的性能最優，均方誤差可隨著搜索精度的提升而逼近Cramer-Rao下界；對于GA算法，在信噪比達到0 d B以上時，受信噪比的影響將減小，均方誤差的變化將趨于平緩；與ABC算法而言，由于問題針對性較強，因此其估計結果的均方誤差小于GA算法，但仍與最大似然估計的性能有明顯差距；相比之下，GABC算法由于引入了全局最優引導項，因此其估計結果的精度更高，均方誤差能隨著信噪比的增加而逼近Cramer-Rao下界。

另外從圖中可知，標準GABC算法相比于采用優化后的適應度函數式(25)的GABC算法，前者存在矩陣不可逆的可能性，因此兩曲線在圖中沒有完全重合，但總體性能相差不大；在信噪比為4 dB以上時，后者的均方誤差更接近于最大似然估計的性能。而在信噪比為10 d B時，對于參數k和f0，與最大似然估計的均方誤差相比，前者相差分別為4.44 d B與3.22 d B，而后者分別相差2.09 d B與0.68 d B，后者更接近最大似然估計的性能。在水下應用中由于噪聲水平不高，信噪比大致保持在5 dB以上，因此文中所述方法能被有效地用于HFM信號的參數估計問題中。

實驗3：收斂速度對比

在完成有效性的驗證后，下面對比GABC算法、與采用優化后的適應度函數式(25)的GABC算法在HFM信號參數估計問題中的收斂速度以及算法耗時，其中兩種GABC算法的參數設置均相同，蜂群群落大小為20，最大迭代次數為80。

如圖3所示，GABC算法和采用優化后的適應度函數式(25)的GABC算法均能在50次迭代內尋得最優值，雖然后者收斂速度稍快，但總體相差不大。因此可以預見的是，在相同的迭代次數內，適應度函數的時間復雜度越低，GABC算法的實現效率就越高。

圖3 基于不同適應度函數的GABC算法收斂速度

因此本文通過Matlab中的探查器(Profile)可得算法的時間消耗，即最大似然估計的時間消耗為13738.8 s，GABC算法的時間消耗為1.785 s，適應度函數優化后的GABC算法的時間消耗為0.715 s。可見針對HFM信號的參數估計問題，采用本文提出的適應度函數式(25)的GABC算法在具有較高精準度的同時，也具有較快的收斂速度。

7 總結

本文首先推導出HFM信號參數估計的Cramer-Rao下界，作為本文參數估計性能的評估標準。然后基于高斯隨機噪聲，構建了HFM信號的似然函數，并結合數據向量化的特點提出一種改進的適應度函數，最后利用GABC算法對該適應度函數進行極值尋優，從而實現HFM信號的參數估計；通過蒙特卡洛仿真證明了本方法在信噪比為3 d B以上時，HFM信號的參數估計結果的均方誤差更逼近Cramer-Rao下界，且運算量約是原來的1/3。