數學建模視角下的新加坡小學數學書Learning Maths

[摘 要] 新加坡數學在TIMSS和PISA兩大測試中脫穎而出，備受國際數學教育界關注。新加坡數學練習書Learning Maths將新加坡數學教育的精髓數學建模融入其中，而且在解題方法、編排方式、學習效果檢測、家庭教育、信息技術的應用等方面具有獨特之處。通過對新加坡小學數學書Learning Maths的剖析，進一步挖掘新加坡數學教育的內涵，探討其中可資借鑒之處。

[關鍵詞] 新加坡數學;數學建模;Learning Maths;數學教育;教學大綱

[作者簡介] 王麗美（1987—），女，山東臨沂人，碩士，滇西科技師范學院數理學院講師，主要從事數學教育、教育統計研究。

[中圖分類號] G40-01? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2021）13-0147-04? ?[收稿日期] 2020-12-29

一、問題提出

數學成就的國際研究在數學教育界日益受到重視，最引人注目的是由國際教育成就評價協會（IEA）主導的“國際數學與科學教育成就趨勢調查研究（TIMSS）”，以及由經濟合作與發展組織（OECD）主持的國際學生評估項目（PISA），這兩項研究旨在評估不同國家及地區學生的學業成就，同時致力于尋找解釋學生數學成就差異的原因[1] （P1）。新加坡數學在TIMSS和PISA兩大測試中脫穎而出，得到了國際數學教育界的重視與關注，這也映射出新加坡數學教育的獨到之處，即加強了數學建模思維在數學教育中的滲透。本研究從數學建模視角分析新加坡數學練習書Learning Maths，期望為我國中小學數學叢書的編寫提供可借鑒的地方。

張文宇和傅海倫對新加坡數學教材My Pals are Here！Maths進行剖析，提出了此本數學教材很好地將問題解決與數學教學結合，優于我國數學教材的地方[2]。郭紅敏在碩士學位論文中對新加坡數學教材My Pals are Here！Maths進行了具體比較分析和研究，指出新加坡數學教材中例題和習題隨著年級的升高數量呈上升趨勢，認為這本數學教材是新加坡使用范圍最廣泛、被公認較為成功的一版教科書[3]。

本文研究的新加坡數學練習書Learning Maths正是新加坡數學教材My Pals are Here！ Maths的配套練習書，涵蓋了從幼兒園到小學階段（Nursery-G6），由Singapore Asia Publishers（新亞出版社，簡稱SAP）出版。這家出版社主要出版幼兒園和中小學各科的輔導教材，新加坡最暢銷的數學練習書就是這本Learning Maths。通過對新加坡小學數學書Learning Maths的剖析，進一步挖掘新加坡數學教育的內涵，以期為我國小學數學叢書的編寫提供有益的借鑒。

二、新加坡數學教育的特點

新加坡的數學教育主要是突出發展邏輯演繹和歸納能力，并通過解決數學問題發展學生的數學思維和推理技能[4]。新加坡數學最大的亮點就是“中西合璧”，既有東方人的學習風格，又接軌了西方的學習方式，借鑒了西方的經驗，而且用全英文教學。這就形成了新加坡獨特的數學教育觀念。

新加坡數學特有的“CPA教學法”，也被稱為“三步教學法”，最早是在20世紀60年代由美國心理學家杰羅姆·布魯納（Jerome Bruner）提出的[5]。新加坡小學數學學習的過程經歷了以下三個階段：C-Concrete具象化、P-Pictorial形象化和A-Abstract抽象化。而新加坡數學教育最大的亮點在于這個形象化過程，也就是“Model Drawing”。通過這種形象化環節衍生出數學建模，建立簡單易懂、標準化的模型來解決數學問題。新加坡的學生從一年級就開始接觸這種思維模式，將抽象的數學問題用圖像的形式進行表現，讓學生直觀地理解各事物之間的聯系，更好地幫助學生解決數學問題，從而培養學生的數學思維和提高學生解決數學問題的能力。瑞士發展心理學家皮亞杰提出認知發展階段論：2～7歲的孩子處在前運算階段，7～11歲的孩子僅處于具體運算的階段[6] （P112-113）。也就是說，中小學生正處在形象思維發達的階段，而抽象邏輯思維能力還在形成中。新加坡數學“CPA教學法”正好符合發展心理學這一理論。新加坡數學教學大綱2013版明確了課堂教學中數學建模的過程，強調從現實情境中提煉出數學建模，利用數學方法加以解決，再回歸現實情境給出解題方案[7]。建模思維模式應該是新加坡數學教育最重要的特色了。

三、Learning Maths的獨特之處

SAP出版的Learning Maths完全配套新加坡數學教材My Pals are Here！Maths，涵蓋了從幼兒園到小學階段（Nursery-G6）。這套數學練習書將新加坡數學教育理念融會貫通，獨特之處主要表現在以下幾個方面：

（一）注重數學建模教學法

數學建模是現實世界與數學世界溝通的橋梁，進入21世紀，很多國家將數學建模納入數學課程標準中，數學建模越來越受到數學教育界的重視[8]。新加坡小學數學書Learning Maths加入了新加坡數學的精髓數學建模，注重培養小學生的推理能力和抽象思維能力，通過創設情境，鍛煉學生解決問題的能力。該數學書主要涵蓋了以下三種建模方法。

1.counting建模法。counting建模法是最初級的數學建模模型，主要應用在數數、代數和運算中。新加坡數學注重這個形象過程的建立，通過簡單模型的建立，讓學生掌握解題方法和思路，形成數學思維。

2.拆分組合建模法。拆分建模法是將數（兩位數）拆分成整十數和個位數，這樣就將兩位數加法簡化成一位數加法，使題目變得更簡單，也能更快得出答案。組合建模法可以用在多個數組合相加的運算中，我們經常將整十的數組合在一起，也就是Make Ten（湊10）原則。在多個數相加的運算中，可以用組合建模法來計算，這樣降低了題目的難度，計算速度也加快了。

3.Word Problem建模法。在數學學習的過程中，應用題是常見的題型。應用題是用文字來表述數量關系，包括已知條件和所求問題。中小學生往往不能很好地理解應用題的題意。通過Word Problem建模法主要是簡化應用題，幫助中小學生理解題意，將題目可視化，從而解出數學問題。

（二）解題方法多樣

Learning Maths里面的題目對應新加坡數學教材，采用“從易到難，螺旋上升”的編排方式，而且題目的靈活度比較高，同一個數學概念可以用多種不同的解題方法和思路。比如加法運算題，可以用6種解題思路來充分認識加法概念——counting建模法、數位拆分組合法、豎式計算、湊整原則、兩位數的豎式計算、進位加法。同時，這套書重視數學應用題，從小學一年級就開始涉及求解應用題，每個模塊的學習中，先給出一頁的范例供學生思考，然后配有相應的應用題來鍛煉學生的數學思維。在養成數學邏輯思維模式的同時，還可以鍛煉中小學生的英語閱讀水平。

（三）重視編排方式的合理性

新加坡小學數學書采用內容上小跨度的螺旋模式，題目依據“由易到難、螺旋上升”的規律去設計，使題目的跨度合理，將知識和內容很好地銜接起來。新加坡數學教科書比較重視例題呈現的完整性，幾乎所有的例題都呈現完整性。而這本Learning Maths每道題都附有詳細的解答過程，讓中小學生養成良好的作答習慣，也供家長和學生參考[3]。

（四）配套的數學學習效果檢測

從一年級開始，每本書目錄的后面都有一張Work Performance，也就是學習效果表。通過學習效果表學生能很清楚地看到題目的進度和掌握度。而且每本書都有一個配套的在線學習資料，可以在線檢測最近的學習效果，資料后面都附有詳細的答案可以參考。這種形式的學習可以有效檢測中小學生的學習效果，提高學生的自我監控和調控能力。

（五）融入家庭數學教育

新加坡數學教材My Pals are Here！Maths中有“Home Maths”欄目，而這套Learning Maths完全可以作為“Home Maths”，成為學校教育與家庭教育的一個橋梁。該欄目主要是讓家長和學生一起做數學活動，給家長參與孩子的數學學習提供有意義、具體的建議。這樣不僅可以增進親子關系，也可以提高孩子學習數學的興趣，實現家庭與學校教育的有效結合[9] （P9）。

（六）信息技術的使用

信息技術的使用是新加坡小學數學書Learning Maths的又一大特色，教材的很多內容都與信息技術深度融合。這給學生提供了豐富的資源，有利于學生掌握利用信息技術解決問題的能力。特別是幾何畫板在教學活動中的靈活使用，充分發揮了“以學生為主體，以教師為主導”的新課程模式的作用，激發了學生的學習興趣，提高了學生自主探究的能力。

四、啟示

通過對新加坡小學數學書Learning Maths的分析，我們可以看出新加坡練習冊建立在最新版2013版的新加坡數學教學大綱的基礎上，而且完全匹配新加坡最受歡迎且使用率最高的數學教材;充分融入了新加坡數學教學理念和數學教學法，將數學建模貫穿始終;合理的編排方式和完善的配套資源，可有效地檢測學習效果。總結新加坡數學書Learning Maths的獨特之處，以期為中國中小學數學叢書的修訂和編寫提供一些幫助。

（一）數學建模思想的滲透

早在2001年，《全日制義務教育數學課程標準（實驗版）》中就提出，小學數學具體鮮明的階段性、初始性特點，更多地是指用數學建模的思想來指導數學的學習，從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽成數學建模并進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展[ 10 ]。中國與新加坡有相似的東方文化，我們可以多借鑒新加坡獨特的數學教育理念，結合我國小學數學教育的具體情況，來指導我國小學數學叢書的編寫和制定。充分發揮數學建模思想對于小學數學學習的指導作用，讓小學生將實際問題抽象成數學問題，并通過解決數學問題來發展學生的數學思維。

（二）關注教材配套資源的審核和規范

我國數學教材配套資源良莠不齊，而新加坡完整的教材配套措施和嚴格的教材審核制度是一種有益的借鑒[ 11 ]。針對我們的小學數學教育大綱和數學教材編寫完全配套的數學叢書，題目應依據“由易到難、螺旋上升”的規律去設計，使題目的跨度合理，銜接性更強。特別是增強題目的靈活度，使我國小學生在透徹理解數學概念的基礎上，采用多種數學解題思路和角度去解決數學問題。并且加大數學應用題的比例，讓數學題目更加接近生活，使數學生活化，從而激發小學生學習數學的興趣。小學數學叢書的答案要充分體現完整性，既引導學生在解決數學問題時重視數學過程，又為小學生提供學習的幫助。

（三）重視家庭教育和學習效果的檢測

數學教育中家庭教育占有不可忽視的地位，也是家長了解學生學習狀況和檢測學生學習效果的一種途徑。2015年10月，教育部下發了《關于加強家庭教育工作的指導意見》，2019年新修訂的《全國家庭教育指導大綱》，以習近平新時代中國特色社會主義思想特別是習近平關于教育的重要論述為指導，進一步明確了家長在家庭教育中的主體責任，希望家長在不斷全面學習家庭教育知識的基礎上，更加系統掌握家庭教育的科學理念和方法[ 12 ]。我國小學數學叢書可以加入“Home Maths”欄目，并增加在線配套練習系統，使家長參與學校教育，更科學地指導孩子的數學學習，也為家長指導孩子提供素材。

（四）注重信息技術與教材的深度融合

新加坡小學數學書Learning Maths與信息技術深度融合，給數學教育帶來勃勃生機。2019年2月，中共中央、國務院印發的《中國教育現代化2035》開啟了教育現代化的新征程，讓信息技術發揮最大的優勢，將數學學科與信息技術深度融合，更好地為教學和學生服務。這一重要政策要求我們重視信息技術與教材的深度融合，充分發揮信息技術的作用，為實現中國教育現代化2035貢獻一份力量。

2017年7月，為貫徹落實《關于加強和改進新形勢下大中小學教材建設的意見》，國務院決定成立國家教材委員會，足以彰顯國家對于教材的重視程度。通過對新加坡小學數學書Learning Maths的剖析，進一步挖掘新加坡數學教育的內涵，以期為我國小學數學叢書的編寫提供有益的借鑒。

參考文獻

[1]曹一鳴，梁貫成.21世紀的中國數學教育[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]張文宇，傅海倫.新加坡與中國小學數學教材的比較研究[J].外國教育研究，2011（7）：36-39+82.

[3]郭紅敏.中國與新加坡小學數學教科書的比較研究[D].曲阜：曲阜師范大學，2016.

[4]李涵.新加坡小學數學教育的特點及其啟示[J].教學與管理，2018（29）：56-58.

[5]Bruner JS. The Course of Cognitive Growth[J].AMERICAN PSYCHOLOGIST， 19（1）：1-15.

[6]Piaget Jean. The principles of genetic epistemology[M]Routledge and K. Paul，1970.

[7]金海月，喬雪峰.新加坡數學課程特色、發展趨向及其啟示[J].外國中小學教育，2017（3）：61-66+73.

[8]黃英芬，顏寶平，龍紅蘭.從應用題到建模問題的回譯——一種開發數學建模素材的新思路[J].數學通報，2019（9）：34-37.

[9]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京師范大學出版社，2011.

[10]許衛兵.磨·模·魔——小學數學教學中滲透模型思想的思考[J].課程·教材·教法，2012（1）：89-94.

[11]沈丹丹，郭芳莉.新加坡小學數學教材的發展過程、特色及啟示[J].課程·教材·教法，2010（7）：102-106+112.

[12]中華人民共和國教育部.教育部關于加強家庭教育工作的指導意見[Z].中華人民共和國教育部公報，2015：49-51.

Abstract： The outstanding performance of Singapore mathematics education in TIMSS and PISA has attracted much attention from the international mathematics education circles. Singapore mathematics exercise book learning maths incorporates mathematical modeling which is the essence of Singapore mathematics education. This book has its own unique features in problem solving methods， compilation methods， testing of learning effects， family education， application of information technology and so on. Through the analysis of Learning Maths， a primary school math book in Singapore， this paper further explores the connotation of Singapores mathematics education， hoping to provide a useful reference for Chinas mathematics education.

Key words： Singapore mathematics; mathematical modeling; Learning Maths; mathematics education; syllabus