基于解題認知循環系統的數學思維的培養
——以2020 年高考全國卷3 第17 題為例

劉楊霞

(湖南科技大學數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201)

引言

解題是學生利用原有認知經驗,對問題進行表征和模式識別,然后將問題遷移,最終獲得解決方案或問題答案的信息加工行為,其認知過程的各個階段交互影響,形成一個解題認知循環系統[1](如圖1 所示)。

圖1

解題認知循環系統包含多種思維活動,根據解題認知循環系統探究數學思維培養模式是至關重要的。

一、深刻性思維的培養---對問題進行深層表征,揭示其本質

深刻性思維指在數學思維活動中的抽象深度。依據解題認知循環系統,其培養需對問題進行深層表征,即從深層去理解題意。且在表征問題時,要在記憶中尋找與問題相適宜的知識和策略(如圖2 所示)。

圖2

題目(2020 年高考全國卷3 第17 題)。

設數列{an}滿足a1=3,an+1=3an?4n。

二、廣闊性思維的培養---對問題的解答運用不同角度的模式給出不同的解法

廣闊性思維指思維活動作用的廣泛范圍。依據解題認知循環系統,其培養旨在從不同角度尋找與問題表征相匹配的模式,再將問題進行遷移和轉化。以下將以第一問的問題為例,闡述如何提升思維的廣闊性(如所圖3 示)。

圖3

解法3:利用數學歸納法，證明是否對任意的n∈N+,猜想an=2n+1都成立。

解法回顧,以上三種解法分別為:依據遞推公式的轉化,將已知代入求證得;依據遞推公式的結構,設立參數,利用已知設立方程組求解方程即得通項公式;利用數學歸納法對猜想進行推理證明。三種解法分別從不同的方位,思想給出不同的解法,引導學生在保持問題的整體性不變下,放開思路思考,使廣闊性思維得到增強。

三、靈活性思維的培養---對問題作變更，進行變式和設立開放問題

靈活性思維指思維活動變通的靈活程度，指善于用變化的思想來看待數學內容[2]。依據解題認知循環系統,其培養旨在對原始問題從不同角度進行變更,使學生在新的問題情境下調控自己的思維,建構新的圖式,防止因思維定式而產生解題負遷移(如圖4 所示)。

圖4

變式分析:變式題目為考察求和的其它方法,如常用的裂項相消法,不再是原題的錯位相減法（將"nS”與”qnS”的表達式進行錯項對齊）,促使學生思維靈活變通。

變式分析:將數列與一次函數相結合,滲透函數與方程的思想,融合多方面知識,使學生思維的靈活性得到提升。

變式分析:設置思維陷阱,提示學生分類討論思想在解題中的重要性,全面思考問題,訓練學生敏銳的觀察力與思維的敏捷性。

變式分析:以上條件開放式問題,旨在通過條件不唯一的特點,引導學生變通,靈活處理問題,能多維度考慮問題而不是被特定的思維模式所阻攔,以加強學生思維的靈活性。

四、批判性思維的培養---對解題過程及結果進行自我監控和質疑反思

批判性思維是思維活動中自我調節的判斷[3]。依據解題認知循環系統,其培養旨在對各個階段進行監視和調控(如圖5 所示)。使學生對自身的數學知識和數學認知結構有所認識和評價,并做出相應調整和改變,有利于創新能力的培養[4]。

圖5

對該道高考題,其自我監控和質疑反思可具體闡述如下:

對該道數列題的理解是否深入,對問題的相關知識點是否能順利建立聯系;第一問的三種解法蘊含的數學思想,數學推理是否掌握到位;自己能否從三個不同角度進行解答,不能的原因是什么;當題目的條件和問題進行轉換時,能否在新的情境中快速分析其數學關系,轉變思維策略,給出解題方案;對該道題中同學們出現的錯誤解法進行展示,讓各小組之間進行討論分析,闡述其矛盾出處及為何會產生這樣的錯誤。

綜上可知,依據解題認知循環系統,不斷對解題的認知過程和學生已有的工作記憶進行有效循環,可優化學生數學思維的境界,加強數學素養的可持續性。