非線性氣動彈性系統陣風載荷迭代學習控制

吳奕誠 許行之 楊章梁 蘇飄飄

【摘 要】文章研究了亞音速不可壓來流中二元機翼氣動彈性系統顫振主動控制問題。采用俯仰方向含有多項式非線性模型建立氣動彈性動態方程，在非線性模型存在參數不確定性和陣風載荷的情況下，通過使用界限復合能量函數（BCEF）的方法，利用Lyapunov穩定性理論進行帶有狀態約束的迭代學習控制律設計。仿真結果顯示，系統狀態變量和控制變量都能夠快速地達到穩定狀態，表明所設計的控制律可以有效地實現對多項式非線性二元機翼顫振的抑制。

【關鍵詞】迭代學習控制;非線性控制系統;顫振抑制;界限復合能量函數（BCEF）;陣風載荷

【中圖分類號】V215.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2021）04-0039-05

在一定的飛行條件下，含有結構非線性的氣動彈性系統可能出現極限環振蕩甚至混沌等不穩定現象[1]。文獻[2]對不同類型的翼段結構非線性進行了深入的討論。非線性顫振主動控制問題主要針對的是連續的多項式非線性的研究[3-7]。文獻[8-9]對間隙、雙線性遲滯環等不連續非線性系統的顫振特性進行了分析。文獻[10]考慮了大展弦比機翼的幾何非線性的影響，并進行了氣動彈性分析。

目前，針對非線性顫振主動控制中所用到的控制策略主要包括處理氣動彈性系統中參數完全確定的反饋線性化方法[11]，以及解決當系統中存在參數不確定性時的自適應控制方法[3-4]、局部反饋線性化[5-6]或全局反饋線性化[7]與自適應控制理論相結合等方法。文獻[12]利用L1自適應方法對包含有陣風載荷的非線性氣動彈性系統進行了分析，但其控制器的設計本質上只是針對俯仰角的振動控制。文獻[13-14]基于二階滑模控制的方法設計了一個不連續的控制律，實現消除不確定性和陣風干擾的作用，然而并未討論非線性系統狀態約束的問題。文獻[15-16]提出了一種新穎的迭代學習控制方法，該方法是在隊列條件下，通過使用界限復合能量函數（BCEF）的方法，所設計的控制器能夠滿足狀態約束，可以有效地處理非線性系統的參數和非參數不確定性問題。

本文針對多項式非線性二元機翼，并同時考慮非線性參數不確定性和陣風干擾，利用狀態約束迭代學習控制方法實現了非線性氣動彈性顫振的主動控制。

1 氣動彈性模型與控制問題

二元機翼模型如圖1所示，其運動方程[17-18]如下：

其中，h為沉浮位移;α為俯仰角;m為機翼質量;b為機翼半弦長;Ia為機翼慣性矩;xa為彈性軸到機翼重心的無量綱距離;kh和ka（α）分別為沉浮方向和俯仰方向的剛度系數;ch和ca分別為沉浮方向和俯仰方向的結構阻尼系數;L，M分別為氣動力和力矩。ka（α）表示俯仰方向含有多項式非線性剛度，其非線性函數如下：

準定常氣動力表達式如下：

其中，a為機翼彈性軸到中心的無量綱距離;ρ為密度;cla和cma分別為單位攻角對應的升力系數和力矩系數;clβ和cmβ分別為單位控制面偏轉角對應的升力系數和力矩系數;β為控制面偏轉角;U為來流速度。

由陣風引起的氣動力和力矩表達式如下：

此處，考慮到剛度的參數不確定性，公式（7）可以寫為 =g+θζ+Bβ+dg。（9）

其中，g是中包含已知參數的部分，θ是和非線性剛度相關的矩陣，ζ是不確定性參數的狀態變量，表示如下：

矩陣中各系數分別為系統參數的函數，具體如下：

2 控制律設計

引入迭代學習控制算法，選擇控制面偏轉角作為系統輸入u=? β（t），期望的狀態為xd=[hd αd? d? d]T，由于控制的目的是為了抑制系統的振動，因此取xd=[0 0 0 0]T，則系統的運動學模型可表示如下：

為了推導出迭代學習控制律，誤差動力學方程表示如下：

并滿足如下假設：

（1）存在一個有界李雅普諾夫函數（BLF）V和一個非負的K類函數γ，有這樣一個向量 ∈Rn，當|| ||→kb時，V→∞，這里|| ||為歐幾里得范數，并且g（，t）≤-γ（||||）。

（2）滿足隊列條件，也就是先前迭代的最終狀態成為當前迭代的初始狀態，即ei（0）=ei-1（T）。

本文采用的學習控制率為ILC迭代學習控制，其形式設計如下：

為了確定參數更新規律，同時保證公式（11）是漸進穩定的，定義Lyapunov函數[14]：

為了便于分析，在第i次迭代時，引入非負的界限李雅普諾夫函數（BCEF），形式如下：

通過設計 ，利用李雅普諾夫穩定性理論分析系統的穩定性，可以得到△Ei（T）≤- γ（||ei||）dτ，這意味著Ei（T）沿著迭代軸是單調遞減的，進而利用BCEF函數的導數可證明系統每次迭代時的有界性。最終，通過分析得到 ||ei||=0， t∈[0，T]，可見，系統狀態跟蹤誤差是收斂的。證明過程可參考文獻[14]。因此，有如下形式的參數更新規律：

3 算例分析

仿真過程中所用到的系統參數取值如下[16]：b=0.135 m，m=12.387 kg，Ia=0.065 kg·m2，xa=[0.087 3-（b+ab）]/

b，kh=2 884.4 N·m-1，ch=27.43 N·m-1·s-1，s=0.6 m，ρ=1.225 kg·m3，cla=6.28，clβ=3.358，cma=（0.5+a）cla，cmβ=-0.635，a=-0.684 7。非線性部分以四階多項式表示，其參數選為{Kaj}，=[6.8614 7.8480 663.288 7 65.275 2 -4992.794 4]，顫振控制器迭代學習增益取值為kb=0.35，p=1，λ=0.012。對于以上參數，選取速度為16 m·s-1，初始條件為h（0）=0.02m，α（0）=0.1rad，h（0）=α（0）=0。

設計過程中考慮陣風干擾，對于三角陣風，其表達式如下：

wG（τ）=2w0 （H（τ）-H（τ- ））+2w0（ -1）（H（τ-τG）-H（τ- ）） （19）

其中，H（·）表示單位階躍函數，τG=UtG/b，tG=0.5，w0=0.7。

正弦陣風和指數陣風干擾其表達式分別如下：

wG（τ）=w0sin（6πτ/τG）-（H（τ）-H（τ-τG）） （20）

wG（τ）=H（τ）w0（1-e ） （21）

其中，τG=UtG/b，tG=1.05，w0=0.07。

3種陣風干擾的速度分布如圖2所示。圖3為圖2所示的外部干擾下所對應的系統開環響應。從圖3（a）、（b）可以看出，在三角陣風干擾下，當U=10 m/s時，h、α收斂于零點，而從圖3（e）～（f）可以看出，當U=16 m/s時，在指數陣風和正弦陣風的作用下，系統在短暫的瞬態后，產生了極限環。這是由于當U=10 m/s，線性系統的極點為（-1.47±14.596i，-0.648 6±7.050 3i），系統是穩定的;而當U=16 m/s時，系統極點為（-3.413 4±13.148 8i，0.892 2±12.200 5i），系統變得不穩定了。

圖4為在三角陣風干擾下，w0=0.7，U=10 m/s時的系統閉環響應。很顯然，在加入控制后h、α都收斂于零點，相比較于開環系統響應的圖3（a）、（b），開環系統的收斂時間大約是7 s，而閉環系統的收斂時間大約是3 s，因此控制后的閉環系統有一個更快的響應時間。圖5為在三角陣風干擾下，w0=2，U=16 m/s時的系統閉環響應?？梢钥吹?，盡管增大了陣風的強度，而俯仰方向的響應在2 s內就收斂到零，沉浮方向的響應在大約2.5 s時收斂到零，這表明控制輸入的增益[b33 b44]T是隨著來流速度的增大而增加的，可見，此時控制面的控制效率提高了。圖6是在正弦陣風干擾下，系統的閉環響應。從圖中可以發現，俯仰方向的振動在2 s內就被抑制了，而沉浮方向的振動抑制用了大約3 s。指數陣風干擾下閉環系統的響應如圖7所示?？梢钥吹剑到y的振動都被抑制了，響應的收斂時間大約都在3 s內。但從圖8卻看到，當w0的值增大到1時，指數陣風干擾的其他參數均不變，此時系統響應盡管仍然收斂于穩定狀態，但不再收斂于零了，俯仰方向的響應收斂于穩定狀態的平衡值大約是0.065 rad，而沉浮方向的響應收斂的平衡值大約是-0.008 m。以上的分析表明，在考慮模型參數不確定性和指數陣風、正弦陣風及三角陣風的干擾下，所設計的控制器可以有效地實現對非線性顫振的抑制。

4 結論

通過使用界限Lyapunov函數（BLF）的方法設計控制器，不同于傳統的全局正定和徑向無界的Lyapunov函數（QLF），BLF會在參數接近一定的限定值時趨向于無限，通過確保BLF沿系統軌線的有界性，從而防止了違背約束條件，因此可以有效地處理非線性系統的參數和非參數不確定性問題，保證狀態跟蹤誤差達到一致收斂。

傳統的迭代學習控制過程需要相同的初始條件，即每次迭代開始都需要時間和狀態的重置，而本文所推導的迭代學習控制方法，其前提是基于隊列條件，它不同于重復控制（RC），僅需要時間上的重置，因此具有更廣泛的適用性。利用其控制思想，還可方便地推導出具有輸出約束的非線性迭代學習控制器。

參 考 文 獻

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