一種混合策略改進的灰狼優化算法

倪 靜，秦 斌，曾凡龍

（上海理工大學管理學院，上海 200093）

0 引言

灰狼優化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）是Mirjalili等［1］提出的一種群體智能算法。GWO 算法具有結構簡單、概念清晰且易實現等特性，已廣泛應用于車間調度［2-3］、路徑優化［4］、社會網絡影響力最大化［5］、參數尋優［6］和聚類優化［7］等問題。盡管GWO 算法得到了廣泛應用，但是仍存在一些不足。針對標準GWO 算法的不足，目前國內外學者們主要針對GWO 算法的種群初始化過程、控制參數和搜索機制等幾個方面進行改進，進而提高GWO 算法的尋優性能。在種群初始化的優化方面，文獻［8］利用佳點集對算法種群進行初始化，保證初始種群個體分布均勻，為算法的全局尋優奠定基礎；文獻［9］采用高斯分布對種群進行初始化，使得種群分布更加均勻，通過實驗驗證了該策略可以提高算法求解精度；在控制參數調整方面，文獻［10］受粒子群優化算法啟發，提出一種非線性遞減收斂因子更新公式；文獻［11］在基本灰狼優化算法的基礎上，通過其動態縮放因子和交叉概率因子提升算法尋優能力；在位置更新改進方面，文獻［12］分析了灰狼優化算法后期個體均向決策層區域聚集，從而導致群體多樣性較差的問題，并提出一種基于光學透鏡成像原理的反向學習策略以避免算法陷入局部最優；文獻［13］受差分進化和粒子群優化算法啟發，構建一個修改的個體位置更新方程以增強算法探索能力，并提出一種控制參數隨機動態調整策略，增強算法全局搜索能力；文獻［14］為協調算法的全局探索和局部開發能力，設計了一種基于正切三角函數描述的非線性動態變化控制參數，并給出了一種新的個體位置更新公式，以加快算法收斂速度。此外，將其他智能算法與灰狼算法結合也成為一種新的研究思路，學者們已經將蝙蝠算法［15］、鯨魚算法［16］和布谷鳥算法［17］等與GWO 結合，以改善算法尋優性能。雖然國內外學者對GWO 算法進行了大量改進研究，但是其初始種群不均勻、全局勘探與局部開發能力不平衡和易陷入局部最優等問題依然存在。

本文在已有研究基礎上提出了一種多策略改進的灰狼優化算法（Improved Grey Wolf Optimization Algorithm，IG?WO），采用反向學習策略產生了更加均勻的初始種群，改進傳統灰狼優化算法在初始化過程中種群不均勻的問題。針對算法全局勘探與局部開發能力不平衡問題，采用非線性控制因子平衡算法全局搜索能力和局部搜索能力。為進一步提高算法全局搜索能力，在位置更新策略中引入萊維飛行策略，擴大搜索范圍。通過12 個標準測試函數仿真驗證改進算法的準確性和有效性，仿真結果表明，本文改進的算法具有良好的收斂精度、速度和穩定性。

1 混合策略改進的灰狼優化算法

1.1 基于反向學習策略初始化種群

標準的GWO 算法是基于隨機性產生的初始種群，這可能使得算法的初始種群分布不均勻，難以保證種群的多樣性。而算法的初始解對算法全局搜索起到了至關重要的作用，種群的多樣性程度也極大地影響著算法搜索性能。文獻［18］表明，反向解有50%的可能性比當前解更加靠近最優解，因此，本文采用反向學習策略產生初始種群。

首先，在解空間內對種群進行隨機初始化，產生一組隨機種群，種群內的每個個體xi,j，i∈[1,D]代表維度，j∈[1,n]代表種群個數。然后，對每個個體采用反向學習策略，即采用式（8）找到反向個體構造一組反向解，最后將兩組初始解合并，選取適應度前n的個體作為初始種群。

1.2 控制參數的非線性調整策略

Fig.1 Convergence curve of parameters圖1 參數對比曲線

1.3 位置更新策略改進

在標準GWO 算法中，只有α狼、β狼和δ狼的位置影響下一代位置，下一代種群過度向全局最優“靠攏”，很容易出現局部尋優。為了進一步增強算法的全局搜索能力并加快收斂速度，在原始位置更新策略基礎上引入萊維飛行策略。萊維飛行是一種隨機游動的搜索策略，能夠擴大搜索范圍，防止算法陷入局部尋優。引入萊維飛行的位置更新策略如下：

其中，⊕為點對點乘法，a0=0.01，sign[rand-1/2]的取值為-1，0 和1。萊維飛行的步長服從萊維分布：

其中，s是飛行路徑，可由Mantega 算法計算如下：

θ的取值范圍一般為（1，2），本文取值1.5，μ和u是符合正態分布的隨機數：u～N

1.4 算法流程

將增加以上改進策略的灰狼優化算法簡寫為IGWO，算法流程描述如下：

Step1：設置算法參數，包括種群數目n，最大迭代次數max_iter；

Step2：采用反向學習策略進行種群初始化；

Step3：計算狼群個體的適應度值，選取適應度最優的個體、次優個體、第三優個體為，并且分別記錄其位置；

Step4：采用式（3）更新灰狼個體位置；

2 實驗及分析

實驗環境為Inter（R）Core（TM）i5-5200CPU，主頻2.20GHz 和內存4GB 的PC 機，操作系統采用64 位的Win?dows 10，編程語言采用MATLAB2018B。

為了驗證IGWO 算法求解性能的優越性，選取12 基準測試函數測試算法性能。測試函數如下：Sephere（F1）、Schwefel’s Problem 2.22（F2）、Schwefel’s Problem 1.2（F3）、Generalized Rosenbrock’s（F4）、Step（F5）、Quartic Function i.e.Niose（F6）、Generalized Rastrigin’s（F7）、Generalized Grie?wank（F8）、Generalized Penalized（F9）、Levy Function N.3（F10）、Shekel’s Foxholes（F11）、Kowalik’s（F12）。其中F1～F6 為單峰值函數，F7～F10 是多峰值函數，F11 和F12表示固定低維函數。首先將IGWO 算法與差分進化算法（DE）、布谷鳥算法（CS）、粒子群算法（PSO）、基本灰狼算法（GWO）進行比較，驗證IGWO 的性能優越性，然后將本文改進算法與其他改進灰狼算法進行對比，進一步驗證算法的求解性能。

2.1 與經典算法比較

為了測試算法性能，將IGWO 算法與DE、CS、PSO、GWO 作對比，在維度D=30 下分別對每個函數獨立運行30次（其中F11 搜索維度為2 維，F12 搜索維度為4 維）。選取平均精度Ave 評價算法的搜索精度，選取標準差Std 評價算法的魯棒性，并通過觀察算法的收斂曲線比較算法的收斂速度。幾種算法的基本參數設置如表1 所示。

Table 1 Algorithm parameter settings表1 算法參數設置

表2 給出了IGWO 算法與各經典優化算法運行不同測試函數后的平均值和標準差，圖2 為不同函數下的尋優收斂曲線。從仿真結果可以看出，改進的灰狼算法IGWO 在12 組獨立實驗中均一致收斂到全局最優解，尤其是求解函數F7、F8、F11、F12 時，IGWO 均能收斂到理論最優值，而其他經典優化算法均不能收斂到理論最優值。對于F1、F2、F3，與各經典的優化算法相比，IGWO 算法的求解精度和魯棒性都具有較大優勢，并且能夠達到函數給定的收斂精度。例如，對于F1，IGWO 的平均值和標準差分別約是GWO 算法的約4 倍、DE 算法的29 倍、CS 算法的113 倍、PSO 算法的28 倍，求解精度和求解穩定性優勢明顯。對于F4、F5、F6、F9 和F10，IGWO 算法相比于其他優化算法的求解精度和求解穩定性也有一定優勢。從圖2 中可以明顯看出，相比于DE、CS 和PSO，IGWO 算法求解速度最快，在所有測試函數上都比其他算法更快找到最優解位置。雖然GWO 算法也能取得很好的收斂效果，但是仍不及IGWO 算法的收斂性能明顯，IGWO 算法較傳統GWO 算法明顯提升了收斂速度。因此，仿真結果表明，改進后的算法無論是收斂速度還是收斂精度，相對于基本灰狼算法都起到一定的改善效果，同時相對于其他經典優化算法都具有顯著優勢。

Table 2 Performance comparison with classic algorithms表2 與經典算法性能比較

Fig.2 Algorithm convergence圖2 算法收斂

2.2 與其他改進算法比較

為了進一步測試IGWO 算法的尋優性能，將IGWO 算法與其他參考文獻中改進的灰狼算法［19-21］進行對比。其中，mGWO 為文獻［19］提出的非線性收斂的灰狼優化算法，EGWO 為文獻［20］提出的進化種群動態灰狼算法，Ex-GWO 為文獻［21］提出的改進位置更新方式的改進灰狼算法。通過比較算法最優解的均值以及標準差測試改進灰狼優化算法的尋優性能，對比結果如表3 所示。

平均值用于反映算法求解尋優精度，由表3 的平均值數據可知，IGWO 算法僅測試函數F6 的優化指標劣于mG?WO 和Ex-GWO 算法，其余測試函數優化求解效果均優于表中其他3 種改進的灰狼優化算法。對于F1、F2、F3、F7、F8 函數，IGWO 得到的各函數求解的平均值遠遠小于mG?WO、EGWO 和Ex-GWO，即IGWO 算法的求解精度遠遠高于mGWO、EGWO 和Ex-GWO。對于函數F4、F5、F9、F10、F11、F12，IGWO 相對于mGWO、EGWO 和Ex-GWO 算法也具有較高的求精精度。同時，標準差用于反映算法求解尋優的穩定性，由表3 的標準差數據對比可以看出，IGWO 算法對12 個測試函數的標準差值小于其他改進的灰狼算法，說明IGWO 算法的穩定性相對于mGWO、EGWO 和Ex-GWO 也較好。因此，對比其他改進的灰狼優化算法，IGWO算法在尋優性能上依然具有優勢。

Table 3 Performance comparison with other improved gray wolf algorithms表3 與其他改進灰狼算法性能比較

3 結語

本文在標準灰狼優化算法的基礎上，引入了反向學習策略、非線性控制因子和萊維飛行策略對標準的灰狼優化算法進行改進，提出了一種混合策略改進的灰狼優化算法。由12 個標準測試函數的仿真結果可知，IGWO 在尋優精度、穩定性和收斂速度方面不僅與經典的優化算法相比具有一定優勢，同時與一些改進的灰狼優化算法相比也有一定優勢。但是，本文算法未在實際問題中得到進一步驗證，未來研究中，會將改進的算法應用于實際問題求解，驗證算法實用性。