一種確定壓縮機軸系彈簧質量模型參數的方法

翟昭偉，李曉莎，李 璐

(1.山東科瑞壓縮機有限公司技術開發中心，山東東營 257000；2.中國石油大學勝利學院基礎科學學院，山東東營257000)

1 引言

以活塞式壓縮機為例，由于其結構特點，活塞在氣缸中承受的氣體力與其慣性力共同作用在曲柄銷，使得曲軸在運行過程中，承受著交變載荷。一旦激勵頻率與曲軸的固有頻率接近或重合，就會使壓縮機軸系產生共振。共振產生的后果比較復雜，比如造成軸瓦早期磨損，曲軸的疲勞損傷，機器振動過大停機等后果。如果沒有良好的保護措施，嚴重時會造成軸系破壞。設備停機不但帶來巨大的經濟損失，同時嚴重危害人員和設備的安全。

由于壓縮機軸系可靠性在設備安全運行中的重要作用，軸系振動分析得到了深入的研究和應用[1，2]。

目前在進行壓縮機軸系扭振分析時，通常采用有限元方法建立整個軸系的三維實體模型，或者是將軸系簡化為集中質量模型[3]。然而無論是采用有限元方法分析時建立實體模型，還是將軸系簡化為集中質量模型，在建模的過程中，都會產生誤差，使得模型并不十分準確，特別是電機轉子以及聯軸器，建立的模型往往存在較大的誤差，甚至得到錯誤的結果。

隨著計算機技術的不斷進步，實驗模態分析技術得到了長足的發展和廣泛的應用，通過測得非參數模型相關數據，運用參數識別方法，可以求得系統的模態參數，即得到系統的模態頻率，模態向量，模態阻尼等參數[4]。對于壓縮機軸系，通過模態測試技術可以獲得軸系或其中某個部件的固有頻率和振型。盛頌恩[5]等人提出了一種利用軸系兩階固有頻率和振型計算軸系模型的方法，這種方法能夠快速計算出軸系質量和剛度模型，然而如果構建的系數矩陣存在相關性，就無法進行求解，需要重新構建系數矩陣。

利用實測得到的軸系多階固有頻率和振型，結合軸系扭振模型的特點，推導出計算軸系彈簧質量模型參數的方程。采用這種方法計算得到的固有頻率和振型能夠與實際測量值保持一致，這為進一步的軸系分析打下堅實的基礎。

2 系統矩陣法

求解線性多自由度系統固有頻率和振型的方法比較多，常用的方法包括鄧克利法、瑞利法、里茨法、矩陣迭代法、傳遞矩陣法等。這些方法各有特點，適用于計算自由度數比較大的模型，是利用計算機技術的一種近似解法。

壓縮機軸系模型結構單一，自由度數較少。應用多自由度系統振動理論，可以建立壓縮機軸系無阻尼扭轉自由振動的數學模型[7]

農村供水工程是農民直接受益且見效最快的水利項目，可以通過宣傳有關政策，講解項目情況，使農民充分認識建設供水工程的重要意義。采取民主議事、“一事一議”等方式，鼓勵和引導農民投資投勞，完成供水入戶工程建設，形成政府與農民群眾共同興修供水工程的新局面，建立政府與群眾共同投入的良性機制。同時，發揮財政資金作用，引導農戶、農村基層組織和農民專業合作組織參與建設與管護全過程。今后，要在統一規劃基礎上，按照多籌多補、多干多補原則，加大“一事一議”財政獎補力度，探索完善政府與群眾共同投入的良性機制。

其中 K——半正定三對角剛度矩陣

I——正定對角轉動慣量矩陣

p——振型向量

ωn——自振頻率

D——系統矩陣

采用集中質量法進行壓縮機軸系扭振問題分析時，寫出質量矩陣和剛度矩陣后，利用（1）式和（2）式即可求解出系統的各階固有頻率和振型。

3 彈簧質量模型參數的確定

壓縮機軸系經過簡化后的彈簧質量模型如圖1所示。

式（1）是某一固有頻率和振型構成的齊次線性方程組，展開后可寫成如下形式

由于質量矩陣為正定陣，式（3）可變換成如下形式

利用（4）式，將n階固有頻率和振型進行組合，得到如下形式

其中B是由模型的n個互不相等的固有角頻率的平方ω12，ω22，…，ωn2組成的對角矩陣

圖1

P是由對應于各固有頻率的振型向量組成的矩陣

由于n階互不相等的固有頻率對應的振型線性無關，因此振型矩陣可逆。對式（5）的兩端同時右乘P-1，得

其中振型向量矩陣P和固有頻率矩陣B可通過模態測試得到。

先求系統各質量，比較式（9）和式（10）可知

采用上述方法，任意給出n階模態向量和相對應的固有頻率后，可由式（13）求出各轉動慣量，然后根據式（15）計算出各彈簧剛度值。壓縮機軸系扭振分析時，通常只考慮前幾階固有頻率的影響，因此在建立彈簧質量模型以及測試時，也只需考慮所需階數的固有頻率和振型。

4 數值算例

已知某扭振系統的12階固有頻率和振型，其中第一階為軸系剛體轉動。

軸系總的轉動慣量為

M=6.85（kg·m2）f1=0 Hz，f2=111.41 Hz，f3=426.17 Hz，f4=479.05 Hz，f5=701.37 Hz，f6=1007.34 Hz，f7=1086.81 Hz，f8=1167.27 Hz，f9=1549.78 Hz，f10=2330.30 Hz，f11=2541.05 Hz，f12=2706.2 Hz，且ω=2πf，單位為rad/s。

利用MATLAB軟件，可根據式（13），計算得到各集中質量的值，扭振系統中的質量為轉動慣量，其單位為kg·m2。I1=0.04634，I2=0.97384，I3=1.42969，I4=0.48902，I5=0.02656，I6=0.16958，I7=3.22625，I8=0.072，I9=0.151，I10=0.151，I11=0.072，I12=0.038；

再由式（15），計算得到相鄰集中質量之間的扭轉剛度，單位為N·m/rad。K1，2=2362190，K2，3=6336010，K3，4=12672030，K4，5=4213150，K5，6=3104920，K6，7=1673140，K7，8=5501000，K8，9=8483000，K9，10=8011000，K10，11=8483000，K11，12=2131000。

5 結論

軸系可靠是壓縮機安全運行的保障之一。文中提出的方法，結合試驗模態分析技術，運用多自由度系統振動理論，推導了計算軸系彈簧質量參數的過程。由此得到的彈簧質量數據，可應用于建立更為復雜模型，能有效降低建模誤差，保證模型的準確性，為進一步的軸系分析提供可靠的基礎數據。