基于解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)
——以2020 年高考全國(guó)卷3 第17 題為例

劉楊霞

(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

引言

解題是學(xué)生利用原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),對(duì)問題進(jìn)行表征和模式識(shí)別,然后將問題遷移,最終獲得解決方案或問題答案的信息加工行為,其認(rèn)知過程的各個(gè)階段交互影響,形成一個(gè)解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng)[1](如圖1 所示)。

圖1

解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng)包含多種思維活動(dòng),根據(jù)解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng)探究數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)模式是至關(guān)重要的。

一、深刻性思維的培養(yǎng)---對(duì)問題進(jìn)行深層表征,揭示其本質(zhì)

深刻性思維指在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的抽象深度。依據(jù)解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng),其培養(yǎng)需對(duì)問題進(jìn)行深層表征,即從深層去理解題意。且在表征問題時(shí),要在記憶中尋找與問題相適宜的知識(shí)和策略(如圖2 所示)。

圖2

題目(2020 年高考全國(guó)卷3 第17 題)。

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an?4n。

二、廣闊性思維的培養(yǎng)---對(duì)問題的解答運(yùn)用不同角度的模式給出不同的解法

廣闊性思維指思維活動(dòng)作用的廣泛范圍。依據(jù)解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng),其培養(yǎng)旨在從不同角度尋找與問題表征相匹配的模式,再將問題進(jìn)行遷移和轉(zhuǎn)化。以下將以第一問的問題為例,闡述如何提升思維的廣闊性(如所圖3 示)。

圖3

解法3:利用數(shù)學(xué)歸納法，證明是否對(duì)任意的n∈N+,猜想an=2n+1都成立。

解法回顧,以上三種解法分別為:依據(jù)遞推公式的轉(zhuǎn)化,將已知代入求證得;依據(jù)遞推公式的結(jié)構(gòu),設(shè)立參數(shù),利用已知設(shè)立方程組求解方程即得通項(xiàng)公式;利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)猜想進(jìn)行推理證明。三種解法分別從不同的方位,思想給出不同的解法,引導(dǎo)學(xué)生在保持問題的整體性不變下,放開思路思考,使廣闊性思維得到增強(qiáng)。

三、靈活性思維的培養(yǎng)---對(duì)問題作變更，進(jìn)行變式和設(shè)立開放問題

靈活性思維指思維活動(dòng)變通的靈活程度，指善于用變化的思想來看待數(shù)學(xué)內(nèi)容[2]。依據(jù)解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng),其培養(yǎng)旨在對(duì)原始問題從不同角度進(jìn)行變更,使學(xué)生在新的問題情境下調(diào)控自己的思維,建構(gòu)新的圖式,防止因思維定式而產(chǎn)生解題負(fù)遷移(如圖4 所示)。

圖4

變式分析:變式題目為考察求和的其它方法,如常用的裂項(xiàng)相消法,不再是原題的錯(cuò)位相減法（將"nS”與”qnS”的表達(dá)式進(jìn)行錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊）,促使學(xué)生思維靈活變通。

變式分析:將數(shù)列與一次函數(shù)相結(jié)合,滲透函數(shù)與方程的思想,融合多方面知識(shí),使學(xué)生思維的靈活性得到提升。

變式分析:設(shè)置思維陷阱,提示學(xué)生分類討論思想在解題中的重要性,全面思考問題,訓(xùn)練學(xué)生敏銳的觀察力與思維的敏捷性。

變式分析:以上條件開放式問題,旨在通過條件不唯一的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生變通,靈活處理問題,能多維度考慮問題而不是被特定的思維模式所阻攔,以加強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性。

四、批判性思維的培養(yǎng)---對(duì)解題過程及結(jié)果進(jìn)行自我監(jiān)控和質(zhì)疑反思

批判性思維是思維活動(dòng)中自我調(diào)節(jié)的判斷[3]。依據(jù)解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng),其培養(yǎng)旨在對(duì)各個(gè)階段進(jìn)行監(jiān)視和調(diào)控(如圖5 所示)。使學(xué)生對(duì)自身的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有所認(rèn)識(shí)和評(píng)價(jià),并做出相應(yīng)調(diào)整和改變,有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[4]。

圖5

對(duì)該道高考題,其自我監(jiān)控和質(zhì)疑反思可具體闡述如下:

對(duì)該道數(shù)列題的理解是否深入,對(duì)問題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是否能順利建立聯(lián)系;第一問的三種解法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)推理是否掌握到位;自己能否從三個(gè)不同角度進(jìn)行解答,不能的原因是什么;當(dāng)題目的條件和問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí),能否在新的情境中快速分析其數(shù)學(xué)關(guān)系,轉(zhuǎn)變思維策略,給出解題方案;對(duì)該道題中同學(xué)們出現(xiàn)的錯(cuò)誤解法進(jìn)行展示,讓各小組之間進(jìn)行討論分析,闡述其矛盾出處及為何會(huì)產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤。

綜上可知,依據(jù)解題認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng),不斷對(duì)解題的認(rèn)知過程和學(xué)生已有的工作記憶進(jìn)行有效循環(huán),可優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的境界,加強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的可持續(xù)性。